Fletcher-2-rus (Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей), страница 7

Обычно в качестве граничного условия используется непрерывность сдвиговых напряжений. Если граница вычислительной области, лежащей в жидкости, образована поверхностью жидкость — газ, условие непрерывности напряжений при больших числах Рейнольдса сводится к непрерывности давления (если можно пренебречь влиянием сил поверхностного натяжения). При рассмотрении обтекания тел, погруженных в жидкость, необходимо также задать условия на границах, удаленных от тела. На входных и выходных границах жидкости необходимо задать все зависимые переменные, кроме одной (табл. 11.5).

Однако поскольку вязкие члены в уравнениях движения, как правило, пренебрежимо малы, вдали от тела течение можно типа тонкого сдвигового слоя могут весьма эффективно применяться для описания течений в следе, струй, перемешивающихся слоев и многих внутренних течений. Важность приближения сдвигового слоя заключается в том, что оно позволяет разработать маршевые в направлении слоя численные схемы расчета подобных течений. Рассмотрение соответствующих алгоритмов проводится в гл. 15. Гл. !1.

Динамика жидкости: основные уравнения рассматривать как локально невязкое и на выходной границе достаточно поставить лишь одно граничное условие. Различные постановки граничных условий рассматриваются в $ 17.1, а с математической точки зрения в работах (О1!пег, Вцпбз1гот, 1978; Оцз!а!эзоп, 5ппс(з!тот, 1978].

Полная система уравнений (11.81) должна рассматриваться, если в потоке образуются области отрывных течений. В случае отсутствия массовых сил система (11.81), как и (11.42), в безразмерном виде в двумерном случае в декартовых координатах имеет вид ди до — х+ — =0 дх ду да ди — +и +и д1 дх (11.82) + — ~д а + д а~, (11.83) до до д1 + дх Здесь плотность включена в число Рейнольдса. Обобщение на случай трех пространственных переменных достаточно очевидно. Решения схемы (11.83) — (11.84) при малых числах Рейнольдса (Ке ( 200) описывают ламинарные течения, которые рассматриваются в п.

11.5.1. Однако при больших числах Рейнольдса течения становятся турбулентными. Система (11.82) — (11.84) в трехмерном случае пригодна для описания и таких течений, однако при реальных числах Рейнольдса для точного отображения наиболее мелких масштабов турбулентности потребовались бы неприменимо густые сетки. Более широкое распространение суперкомпьютеров (гл.

1) вызвало интерес к моделированию крупных вихрей [Кода!!о, Мо!и, 1984], при котором модифицированная трехмерная форма уравнений (11.82) — (11.84) непосредственно улавливает крупномасштабные турбулентные движения (вихри), а мелкомасштабная (подсеточная) турбулентность моделируется путем введения дополнительных эмпирических членов в уравнения движения. ' Если осредненное крупномасштабное движение является стационарным или слабо изменяется со временем, то для инженерных расчетов более предпочтительным (т.

е. более эффективным с вычислительной точки зрения) является рассмотрение осредненных по времени уравнений, а не системы (11.82)— (11.84). Данный подход рассматриватся в п. 11.5.2. Методы расчета течений, описываемых полной несжимаемой системой уравнений Навье — Стокса, рассматриваются в $17.1 и 17.2. Если в потоке имеется доминирующее направление те- 39 $ !!.5, Вязкие несжимаемые течения чения, возможно некоторое упрощение исходной системы.

Дан- ный подход рассматривается в $ 16.1, а соответствующие вы- числительные алгоритмы — в 9 16.2 и п. 16.3.3. 11.5.1. Ламинарные течения д ((1!.83)) — —,'„((11.84)), что позволяет исключить давление и получить — + и — + е — = — !ь — + — 1, (11.85) д~ дй д~ ! Где~ да~э д! дх ду Ке (дх' дуа1' где ь — завихренностьс ди ди ду дх ' (11.86) Строго говоря, ь = — ь„где ь = го! ч. Введя функцию тока !р: и= —, и= —— д~у д$ ду' дх' (11.87) после подстановки и и и в (11.86) легко получим 7~ту = ь.

(11.88) Можно отметить, что тр автоматически удовлетворяет уравнению (11.82). В формулировке завихренность — функция тока основными являются уравнения (11.85), (11.87) и (11.88). Исключение и и о при помощи (!1.87) дает систему уравнений (11.85), (11.88), которая является параболической по времени и эллиптической по пространству Я 2.1). Начальные условия определяются путем задания Ь = Ье(х,у,1) и решения уравнения (11.88) для ф с граничными условиями Дирихле ф), = а на границе области с. Поскольку система уравнений эллиптическая в пространстве, для ее решения необходимо задать два граничных условия Если на границе заданы компоненты скорости, эти граничные условия определяют посредством (11.87) производные на границе.

В уравнения входят лишь производные от ф, поэтому значения тр могут быть фиксированы на границе и два Несжимаемые ламинарные (вязкие) течения описываются системой уравнений (11.82) — (11.84). Однако в двумерном случае имеет смысл рассмотреть иное представление, а именно в терминах завихренности !, и функции тока тр. Уравнения строятся следующим образом: 40 Гл. 11. Гтннамика жидкости: основные уравнения граничных условия можно представить в виде ф(,=и, — ~ =Ь, д$ дп (11.89) где п — направление нормали к границе с.

Можно заметить, что граничные условия для Ь остались неопределенными. Это справедливо для твердой поверхности, поскольку она является источником завихренности, которая в дальнейшем за счет процессов конвекции и диффузии переносится внутрь поля течения [) !дЫЫ!1, 1963). При рассмотрении задач об обтекании тел условие на удаленной границе типа ь = О может быть заменено иа дар/дп~, = Ь, если поток является локально однородным. При численном решении ($ 17.3) довольно часто удобно, особенно на твердой поверхности, иметь эквивалентное граничное условие для Ь. Ранее это граничное условие часто выводилось из дискретного представления (11.88) таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия дф/дп~, = Ь.

Однако в работе (11цаг!аре1!е, Уа!г-бг!з, 198!! показано, что локального эквивалентного граничного условия для Ь не существует. Должно выполняться интегральное условие на Ь: ~~~т1т1хг(р= ЯЬт! — а ф~~з, (11.9О) а где а и Ь соответствуют (11.89), а т! — произвольная функция, определенная на всей области, такая, что Рт! = О. Типичная постановка граничных условий может быть рассмотрена на примере задачи о стационарном обтекании уступа. Граница АЕ на рис.

11.12 является входной границей. За границей Е0 образуется область возвратно-циркуляционного течения. На границе АЕ определена величина и, что позволяет определить тр из уравнений (11.87). На границе АВ скорость и полагается равной скорости набегающего потока и завихренность полагается равной нулю. Если о = О на АВ, то ф постоянна и равна фл. На границе ВС величина даь/т!ха очень мала и может быть отброшена в уравнении (11.85).

Это изменяет тип системы (9 16.1), и на границе ВС требуется поставить лишь одно условие. Если положить и = О на ВС, то дф/дх = О, что будет физически некорректно вблизи точки С. Более правильно иа границе ВС положить до/дх = О. Тогда из (11.87) и (11.88) следует, что датр/дуа = ь. На поверхности ЕЕОС граничным условием для функции тока будет условие тр =О. Определить граничные условия на ЕЕВС для завихренности более сложно. При формулировке 41 з 1!.5. Вязкие несжимаемые течения в исходных переменных эквивалентным уравнением на РЕ1»С будет и = о = О.

Граничные условия для завихренности на твердой поверхности обычно получаются из уравнения (11.88) или (11.88). Так, например, поскольку до/дх = О на РЕ, граничное условие для завихренности принимает вид: = ди/дура, на 1)Е: ьрн = — дп/дхрн. Какужеотмечалось,данные А В акокнан кран»на анко»на» аро нца Рис. 11.12. Течение у уступа. (11. 91) граничные условия не являются строго эквивалентными условиями для скоростей. В принципе описание в терминах завихренности может быть использовано и в трехмерном случае.

Завихренность тогда имеет три компоненты, а функция тока заменяется на трехмерный вектор-потенциал ]Разе!, 1978]. Последние применения такого подхода описаны в работе [ТЧопп, Ке1гез, 1984]. Формулировки в терминах завихренности, пригодные для рассмотрения трехмерных течений, кратко описаны в 5 17.4. Для определения давления из д(11.83)/дх+ д(11.84)/ду можно получить уравнение Пуассона с граничными условиями Неймана для Р, определенными из (11.83), (11.84). Для стационарных течений уравнение (11.91) достаточно решить один раз после того, как будет получено решение для ту.

В нестационарном случае, как, например, в задачах со свободной поверхностью, для определения давления уравнение (11.91) необходимо решать на каждом шаге интегрирования по времени. Численные схемы, основанные на формулировке завихренность — функция тока, рассматриваются в $ 17.3 и 17.4. 42 Гл. !1. Динамика жидкости: основные уравнения 1!.5.2.

Турбулентные течения дй дд — „+ — =О, дк ду + — 1ь1а — — Ри'о'з1, ду1 ду ду ~~ ду (!1.92) (1 1.93) Г дд дд р! — + й— 1 дт дк (11.94) тде и, б — средние значения скорости, а и' и о' — турбулентные флуктуации. В трехмерном случае в уравнениях, аналогичных (11.93), (11.94), появляются дополнительные рейнольдсовы напряжения — ри'и', — ро'в' и — ~ю'в'. В полученных таким образом осредненных по времени уравнениях необходимо установить связь между напряжениями Рейнольдса и осредненными параметрами течения. В п. 11.4.2 это было сделано путем введения дополнительной вязкости от (полагая — ри'о' = ротдй/ду) и определения алгебраической формулы для тт.

Такой подход, однако, эффективен лишь для течений в пограничных слоях, где скорость выделения турбулентной энергии примерно равна скорости ее диссипации. В более сложных турбулентных течениях, где существен конвективный перенос турбулентности, этот подход может оказаться неэффективным. Другой подход состоит в выводе уравнений (дифференциальных) переноса некоторых турбулентных величин и моделировании членов более высокого порядка, которые оказываются равными тройным корреляциям. Здесь приводятся так называемая (й — е)-модель ((.апис(ег, Яра!б!пп, 1974), типичная модель турбулентности„ основанная на двух уравнениях. Использование в инженерных разработках трехмерных аналогов уравнений (11.82) — (11.84) для расчета несжимаемых турбулентных течений привело бы к непомерно большим затратам.

Для практических целей, как правило, достаточно знать осредненные характеристики движения, которые могут быть получены путем осреднения уравнений по некоторому малому интервалу времени Т (подобно тому, как это сделано в п. 11.4.2). В результате осреднения получается следующая система уравнений: 43 э 11.а. Вязкие несжимаемые течения В (й — е)-модели выводятся уравнения для турбулентной кинетической энергии й и скорости диссипации турбулентной энергии е й = 0.5 (и'и'+ о'о'+ ы'в') = 0.5 ("Рз) в=чг Уравнения для й и е имеют вид (11.95) рС ез й (11.96) Здесь для удобства записи использованы тензорные обозначения в декартовых координатах [Аг!и, 1962].

Левые части (11.95) и (11.96) представляют аналогично уравнению (11.12) конвективный перенос соответственно величин й и е. Три члена в правой части уравнений описывают диффузию, выделение и диссипацию соответствующих величин. Данные уравнения выведены из нестационарных уравнений Навье — Стокса, в которых сохранены диффузионные члены, но отброшены члены, соответствующие вязкой диссипации, а также произведена модификация некоторых других членов.