Fletcher-2-rus (Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей), страница 6

ванин в (11.81) члена дои/дхо..'Таким образом, система уравнений (11.60) — (11.62) должна быть дополнена начальным (11.64) и(хо у) = ио(у) с! —— —,—— , р — ~ тм 1 ди (11.66) О'5рие О.врое ду „о Сопротивление трения (в безразмерной форме) получается путем интегрирования по поверхности.коэффициента поверхностного трения. Другой важной величиной является толщина вытеснения, определяющая расстояние, на которое должен быть смещен контур тела для компенсации потери потока массы в пограничном слое, если комбинированная задача невязкого обтекания и течения в пограничном слое заменяется эквивалентной чисто не- вязкой задачей (рис. 11.9).

Использование толщины вытеснения для построения модифицированного контура тела позволяет более точно получить распределение давления (и. 14.1.4). Толщина вытеснения бч определяется выражением о б =~[1 — — ")ду. о (11.67) Уравнения, описывающие течение в пограничном слое, часто могут быть преобразованы к более простому виду (гл.

15). При определенном виде распределения внешней скорости и,(х) число независимых переменных может быть на единицу уменьшено. и граничными условиями и(х, 0)=0, о(х, 0)=0, и(х, б)=и,(х). (11.65) То что система уравнений, описывающая течение в пограничном слое, относится к смешанному параболическо-гиперболическому типу, является весьма важным обстоятельством, поскольку это позволяет построить маршевый (в направлении переменной, играющей роль времени) алгоритм численного решения (гл.

15). Решение уравнений пограничного слоя дает распределение двух компонент скорости и(х,у) и о(х,у), зная которые можно определить другие важные параметры течения. Безразмерное сдвиговое напряжение на поверхности, называемое коэффициентом поверхностного трения сь определяется выражением 32 Га. 11. динамика жидкости: основные уравнения Данное обстоятельство будет проиллюстрировано на примере течения в пограничном слое у плоской пластины. В этом случае и,(х) = (? . Новая независимая переменная вводится следующим образом: (11.68) Используя (11.68), (11.69), уравнения (11.60) и (11.61) можно привести к виду —, + 0.6) — =0 д'1 д? дч' ' дч (11.70) с граничными условиями да? д,.=) =0 Ч вЂ” =0 д? дч при а!=0, (11.7!) при т! = оо.

Уравнения (11.?0), (11.71) могут быть решены численно, причем очень точно. Цебеци и Брэдшоу 1СеЬес1, ВгайзЬащ, 1977) привели соответствующую программу. Из численного решения можно получить следующие зависимости для толщины вытеснения и коэффициента поверхностного трения: — = 1.72Ке, 'а, с! = 0.664Ке, где Ке„=(? к/т.

Дополнительную информацию о течениях в ламинарных пограничных слоях и традиционных методах анализа таких течений можно найти в работах [КозепЬеап', 1963; 8сЬ11сЬ!1пи, 1968]. 11.4.2. Турбулентиоей пограничный. слой Для Ке, ) 2 10' в пограничном слое возникают турбулентные флуктуации, для подавления которых уже оказывается недостаточно сил вязкости.

Вследствие этого благодаря более эффективному турбулентному перемешиванию профиль средних значений скорости вниз по потоку становится более наполненным (рис. 11.10). а вместо параметров и и о получается один искомый параметр ?, где и= — ", о= — — ', 1=,2. (11.69) дф ду дл (о'~и к) И~ $11.4. Несжимаемые течения в пограничном слое зз Толщина турбулентного пограничного слоя, как правило, больше толщины ламинарного. Для турбулентного пограничного слоя на пластине — „= 0.046йе~', с( = 0.059Кек ' . (11.72) Хотя течение в турбулентном пограничном слое в каждый момент времени является нестационарным, для описания его основных свойств достаточно знать средние величины.

Уравнения для средних величин могут быть получены, если мгновенные 1.0 Ц о од 1.0 (а) и( ив (ь) и/ив Рис. 11.10. Профили скорости в пограничном слое: (а) ламинарном, (Ь) тур- булентном значения скоростей представить в виде суммы среднего значения скорости и флуктуационной добавки, т. е. 1+г и=й+и, где й= — ~ ий('. I 1 Т г 3 К.

Флетчер, т. я Здесь й — среднее значение, а и' — турбулентная флуктуация. Очевидно, что й'=О. Предполагается, что период флуктуаций много меньше Т. Величины и, о и т. д., однако, все еще остаются функциями времени. Осредняя систему (11.81) по периоду Т и отбрасывая в предположении пограничного слоя (б « й) члены порядка 0(б/Ь), можно получить следующую стационарную систему уравнений, описывающую течение в двумерном турбулентном пограничном слое на пластине: дй дй — + — =О, дк ду й — + д — = — ~ — ~ „~„' + — [ — ~(к — — ри'в'~~, (11.74) +=о. (11.75) Данная система уравнений относится к системам смешанного параболическо-гиперболического типа, и, следовательно, для нее 34 Гл.

!1. динамика жидкости: основные уравнения ди рчг — = — ри'о'. дя (11.76) Для получения решения уравнений (11.73), (1!.74) необходимо установить связь между дополнительной вязкостью и осредненными характеристиками течения. Один из путей установления такой связи состоит в введении длины перемешиваиия 1, так что (! 1.77) Длина перемешивания в различных частях пограничного слоя задается различными выражениями. Для внутренней части, примерно в интервале 0 « й/й, « 0.7, имеем 1 = ху [1 — е а 4/л~ м = 0.41, у = пса/ч пе = (0 5с1) пе (11.78) где у измеряется по нормали к стенке.

Величина А в уравнении (11.78) зависит от градиента давления; для турбулентного пограничного слоя на пластине (йр,/йх= 0) А =26. Во внешней области пограничного слоя, приблизительно в интервале 0.7 < й/й, ( 1, длина перемешивания пропорциональна толщине пограничного слоя 6. Как правило, 1/6 = 0.08. С другой стороны, во внешней области используется также формула Клаузера, согласно которой выражение (11.77) заменяется выражением чг = 0.01684,6 . (11.79) Использование алгебраических выражений (11.77) — (11.79) для описания турбулентной вязкости является дальнейшим упрощением уравнений (11.73) — (11.75). Однако для течений в пограничном слое данная алгебраическая формулировка позволяет должны быть поставлены те же начальные и граничные условия (11.64), (11.65), что и для уравнений, описывающих ламинарный пограничный слой.

Система уравнений (11.73) — (11.75) является более грубым приближением уравнений Навье — Стокса, чем система (11.60) — (!1.62), описывающая ламинарные течения, так как при выводе уравнений ламинарного пограничного слоя были отброшены члены лишь порядка 0(6/7.)а. По сравнению с уравнениями ламинарного пограничного слоя (11.60) — (11.62) в данных уравнениях появляется дополнительный член — ри'о', рейнольдсово напряжение. Данный член может быть выражен через осредненные значения путем введения дополнительной турбулентной вязкости о,: $11.4. Несжимаемые течения в пограничном слое 35 достаточно точно получить осредненные характеристики течения, например й(х,у).

Обсуждение приведенной выше алгебраической формулировки (11.76) — (11.79) и дополнительная информация о течениях в пограничных слоях может быть найдена в работе [СеЬес1, БтадзЬачл 1977] и приведенных там ссылках. 11.4.З. Отрыв пограничного слоя При обтекании тел весьма важным является вопрос о том, возможен ли отрыв пограничного слоя от твердой поверхности. РЛЛЛСЛЛ щащ ЛНН Л ОНЛ тОлщ нл ОО РЛН НО О СЛОЯ Рис.

11.1!. Отрыв пограничного слоя от кругового цилиндра. Отрыв обычно приводит к образованию большой области медленно изменяющегося и (или) возвратного течения, что делает неприменимым предположение о малой толщине пограничного слоя, на котором основан вывод уравнений (11.60) — (11.62) и (11.73) — (11.75). На рис. 11.11 изображен отрыв пограничного слоя от двумерного цилиндра. Тангенциальная составляющая скорости на внешней границе пограничного слоя, по крайней мере до точки отрыва, приближенно может быть получена из решения невязкой задачи и,= 211 и!п Ц (! 1.80) Справа от точки В скорость и, уменьшается с увеличением х и, следовательно (согласно уравнению Бернулли (11.49)), зв Га.

ГК динамика жидкости: основные уравнения давление увеличивается. Этот обратный градиент давления замедляет движение жидкости в пограничном слое. Жидкость в непосредственной близости к стенке (из-за малой величины импульса) наиболее слабо противостоит обратному градиенту давления. Следовательно, профиль скорости начинает меняться и в точке отрыва ди/ду]„=о = 0 за точкой отрыва величина ди/ду]„=а становится отрицательной, что означает образование вблизи стенки возвратного течения.

Поскольку сдвиговое напряжение на стенке определяется выражением ди ~ то в точке отрыва сдвиговое напряжение (или поверхностное трение) равно нулю. Для распределения скорости, задаваемого выражением (11.80) и полученного из невязкой задачи, решение задачи о ламинарном пограничном слое дает отрыв вблизи точки 0 = 105'. Однако при вязком (ламинарном) обтекании кругового цилиндра большая отрывная зона непосредственно за цилиндром изменяет распределение давления и отрыв происходит при 8 82'.

При рассмотрении профилей скорости, изображенных на Рис. !1.10, можно сделать предположение, что турбулентный пограничный слой до образования отрыва может дольше противостоять обратному градиенту давления, чем ламинарный. Это на самом деле имеет место. Для кругового цилиндра с числом Рейнольдса Кем измеренным по диаметру, при Кеи ) 5.10' отрыв происходит при 8 = 120'. Прн отрыве турбулентного пограничного слоя течение часто становится нестационарным н положение точки отрыва претерпевает низкочастотные колебания [51шрзоп, 1981]. Однако вышеприведенный критерий обращения в нуль сдвигового напряжения на стенке в точке отрыва остается весьма полезным при расчете осредненных параметров течения.

Вывод из уравнений Навье — Стокса уравнений пограничного слоя, образующегося на трехмерной поверхности ]СеЬес!, Вгас(- зЬатч, 1977], аналогичен выводу двумерных уравнений. При этом толщина пограничного слоя измеряется в направлении нормали к поверхности и считается малой по сравнению с характерным размером, измеряемым в направлении потока. Определение трехмерного отрыва является более сложной задачей ]ТоЬаК Реаке, 1982], поскольку точка отрыва необязательно совпадает с точкой обращения в нуль сдвиговых напряжений.

Пограничный слой является примером течений в тонких сдвиговых слоях. Основные классы течений в тонких сдвиговых слоях, по крайней мере приближенно, описываются уравнениями, эквивалентными уравнениям (11.78) и (11.74). Приближения й 11.5. Вязкие несжимаемые течения й 11.5. Вязкие несжимаемые течения Данный класс течений описывается уравнениями неразрывности и импульса, которые могут быть представлены в виде От тР. чу =О, р — = р1 — тРр+ 1йтРй». И Граничные условия, которыми должна быть дополнена система (11.81), зависят от рассматриваемой задачи. Если граница области расчета образована твердыми стенками, необходимо на границе положить все компоненты скорости равными соответствующим компонентам скорости твердой поверхности, т, е.

невозможно ни проскальзывание жидкости вдоль границы Тайница 11Л. Число граничных условий на удаленной границе для несжимаемых течений (четыре переменные) (11.81) Входная граница Вмнонна» граница Система уравнений Эйлера Навье — Стокса жидкость — твердая стенка, ни движение по нормали к ней. На границе жидкость — жидкость должны быть непрерывны скорость и сдвиговые напряжения.