Fletcher-2-rus (Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей), страница 3

Для малого элемента жидкости, рассматриваемого как замкнутая система (т. е. отсутствует поток через границы), второй закон Ньютона может быть записан в виде — ~ рч<М„= ~ г, (11.14) где нижний индекс сз означает замкнутую систему. Удобно сгруппировать все члены, содержащие плотность, и за- писать (11.10) в виде $113П Уравнения движения 13 Для неподвижного объема )г, в котором возможно течение через границы (рис. 11.3), имеется следующая связь с замкнутой системой (5(гее1ег, %у!!е, 1979): д, ~рчгЛ~'ее=~,~, (ртг)г()г+ ~ ртг(ч п)дЗ.

(11.15) Здесь рч — количество движения, ч и — проекция скорости на нормаль к поверхности контрольного объема. По теореме Гаусса ри Рис. 1!.3. Геометрия контрольного объема для уравнений Эйлера соотношение (1!.15) преобразуется к виду — „, ~ рзг а('к'„= Я вЂ”, (рч) + Ч .

(ртгтг)~ ЮР'. (11.16а) Преобразуя производные в (11.16а) и используя (11.9), можно получить — ) р гЛг„= ) р — гЛ/, (11.16Ь) где 17ч/01= дч/дг+ УУю Величина йч/Ж есть полная производная по времени от ч (ускорение). Таким образом, уравнение (11.14) принимает вид ~ р — „г()г = ~ Р, (11.17) т. е.

произведение массы на ускорение равно силе. Сумма в правой части (11.17) складывается из сил, действующих на поверхность контрольного объема (поверхностные силы), и сил, действующих на каждый его элемент (объемные или массовые силы). Наиболее распространенной массовой силой (и только она здесь рассматривается) является 16 Гл. !!. динамика жидкости: основные уравнения гравитационная сила тяжести. Природа поверхностных сил зависит от того, учитывается ли вязкость жидкости. Сначала будет рассмотрена невязкая жидкость. В этом случае поверхностные силы обусловлены лишь давлением, которое действует по нормали к поверхности.

Тогда правая часть (11.17) может быть записана в виде р ' Р = ~ р$ йо' — ~ рп йЯ, (11.18) где 1 — объемная сила на единицу массы. По теореме Гаусса правая часть (11.18) может быть преобразована к интегралу по объему ~ Р = ~ (р$ — Чр) с(У. (11.19) Подстановка этого выражения в (11.17) дает ~~р —,— р1+Чр~й =0. (11.20) Итак, для произвольного объема Р по р ~1 =р1 — Чр.

(11.21а) Другая (консервативная) форма этого уравнения может быть получена из (11.16): — (рч) + Ч ° (рч ч) = рт — Чр. (11.2! Ь) (11.23) Уравнения (11.21) называются уравнениями Эйлера и применимы, строго говоря, лишь для описания течений невязкой жидкости. Однако для многих течений влияние вязкости чрезвычайно мало и уравнения (11.21) являются весьма точным приближением. Если массовая сила является силой тяжести, направленной в отрицательном направлении оси г, то уравнения Эйлера (11.21) в декартовой системе координат имеют вид р — +и — + о — +-о — = —— гди ди ди ди 1 др ! да дк ду дх1 дк' (11.22) Г до до до до 1 др р ~ — + ,'и — + (о — + со — з! = — —, ! д! ' дк ду дк1 ду ' р~~ — + и — + о — +и' — з! = — рд — †.

(11.24) Гдв дв дв дв1 др д1 дх ду да 3 да ' Уравнения (11.2!) — (11.24) применимы для описания как сжимаемых, так и несжимаемых течений. !7 $ !!.2. Уравнения движения 11.2.8. Уравнение количества движения: вязкое течение !зя Р ! =Рт — т7Р+тт (11.25) или в декартовых координатах дтих дт „ их !!и Р о! =Рерх !зи Ф, др дт хх ду дх дтеи дт,я дх др дх дтх„ (11.26) ду + дх дт„дт + ду дх дх дт„ — "' + дх ду др — + дх 1!э .Р О! Ре2 Уравнения (11.26) для вязкой жидкости заменяют уравнения Эйлера (11.22) — (11.24). Однако необходимо задать связь между различными вязкими напряжениями и скоростями деформации. Эта связь задается соотношениями 2 ди т,х —— — — ИЛ+21 д 3.

дх ' 2 ди т = — — аЫ+ 2!х —, ЯЯ 3 ду ' 2 дв т„= — з !хжт+ 2И где йр определяется уравнением (11.13). После подстановки (11.27) в (11.26) получаются так называемые уравнения (11.27) 2 К. Флетчер, т. 2 При рассмотрении вязкой жидкости по-прежнему верно уравнение (11.17). В уравнении (11.18) поверхностные напряжения, связанные ранее лишь с давлением, должны быть заменены тензором напряжений о, который может приводить к возникновению напряжений в любом направлении.

Среднее от нормальных напряжений полагается равным давлению с обратным знаком. Остальной вклад в тензор напряжений связывается с вязкостью жидкости и образует тензор вязких напряжений т н а = = — р1+ т. Следовательно, для вязких течений вместо уравнений (1!.21) получается уравнение !а Гл. !!. Динамика жидкости: основные уравнения Надое — Стокса: Ои др 2 д(иЯ>) д т ди Х р — =р! — — —— !З! х дх 3 дх + 2 — !х!а — ) + дх ~ дх) или в векторном виде р — = р! — Чр — — Ч(!хЧ ч)+ 2Ч (!а г!е1 и), (1!.31) !уч 2 где ! /до! до! 'х с(е( ч = — — !х — '+ — !.

2 ~дх дх !' Уравнения (11.28) — (11.31) применимы для описания вязких сжимаемых течений. Более подробный вывод этих уравнений можно найти у Бэтчелора [Ва!с!те!ог, 1967[. В книге Пэнтона [Ран!оп, 1984] подробно обсуждаются различные члены уравнений Навье — Стокса. 11.2.4. Уравнение энергии По первому закону термодинамики скорость изменения суммы внутренней и кинетической энергий системы равна скорости переноса тепла через ее поверхность минус работа, совершаемая системой в единицу времени.

Для контрольного объема ч' это означает, что ~ р !' ~е [ '~' ~с()т = ~ р1 ч Л' + ~ и .1(чв — 4)!2Я, (11.32) у э где 0 — скорость переноса тепла через единицу площади, е— удельная внутренняя энергия. В это выражение не включены внутренние источники тепла, связанные, например, с химическими реакциями. Первый и второй члены правой части (!1.32) представляют работу, совершаемую соответственно объемными " поверхностными силами. $ !1.2. Уравнения движения 19 Применяя теорему Гаусса и устремляя объем к нулю, получаем В да Р 1(н+ 2) — Р1 н — Ч(чо)+Ч Я=О.

(11.33) Уравнение (11.33) содержит в себе закон изменения механической энергии Р 1 (2 ) — Р$ ч — ч б(на=О. ча (11.34) Исключая его, можно получить закон изменения тепловой энергии Р д +рЧ ° н=Ф вЂ” Ч ° Я, (11.35) или Р Ф Ч (й, 11а 11р (11.36) где й = е + р/р — удельная энтальпия„ Ф (= — т Чн) †диссипативная функция, возникающая из необратимой работы вязких сил.

Скорость переноса тепла связана с локальным градиентом температуры уравнением (11.5): Я = — 'яЧТ. (11.37) Уравнение (11.36) с учетом (11.37) в декартовой системе координат принимает вид (1! .38) где Ф=21а[(д ) +(д ) +(д ) +05(д +дх) + (1! .39) Заметим, что уравнение энергии будет использовано прежде всего при описании течений воздуха, который можно считать идеальным газом с уравнением состояния (11.1). Следовательно, внутренняя энергия и энтальпия связаны с температурой соотношениями В = ср(Т Т»е~), Й = на (Т 7»»1)~ (11.40) где с„и ся — удельные теплоемкости при постоянных объеме и давлении соответственно. 2» зо Гл.

11 Динамика жидкости; основные уравнения 1!.2 б. Динамическое подобие Чтобы наиболее оптимальным образом (с точки зрения проведения минимального количества расчетов или экспериментальных наблюдений) получить картину течений у тел подобной конфигурации, желательно сгруппировать все параметры (такие, как длина тела, скорость набегающего потока и т.

п.) в ряд безразмерных параметров. Два потока динамически подобны, если безразмерные числа, определяющие течения, равны. Размерные же параметры, входящие в безразмерные комбинации, могут при этом быть различны. Наиболее простой путь определения безразмерных величин состоит в обезразмеривании уравнений и граничных условий, определяющих течение жидкости. Например, при исследовании волн, создаваемых кораблем длиной 1., движущимся со скоростью У, для начала достаточно рассмотреть уравнение, описывающее г-компоненту импульса в вязком несжимаемом потоке дв дв дв дв /1Х др — +и — +о — +ю — +~ — ) — = дт дк ду да ~ р 1 дя Безразмерные переменные вводятся следующим образом: х'=х/1., у'=у/Л, г =г/1., 1 =У„1/1„ и'=и/У, о'=о/У, з'=в/У, р"=(р — р )/рУ . Уравнение (11.41) принимает вид „д1' дк' ду' дг' да' у дав' дав' дав'ах уд да а дуя дг ) 11~, (11.42) В гл.

14 — 18 будут рассмотрены конечно-разностные формы различных уравнений, описывающих движение газа (например, уравнение (11.21)). Однако, поскольку дискретизация проводится на сетках конечного размера, возможно также и конечноразностное представление исходных законов сохранения (например, (11.20) ). Подобные примеры приведены в 5 5.2.

Связь уравнений, описывающих движение жидкости, с соответствующими молекулярными процессами подробно обсуждается Бэтчелором [Ва1с)1е!ог, 19б7]. Уравнения в различных системах координат (без вывода) приведены в работе (Ннд)тез, Оау!огб, 1964). $11.2. Уравнения движения 21 В уравнении (11.42) имеются два безразмерных параметра: и„г.. и„ Ке= — и Рг=— н (аг-)ьг Первый из иих называется числом Рейнольдса, второй — числом Фруда. Два несжимаемых вязких течения со свободной поверхностью динамически подобны, несмотря на различные величины (/, Ь и и, если числа Ке и Гг для этих двух течений равны. Другие безразмерные параметры (числа Маха и Прандтля, отношение удельных теплоемкостей) могут быть получены из обезразмеривания уравнения энергии.