Fletcher-2-rus (Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей), страница 9

Сжимаемые течения Можно отметить, что хотя соотношения Ренкина — Гюгонио связывают два состояния невязкой нетеплопроводной жидкости, ее локальное поведение внутри ударной волны определяется рван вен а М <1 м„мО.йО $ нн на» М>1 М<1 М<1 Рис.

11.15. Распределение чисел Маха на крыле. вязкостью и теплопроводностью (рис. 11.16). Здесь х — местная координата, направленная по нормали к ударной волне. Однако при рассмотрении невязкой нетеплопроводной жидкости сильные Рис. 11.16. Изменение скорости внутри ударной волны. градиенты внутри ударной волны обычно можно рассматривать как разрывы, влияние которых не распространяется за пределы скачка. Если скачки не слабые, М! ) 1.1, для правильного описания течений необходимо решать уравнения неразрывности, Эйлера и невязкое уравнение энергии (5 !4.2). 4 К.

Флетчер, т. з 60 Гл. 1!. Динамика жидкости: основные уравнения (!1.111) Стационарное уравнение х-компоненты импульса (11.28) приводится к виду р (и д„ + о д ) = — „~' + д (!а д ) . (11.112) Это уравнение можно сопоставить с (11.61). Здесь плотность является функцией координат, а вязкость, как правило, зависит от температуры. Уравнение энергии (11.38) для течений в тонком стационарном тепловом пограничном слое принимает вид Рс (и д +од )=и ~'+ д ((г д 1+!а(~ ), (11.!!3) где с — удельная теплоемкость при постоянном давлении, а й — коэффициент теплопроводности. Система уравнений (11.111) — (11.113) имеет смешанный параболическо-гиперболи- ческий тип, и, следовательно, для нее необходимо определить начальные и граничные условия и (ха у) = ив(у) Т(ха у) = То(у), и(х, 0)=0, о(х, 0)=0, Т(х, 0)=Т (х) или й — (х, О) — — Я (х), дг (11.1! 5) и(х, 6)=и,(х), Т(х, 6)=Т,(х), где у = 6 определяет границу пограничного слоя.

Обычно при решении системы (11.111) — (11.115) делается преобразование, устраняющее явное наличие плотности (3 15.2). Полученная 11.б.2. Течения в сжимаемом пограничном слое При выводе уравнений сжимаемого пограничного слоя используется тот же подход, что и при выводе уравнений несжимаемого пограничного слоя, т. е. его толщина предполагается малой по сравнению с характерным размером в направлении потока. При этом, однако, следует включить в рассмотрение уравнение энергии для определения теплового пограничного слоя, внутри которого температура подвергается быстрым изменениям подобно скоростному пограничному слою [5сЫ!сЫ1пд, 1968).

Для сжимаемого пограничного слоя в уравнение неразрывности (11.10) можно внести лишь упрощения, связанные со стационарностью или двумерностью течения. Таким образом, для стационарного двумерного сжимаемого ламинарного пограничного слоя уравнение неразрывности принимает вид дх (ри)+ д (ро) = 0 д д 5 1!.6. Сжимаемые течения тачямм ччачч М >1 Рис. 11.!т. Типичное течение, т.

е. уравнения (11.10), (11.26) и (11.33) (рис. 11.17). Как правило, здесь возможны лишь незначительные упрощения, например пренебрежение влиянием массовых сил. Для анализа задач внешнего обтекания, где эффекты сжимаемости связаны в основном с движением жидкости, соответствующие уравнения удобно представить в консервативном виде. Уравнение неразрывности (11.10) уже записано в консервативном виде. Чтобы представить в консервативном виде уравнение (11.26), к нему надо добавить уравнение (11.10), умноженное слева векторно на и. Уравнение (1!.33) приводится к консервативному виду после сложения его с выражением (е+ !1нн н)Х(11.10). В трехмерном случае уравнения могут быть компактно представлены в виде одного векторного уравнения дч дГ дб ди д! дн ду дн — + — + — + — =О, (11.!! 6) система для сжимаемых течений решается так же, как и эквивалентные ей несжимаемые системы (9 11.4 и 15.1).

Вывод уравнений для осредненных параметров турбулентного сжимаемого пограничного слоя аналогичен выводу, приведенному в п. 11.4.2. При этом, однако, возникают дополнительные произведения, связанные с флуктуацнями плотности и температуры [ЗсЬ!1сЬ11пп, 1968; СеЬес1, Вгас(зЬочн, 1984[. Алгебраическая модель вихревой турбулентной вязкости, описанная в п. 11.4.2, легко обобщается на случай сжимаемого пограничного слоя и весьма эффективна при проведении расчетов [СеЬес1, Вгас)зЬочн, 1984! . 11.6.3. Сжимаемые вязкие течения При расчете течений сжимаемой вязкой жидкости с обширными отрывными зонами необходимо решать полные уравнения, Гл. 11.

Дннамнка жидкости: осноаные уравнения 52 где ри ри'+ р — т,„ рио — т„„ рио — та, Ро +Р тук рии — т,„ (11. 117) Уравнения (11.116), (11.117) описывают как ламннарные, так и турбулентные сжимаемые течения. В случае ламинарных течений значения компонент тензора вязких напряжений т „и т.д. определяются соотношениями (11.27). Для турбулентных течений в эти значения входят также члены, представляющие рейнольдсовы напряжения (п.

11.5.2). Компоненты теплового потока сЬ, 1~„, с), определяются соотношениями (11.37), которые в случае турбулентных течений должны быть дополнены градиентами турбулентных потоков тепловой энергии. Величина Е в (11.117) равна полной энергии на единицу объема Е = р! е + 0.5 (и' + оа + иР)1 (11.118) где е — удельная внутренняя энергия.

Если внутри течения имеются ударные волны, консервативная форма уравнений (11.116) дает более точные решения. Система (11.116), (11.117) является системой смешанного типа — параболическо-гиперболической для нестационарных течений и эллиптическо-гиперболической для стационарных. Соответствующие граничные условия рассматриваются в следующем разделе. Для описания турбулентных сжимаемых течений с крупномасштабными отрывными зонами необходимы модели турбулентности, подобные (й — е)-модели (п. 11.5.2).

Можно разра- Р ри ро 1эи Е рии — т„, (Е+ р — т„„) и — т„„о — т„и+Я„ рои таа (Е+ р — тял) о — т„аи — т,ли+ Яя ри Рои тая Риа+ Р— теа (Е + р — т„) и — т„,и — т„,о + Я, й 11.б, Сжимаемые течения П.б.4. Граничные условия для сжимаемых вязких течений Здесь рассматриваются граничные условия для задачи обтекания тела безграничным потоком жидкости, направленным , В» аа ая гаанцца ог ' ! l Вхцаиаа граница эи„ / о„ / Рис. 1!.18. Граничные условия для сжимаемого вязкого течения. вдали от тела вдоль оси х (рис.

11.18). Должны быть опреде- лены два типа граничных условий; первые — на поверхности твердое тело — жидкость А, вторые в вдали от тела. На твер- дой поверхности А должны выполняться условия чг=О, Т=Та нли я в = Яа, (1! ! и> дТ ботать сжимаемый вариант этой модели, при этом оказывается, что влияние дополнительных членов, связанных со сжимаемостью, мало (Магу!п, 1983] при числах Маха, меньших 5. Однако, если изменения плотности связаны с большими изменениями температуры внутри расчетной области, учет дополнительных членов необходим (йод!, 1980).

Численные методы решения системы уравнений (11.116), (11.117) рассматриваются в гл. 18. Для течений с выделенным направлением возможно некоторое упрощение уравнений (11.116), (11.117). Такой подход рассматривается в п. 16.3.1„ 16.3.2 и 16.3.7. 54 Гл. 11. 11инамика жидкости: основные уравнекия т. е, скорость движения жидкости относительно тела равна нулю и определена либо температура, либо скорость переноса тепла.

Корректная постановка граничных условий на удаленной от тела границе более сложна. Граничные условия различны на границах, через которые жидкость втекает в расчетную область и вытекает из нее. Последние определяются знаком нормальной компоненты скорости. Нестационарные уравнения Эйлера являются гиперболическими и определение их характеристик не представляет труда. Таблица 11.6. Число граничных условий на удаленной границе Сжимаемая жидкость(5 переменных) Вкодяая граница Система уравнений Выходная граница дозвуковой сверхзвуковой сверхзвуковой дозвуковой Эйлера На вье — Стокса Число граничных условий на внешней границе должно быть равно числу характеристик, приходящих в расчетную область [С)тц, 1978].

Для трехмерных течений с двумя термодинамическими параметрами (третий определяется из уравнения состояния) на входной границе необходимо определить пять граничных условий, если поток сверхзвуковой (табл. ! 1.6). В работе [01!дег, ЯппЖ1гот, 1978] получены аналогичные результаты. Кроме того, анализ, проведенный в этой работе, может быть распространен на уравнения, описывающие вязкие сжимаемые течения. Требуемое число граничных условий приведено в табл.

11.6. В работе [Оцз1а(эзоп, Зипдз(гонт, !978] рассматривались двумерные сжимаемые уравнения Навье— Стокса на основе соотношения (11.36) (а не (11.33)), в котором была отброшена диссипативная функция Ф. Нестационарные сжимаемые уравнения Навье — Стокса рассматривались как не полностью параболическая система и показано, что число граничных условий, приведенных в табл. 11.6, необходимо и достаточно для постановки хорошо обусловленной задачи. Кроме того, были определены специфические комбинации граничных условий, которые дают корректную постановку задачи.