Fletcher-2-rus (1185919), страница 15
Текст из файла (страница 15)
КН) - СМТ(дГ.КН) *РВ1(дг, ЯЫ) ) РЫО = 0.5~РИО/(Стт(д,к)+СММ(3,Ю ) 01Г РНО - РН1(д,х) ЗОН ЗОН + 01Г*01Г РЫ1(д,Ю РЫ1(д,Ю + ОН'01Г 1 СОНТ1ИОБ з сонтзиок ВНЗ $0ЯТЩММИСНИКН) 1Г(ЯНЗ .ЬТ. ЕРЗ) ЯЗТСЯМ з сонтзинк МВ1ТЕ(6,4)ЯКАХ.ВНЗ 4 ГОВНАТ(' СОЮ)ЕЯСЕНСЕ НОТ АСН1ЕТЕО 1Н', 15,' ЗТЕРЗ, ЯНЗ=', ХКЩ.Ю ЯЕТ9$И Рнс.
12.12. Распечатка подпрограммы 1ТЕм. где Л вЂ” параметр релаксации. Данный алгоритм реализован в программе 1АсхЕ)ч). Распечатка программы ЛАПЕН и подпрограмм ахгч10, ТхсАРА и 1ТЕгс приведена на рис. 12.9 — 12.!2. Основные параметры, используемые в программе ЕАСгЕ)Ч, описаны в табл. 12.1. После считывания различных параметров программа 1АсхЕ(Ч вызывает подпрограмму ПК!Р для определения координат точек сетки, которые хранятся в массивах Хсх, Уб. Точки сетки, Таблица 12.1.
Идентификаторы, используемые в программе ЕАОЕЫ Описание Идентификатор амма Ом(Г)) лежащие внутри расчетной области (рис. 12.8), дополняются рядами точек (1=0, 3МАХ+ 1, /с =О, КМАХ+ 1), лежащих за границей расчетной области. Это позволяет использовать для определения параметров ха и т. д. на границе области те же формулы (12.30), (12.31), что и внутри. Различные параметры сетки СгТТ и т. д., входящие в (12.85), определяются в подпрограмме ТКАРА, а итерационный процесс решения (12.85), (12.86) реализуется подпрограммой 1ТЕК. Впоследствии программа 1АЙЕ(ч) формирует выдачу решения.
Типичная выдача для сетки 6р,'6 приведена на рис. 12.13. В данном случае сетка ортогональная и члены р/у и 7тт)/Х ЯМАХ КМАХ (ЧМАХ квг ЕХ ЕУ 1(2 ТНЕВ ТНЕ(Ч ЕРЯ ОМ РН1 РН!Х РНО ХО, УО пмБ Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты Число точек в радиальном направлении Число точек в окружном направлении Максимальное число итераций га (рис. 12.8) гх (рнс. 12.8) гг (рис. 12.8) гх (рис. 12.8) Оах (рис. 12.8) Охг (рис. 12.8) Точность скоднмости ВОЙ Параметр релаксации Л в (12.88) Ф Точное решение для ф (12.78) еье в (12.88) (подпрограмма 1ТЕЙ) Координаты расширенной сетки (подпрогр ерг1иа' 1В ерех)~ й 12Л.
Численное применение обобщенных координат 89 и1исе хаоатхои вт Оеи. соохо. гои ВИВХи 6 ХНАХ= 6 ИНАХ= 100 1ЕХ= 0 ЕР5.-.,100Е-04 ОН 1.500 ен .1оо хх-1.ооо 87-1.ооо 82- .Эоо тнев= .о тнеи Ро.о К= 1 РН1 .0000 .ОООО .0000 .ОООО .0000 .0000 РНХ= ,0000 .0000 .0000 .ОООО .0000 .0000 Х 2 РВ1= 3.0902 1.2454 .7453 .5209 .3931 .3090 РВХ 3.0902 1.1036 .6718 .4828 .376$ .3090 Х= 3 РИ1 5.8779 2.3498 1.4048 .9834 .7444 .5878 РВХ 5.8779 2.0992 1.2778 .9184 .7168 .5678 Е= 4 РЫ1 $.0902 3.1813 1.9002 1.Э351 1.0166 .8090 РВХ= $.0902 2.8893 1.7587 1.2641 .9866 .8090 Х 5 РИ1 9.5106 3.6228 2.1688 1.5352 1.1804 .9511 РВХ 9.5106 3.3966 2.0675 1.4860 1.1598 .9511 Е 6 РИ1 10.0000 3.5714 2.1739 1.5625 1.2195 1.0000 РНХ 10.0000 Э.5714 2.1739 1.5625 1.2195 1.0000 ООИРЕХОЕО АгтЕХ 15 57898, ХИ5 .13384ХТОО Рис.
12.13. Типичная выдача программы ьАСЗЕ!ч. Таблица 12.2. Зависимость ошибки решения в обобщенных координатах от размера сетки 1гя=гг=о.!, гг = 1.0, 843 = О, 8зг = 90, Эг = 1.5) в (12.79) равны нулю. Скорость сходимости на этой сетке (табл. 12.2) имеет примерно второй порядок, а точность А г„1.0 В г„2.0 6Х6 ИХИ 2! Х2! 6Х6 ыхы 21Х21 0.1338 0.0473 0.0! 38 0.2541 0.1!76 0.0430 15 19 53 !5 21 66 Гл.
12. Обобщенные криволинейные координаты решения сравнима с точностью, полученной по методу конечного объема (табл. 5.24). В табл. 12.2 отображено также влияние сгущения сетки на точность решения в обобщенных координатах (случай В, г„=2.00). Как и следовало ожидать, точность и скорость сходимости на неравномерной сетке хуже, чем в случае А (равномериая сетка). 5 12.5. Заключение Применение обобщенных координат позволяет эффективно использовать конечно-разностные методы в расчетных областях со сложными границами, в первую очередь за счет того, что в обобщенных координатах можно добиться совпадения границ области с координатными линиями и тем самым избежать локальной интерполяции при постановке граничных условий. В уравнения в обобщенных координатах ($12.3) входят дополнительные члены, содержащие информацию о связи между нерегулярной сеткой в физической области и регулярной в расчетной.
Число дополнительных членов сокращается, если в расчетной области можно построить ортогональную или конформную сетку. При дискретизации уравнений в обобщенных координатах возникают (как правило) дополнительные трудности, связанные с аппроксимацией параметров преобразования. Обычно рекомендуется использовать те же разностные формулы, что и для дискретизации производных от зависимых переменных. То что дискретизация проводится обычно на однородной расчетной сетке, может означать, что достигается более высокая точность. Это верно в расчетной области, но не всегда справедливо для физической.
Если параметр растяжения сетки (г„на рис. 12.7) немал, можно ожидать снижения точности. Как правило, эта проблема более существенна, если в уравнениях содержатся производные второго и более высокого порядков. Однако для задач течения жидкости члены, ответственные за снижение точности, связанное со вторыми производными, обычно умножаются на 1/Ке.
Следовательно, для течений с большими числами Рейнольдса эффект этой дополнительной ошибки невелик. Применение конечно-разностных схем в обобщенных координатах (5 12.4) не сложнее применения метода конечного объема и сравнимо с ним по точности. 6 12.6. Задачи $ !2.9. Задачи Преобразование координат ($12.1) 12.1.
Из прямого перемножения 11-' = 1 выведите в двумерном случае соотношения, эквивалентные (12.7). 12.2. Покажите прямой подстановкой справедливость уравнения (12.13). 12.3. Используя соотношения (12.15) — (12.17), покажите, что параметрьь преобразования могут быть выражены через а, АВ, 0 и Х в следующем виде. з!п а соз а (АК Х з!п 9)ыз / АК 'т !(з «,! соз (8 — а) ~ —.) 7 з!п 0 (АЙ Х з1п 9)И ( Ай х1/з уч — — х(п (Π— а) ~ —,) т,? з1п0) Аппроксимация параметров преобразовамия (6 12.2) 12.4. Исходя из двумерных аналогов соотношений (12.7), выведите уравнения айку!Ч + Чхупп Вк?й + вхчх?Ч Вхх— 8.8э?! '+ $.6.7, ' 7-! (иУк + (о~)э — — ((кх + ~э„) = О 1 12.6. Выведите уравнение (12.38).
12.6. Для одномерной сетки, эквивалентной изображенной на рис. 12.7, с физическим и расчетным коэффициентами роста шага сетки гх и г соответственно, покажите, что аналогично (12.39) имеет место ~1+! ~1- Т('! — ') ('+") ("!+ ') (гх — '!) ~ =т„+( х + Ь«ткк+ х! ! — «! ! ~ 2 (1+г) (г +1)т г ) ! Выведите затем соотношение между г и г, обеспечивающее второй порях док точности.
Можно ли использовать это соотношение для выбора г при 0.8 ~ гх а, 1.2, обеспечивающего второй порядок точности? Структура типичных уравнений в обобщенных координатах ($12.3) 12.?. Преобразуйте уравнения и„+ ох — — О и и„— о = О к обобщенным координатам на конформной сетке и покажите, что(7!+ У„=О, (7„— У! — — О. где (7' 7 !(8вп + и ) и )г' = 7 !(Чэо — 8эи). !2.8. Преобразуйте уравнение переноса завихренности Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты к обобщенным координатам. Как упростится полученное уравнение в случае: 1) ортогональной сетки, 2) конформной сетки? !2.9.
Двумерный несжимаемый турбулентный пограничный слой описылается уравнениями (п. 11зй2) их+ оу 1 д Г ди ч ии +оп +Р = — — !(1+я) — ~, х У ех )се ду1 г ду! ° где ъ,— вихревая вязкость (1!.76). Преобразуйте эти уравнения к обобщенным координатам и определите, могут ли в соответствии с предположением пограничного слоя (п. 11.4,1) быть отброшены дополнительные члены? Предположите, что пограничный слой развивается на поверхности постоянного значения т!.
'Численное применение (9!2.4) 12.10. Получите решение па программе ЬАОЕЬ) для следующих случаев: ! ) сетка 6 Х 6, 2) сетка 11 Х 11, 3) сетка 21 Х 21 при следующих значениях параметров: гх = гх = 0.1, гх = !.О, гг = 3.00, йях = О, йхг = 90, а = 1.5. Сравните точность и скорость сходимости полученных результатов с результатами, представленными в табл. 12.2 н полученными по программе Е!НОЬ, примененной к той же расчетной области.
12.11. Преобразуйте подпрограмму О)?!Р так, чтобы линии сетки изменялись как аз+а~с+лага в радиальном н иак Ьз+ Ь,6+ Ьзйз в окружном .направлениях. Подберите параметры а,, ао а„Ьв Ьо Ь, так, чтобы расположить больше линий сетки вблизи йули и ЯУ. Определите, может ли это при том же количестве узлов сетки дать более точное решение, чем приведенное в табл. 12.2. 12.12. Для расчетной области, изображенной на рис. 12.8, обобщенные координаты ($, Ч) и физические (х, у) могут быть связаны аналитически, если заметить, что 0 = Чйгг + (1 — Ч)(йг! — йя~х) г = гвг + й (гх гзг) + " (гг г!у) + й" [(гг гг) (гх гвгН' 8, у=гз!пй.
Эти соотношения позволяют определить параметры преобразования $, и 'г. д. аналитически. Замените численное определение $, и т. д. в подпрограмме ТВАРА и определите, как это повлияет на точность и скорость сходимости решения. 12.13. Применение группового метода конечных элементов (9 !0.3) с би- линейными интерполяционными функциями на прямоугольных элементах (п. 5.3.3) приводит вместо (12.84) к следующему уравнению: — М„ЭЕ (РЕЬ2[.Ф) ь — М ®Е (РЕЬЕТ.Ф)1 «+ + Мп (8) Ей! (ОТТ Ф)5 ь + Е1 Э Еп (ОФТ.Ф)Е ь + +М ЭЕ (ОЧЧ.Ф)Е =0, где М! — — М, (Цб, 2(3, 1'/6), Е! Е„=0.5( — 1, О, Ц и Ейй Е„„=(1, — 2, 1).
$12.6. Задачи 93 Таким образом, имеем 1 М„Эт.)й(Отт.ф) = — 1(ватт.ф)1 нае,— 2(атт ф),+ 2 + (атт.ф)„, „,) + — ((Отт.ф)... — 2 (атт.ф), „+ 1 + (ОТТ.ф)1+~ а] + — ~(ОТТ.ф)1 ~ а ~ — 2 (ОТТ.ф)1 а ~ + + (атт.ф)„, а,). Разработайте алгоритм ЗОВ, основанный на вышеприведенном уравнении, а не на (12.86), и получите решение на: 1) сетке 6Х6, 2) сетке 1! Х11, 3) сетке 21 Х21 при параметрах, значения которых приведены в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
