Fletcher-2-rus (Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей), страница 5

Классификация, приведенная в табл. 11.4, также полезна при анализе внутренних течений в каналах, турбинах, диффузорах и т. п. В 3 11.3 — 11.6 указанные классы течений будут рассмотрены более подробно. 5 11.3. Несжимаемые невязкне течения Для этого класса течений плотность постоянна, а вязкость «равна нулю» (табл. 11.4), т. е.

влияние вязкости не учитывается. Движение жидкости полностью описывается уравнением неразрывности (в форме (11.13)) и уравнениями Эйлера (11.21). Для определения единственного решения, описывающего не- стационарное течение, необходимо задать начальные условия и = ио(х, у, г), и = оо(х, у, г), в = юо(х, у, г) и р = ро(х, у, г). 26 Гл. 11.

Динамика жидкости: основные уравнения При рассмотрении обтекания изолированного тела (рис. 11.5) граничным условием будет равенство нулю нормальной к поверхности тела составляющей скорости. На границах, удаленных от движущегося тела, требуется поставить два граничных условия на входной поверхности А0 и одно на выходной — ВС. Ти- о=О и=Ц„ и=О и„ о О у,о о=О ю,и Рис.

11.5. Граничные условия для несжимаемого невязкого течения яичные граничные условия приведены на рис. 11.б. Данная конфигурация соответствует «невязкой» двумерной трубе. Для любого класса течений линии, касательные к которым в данный момент времени в каждой точке совпадают с направ.лением вектора скорости ч в этой точке, называются линиями тока. Локальный наклон линии тока определяется уравнениями лх лй лл и о гв' (1 1.47) Для стационарного течения уравнения (11.21) могут быть про- интегрированы вдоль линии тока, в результате чего получится следующее уравнение: 17Н = у (О.бдя + ~ ~+ «) = О, (11.48) где чр — потенциал массовых сил (т.

е. массовые силы предпо- лагаются потенциальными и 1= — Ччр). Если массовая сила яв- ляется силой тяжести, действующей в отрицательном направле- .нии оси а, то (11.48) принимает вид Н = О.бг)в + —" + да = сопз1 р на каждой линии тока. Уравнение (11.49) называется уравне. нием Бернулли, а Н вЂ” переменной Бернулли. В уравнении (11.49) й 11.3.

Несжимаемые иевяакие течения 27 (11.49) 0.бала есть кинетическая энергия, т. е. да =ч ч. Уравнение (11.49) играет весьма важную роль, поскольку оно дает прямую алгебраическую связь между давлением и скоростью. Для безвихревых течений (ь = го! и = 0), например, если поток вдали от помещенного в него тела однороден, величина Н имеет одно и то же значение на всех линиях тока и, следовательно, уравнение (11.49) выполняется для любых двух точек, независимо от того, лежат они на одной линии тока или нет.

Для безвихревого течения (го1 и = 0) полезно ввести в рассмотрение потенциал скорости и = ЧФ или и= —, о= —, Ф= —. дФ' дФ дФ (11.50) дк ' ду ' дя Уравнение неразрывности в этом случае принимает вид уравнения Лапласа 7'Ф = О. (11.51) Поэтому данный класс течений (невязкие, несжимаемые и безвихревые) называются потенциальными течениями, Уравнение Лапласа, дополненное равенством нулю нормальной составляющей скорости на поверхности помещенного в поток тела и значениями скорости вдали от тела, полностью определяет распределение скоростей.

После определения скорости давление может быть определено из уравнений Эйлера (11.21) или более просто из нестационарного уравнения Бернулли для безвихревого течения — +Н = — + 0.бала+ — + да = сонэ(. (11.52) дФ дФ а р дт дт ' р Уравнение Лапласа (11.51) линейное и имеет ряд простых точных решений, любая суперпозиция которых является его решением. Из уравнений (11.50) следует, что скорость также подчиняется правилу суперпозиции. На рис. 11.5 в точке г, изображен двумерный источник интенсивности т. Потенциал, удовлетворяющий (11.51), для такого источника имеет вид Ф = (тп/2л)! п (т — и,). Радиальная и окружная компоненты скорости равны о, = [ — 1/[(х — х,) + (у — уа)']' оа = О.

(11.54) Путем комбинации источников и стоков (отрицательных источников) можно получить обтекание замкнутых тел. Так, например, источник и сток, помещенные в однородный поток (рис. 11.7), создают обтекание овала Ренкина. Скорость в любой точке Р(х,у) может быть представлена в виде комбинации 28 Гл. !1. Динамика жидкости: основные уравнения выражений (11.54) для отдельных источников и скорости набегающего потока + 1 2н 1 [ (х -1- а)в -1- у' (х — а)т -1- ут 1 в о= 2а1~ 1(х+ а)'-1-у' (х — а)'+ув1 =~ — 1 1. (11,56) В принципе распределение вдоль оси х источников и стоков соответствующей интенсивности точно воспроизводит картину и токо пт пг 2чг(г- иииии Ф Рис.

11.6. Течение от источника. Линии тоКв Рис. 11.7. Потенциальное течение у овала Ренкина. обтекания тел хорошо обтекаемой формы. Однако из-за большей вычислительной эффективности на практике применяется тесно связанный с данным панельный метод (п. 14.1.1). Другое точное решение уравнения Лапласа используется при моделировании течений около тел специальной геометрии, на- 4 !1Л.

Несжимаемые течения в пограничном слое 29 пример аэродинамических профилей. Предел, при котором источник и сток, изображенные на рис. 11.7, сближаются и в конце концов сходятся в одной точке так, что 1г = 2агп = сопз1, дает решение, называемое диполем интенсивности р. Диполь, помещенный в однородный поток, дает решение задачи о невязком обтекании кругового цилиндра (рнс.

11.8) Ф=У,.х+ 9" [„, „т~, (!1.57) с у где 14 = 2пУ ст — интенсивность диполя. Компоненты скорости определяются из (11.50) в виде Рис. 11.8. Потенпиальное тече— зг ~У (11 59) ние у кругового пилинлра. (ля+ у')' ' Очевидно, что, поскольку компоненты скорости выражены в виде явных функций от координат, распределение давления может быть найдено в таком же виде из уравнения (11.49). Вообще говоря, решения, полученные на основе потенциала скоростей, дают точное поле давления (и скоростей) лишь в течениях около хорошо обтекаемых тел, например около крыльев самолетов или лопаток турбин, расположенных под небольшим углом атаки. Однако если предположение о потенциальности течения справедливо, решение весьма эффективно может быть получено панельным методом (9 14.1).

Более подробно потенциальные течения описаны в книге Милн-Томсона [М11пе-Т)гошзоп, 1968). 9 11.4. Несжимаемые течения в пограничном слое Вязкость воздуха и воды чрезвычайно мала (см. табл. 11.1 и 11.2), поэтому значения элементов тензора вязких напряжений (11.27), например будут большими только при большом градиенте скорости. Для течения около тел хорошо обтекаемой формы, расположенных параллельно набегающему потоку, скорость на твердой поверхности из-за действия вязкости обращается в нуль.

Следовательно (рис. 11.9), в непосредственной близости от тела велики градиенты скорости в направлении нормали. В результате силы вязкости существенны лишь в тонком пограничном слое, формирующемся вблизи поверхности тела. Гл. 11. динамика жидкости: основные уравнения 30 Для несжимаемых вязких течений вязкость постоянна и может быть вынесена из-под знака производной в уравнениях В Рис. 11.9. Профиль скорости в иограничном слое.

(11.28) — (11.30). Течение вязкой несжимаемой жидкости определяется уравнениями неразрывности и Навье — Стокса (11.81). 11.4.1. Ламинарнвгй пограничный слой ди до — + — =О, дх ду ди ди 1 дре даи и — +о — = — — — +ив дх ду р дх дуе — =0 др ду (11.60) (!1.61) (11.62) где р, — давление на внешней границе пограничного слоя.

Из уравнения (1!.62) следует, что давление поперек пограничного слоя не меняется и остается равным давлению иа его внешней границе. Величина этого давления либо задается из экспериментальных данных, либо получается из невязкого решения (решения при 1ь=О во всей области).

Из уравнения Бернулли (11.49) в предположении, что высота внешней границы пограничного слоя не меняется, следует гт ре дие — — = ри —, дх е дх (11.63) где а,— продольная составляющая скорости на внешней границе пограничного слоя. Хотя исходная система уравнений (11.81) Сравнение по порядку величины различных членов уравнений (11.81) показывает, что если б « 1. (1,— длина тела), то двумерное стационарное течение в ламинарном несжимаемом пограничном слое около плоской поверхности описывается урав- нениями й 11чк Несжимаемые течения н пограничном слое 31 в стационарном случае относится к смешанному эллиптическогиперболическому типу, система (11.60) — (11.62) имеет уже параболнчески-гиперболический тип с переменной х, играющей роль времени. Смена типа уравнений происходит при отбрасы.