Роуч П. Вычислительная гидродинамика (Роуч П. Вычислительная гидродинамика.djvu), страница 15

3.1.2. Метод контрольного объема Метод контрольного объема для вывода коиечно-разностных уравнений очень похож на интегральный метод, но более физичен по существу. Этот метод наиболее ярко освещает процесс «численного моделирования». Наилучшими примерами такого подхода могут служить широко известные метод частиц х-Ьх Рис. З.б. Контрольный объем КО в точке я. в ячейках (метод Р1С) и метод жидкости в ячейках (метод Р(.1С), развитые в Лос-Аламосской лаборатории (Эванс и Харлоу [1947); Джентри, Мартин и Дали [1966[); зти методы будут описаны ниже (см.

равд. 6.5.3). Выберем в пространстве контрольный объем с центром в точке х, как показано на рис. 3.5. В качестве значения ь в узловой точке сетки будем брать среднее значение атой функции по контрольному объему (КО). Для удельной (т. е. осредненной по объему) величины ь, где ь можно теперь рассматривать как любую переменную величину, запишем ( Г/объем. Например, если ь — плотность р, то à — полная масса, заключенная в рассматриваемом контрольном объеме с центром в точке х. Если ~ — вихрь, то Г представляет собой циркуляцию (см.

Ламб [1946)). Теперь запишем словесную формулировку следующего закона сохранения: Полное приращение величины Г в КО = Чистый приток Г в КО за счет конвекции+ Чистый приток Г в КО за счет диффузии. (3.32) Полное приращение величины Г = ь Х(объем) в КО за промежуток времени А( равно ['[,',+" Х (Ах бр Аз) — 1 [,' Х(бх бр ба) зд.2. Метод контрольного объема Конвективный поток величины Г, втекающий в КО через левую грань за единицу времени, составляет (иь), д, Х (площадь) =(иЯ„д„иЬуЬг„ где и может быть переменной, а значения функций на грани х — Ьх/2, которые еще надо определить, должны быть некоторыми средними за Ьй Исходя из этой величины втекающего конвективного потока за единицу времени, полный конвективный поток величины Г в КО за промежуток времени Ьт через грань х — Ьх/2 можно записать так: (и~)„д„и Ьу Ьг ЬЬ Аналогично, полный конвективный поток Г, вытекающий из КО через х+ Ьх/2, будет равен (иГ)„+ Ь„Ь у Ьг Ь/, а чистый приток Г в КО получается как разность суммарного втекающего потока и суммарного вытекающего потока, т.

е. ~(и(), д„— (и~)«ьд«]ЬуЬгЬЬ Чтобы вычислить поток в КО за счет диффузии, необходимо иметь закон для скорости диффузии. Простейший такой закон (согласующийся с уравнением переноса вихря) является линейным и гласит, что диффузионный поток величины Ь за единицу времени, который мы назовем д, пропорционален градиенту ( (закон Фина): дй д — а —. дх ' Здесь минус указывает на то, что увеличение Ь в направле- нии х вызывает диффузию в противоположном направлении, Диффузионный поток, втекающий в КО через левую грань за единицу времени, равен д~ ЬуЬг — а — ~ ЬуЬг, дй « — ь«и дх «-ь«и а вытекающий из КО через правую грань за единицу времени составляет д~ ЬуЬг — а— дй «+д«тх дк «+дхд Здесь опять значения на гранях х н- Ьх/2 представляют собой некоторые средние за время Ь/, которые еще должны быть определены.

Величина потока в КО за счет диффузии за промежуток времени Ь/ равна 50 8.!. Методы решения уравнения иереноеа вихря Используя эти выражения, словесно сформулированный закон сохранения (3.32) для одномерного случая с конвекцией и днффузией можно записать следующим образом: Ьхгхубг — ь(„гххбубг=(иь), д, — иь(„+ „)бубан'+ +царь тхт') — ! — д ~ 1. (333) Разделив на ЛхЛуЛг(тт, получим ' ~~~тент ~~~~ ~ ~ить) и~~ + ах [дх ~ д дх ~ ~ ° (3.34) Как и в интегральном методе, при дальнейшем выводе конечно-разностных выражений появляется некоторая свобода действий при определении значений функций на гранях объема. В качестве значений на грани объема можно взять среднее арифметическое значение в соседних узлах в момент времени ки тогда (и~)х ьзх„=-~М),"„,х+(иЬ)"„1 и градиенты дй ~ д~ ~и дх (я~ах(я ох )хеаяд можно вычислить при помощи центральных разностей: дй )" й(„"+а, — й!," В результате уравнение (3.34) примет вид Я( ~1(» — т (Д=ах ) 2 [(ит')» + (п~)х-аД вЂ” 2 ((п1)~+(н~)'„+а,3~+ + Я вЂ”, (ь (+ — ь ( ) — — „(ь ( — ь ( — )) или т ! 2 т ("и+" — (ий) -" '+ *+1.-"-'й 3 5 2 ах +а (3.35) Если вернуться к индексам т' и и, то это уравнение совпадет с полученным ранее уравнением (3.18).

Таким образом видно, что все четыре метода вывода конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений в част. 3их3. Свойство консервативности ных производных — разложение в ряд Тейлора, метод полиномиальной аппроксимации, интегральный метод и метод контрольного объема — могут привести к одинаковым разностным выражениям.

Это обнадеживает и укрепляет доверие ко всем этим методам. Но в каждом из них имеется некоторая свобода действий, так что выбор метода для вывода конечно-разностного аналога дифференциального уравнения определяет этот аналог не единственным образом. В самом деле, существует много используемых аналогов. Несмотря на то что большинство из них различается (как может показаться непосвященным) в незначительных деталях, они могут сильно отличаться по своему поведению.

По личному мнению автора одним из удивительных аспектов вычислительной гидродинамики является наличие большого числа правдоподобных схем, которые, однако, не работают, как, например, было указано для уравнения (3.17). Это справедливо как для основных (т. е. предназначенных для расчета внутренних точек) разностных схем, так и для схем, предназначенных для расчета граничных точек.

Достоинство метода контрольного объема определяется не каким-либо его свойством, а тем, что он является наилучшим в некотором среднем смысле. Преимущество этого метода заключается в том, что он основан на макроскопических физических законах, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций.

Особенно важным это оказывается в тех случаях, когда имеют дело с разреженными газами или с течениями невязкого газа„в которых существуют ударные волны. В этих случаях дифференциальные уравнения не имеют всюду непрерывных решений, которые можно было бы в каждой точке представить рядами Тейлора. Однако масса, например, все же сохраняется, и конвективная часть уравнения (3.35) по-прежнему остается справедливой. Но даже и в тех случаях, когда непрерывные решения существуют, в методе контрольного объема внимание сосредоточивается на фактическом выполнении физических законов микроскопически, а не только в неком академическом пределе при Лх и М, стремящихся к нулю, Это лежит в основе понятия консервативности конечно-разностного метода, к обсуждению которого мы переходим. 3.1.3.

Свойство консервативности Конечно-разностный метод является консервативным, если он обеспечивает выполнение определенных интегральных законов сохранения, справедливых для исходных дифференциальных уравнений. 3.б Методы решения уравнения переноса вихря Рассмотрим уравнение переноса вихря (2.12), полагая 1/Г(е= д — У ° (Чь) + аУгь . (3.36) Проинтегрируем это уравнение по некоторой пространственной области )с: ~+сИ= — ~ У ° (Чь) с(ес+ ~ аЧгьс()с. (3.37) (3.40) ') Мы вывели (3.41) из (3.36), чтобы показать связь этих уравяений, но иа самом деле уравнение (3.41) является более общим, чем (3.36).

Например, если а = О, а Ь вЂ” массовая плотность, то оба эти уравнения пред. ставляют собой уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы. Однако уравнение (3.41) остается справедливым даже в том случае, когда в некоторых внутренних точках области й производные, входящие в (3.36), не существуют. Так как ( не зависит от пространственных переменных, имеем ()фя= —,', ~~и. (3.38) Используя формулу Остроградского — Гаусса, получаем ~ Ч (У~)~Я вЂ” ~ (У~) псЬ, (3.39) л дл где д)7 — граница )с, и — единичный вектор нормали к поверх. ности (положнтельное направление соответствует внешней нормали) и с(з — дифференциал длины дуги границы д)с.

Аналогично, по той же формуле ~ аУгЬст)с =а ~ (Ч(,) ° пс(з. и ди Тогда уравнение (3.37) примет вид — ~ ь с()с = — ~ (Чь) ° и суз + а ~ (Чь) ° и ~В. (3.41) и ел ал Уравнение (3.41) констатирует, что скорость накопления величины ~ в области )7 равна сумме конвективного и диффузионного притоков величины Г в Л через д12 за единицу времени '). Требование консервативности заключается в тождественном сохранении в конечно-разностной схеме этого интегрального соотношения. Простоты ради рассмотрим одномерное модельное уравнение для предельного случая невязкой жидкости (се =О), которое получается из уравнения (3.36) и имеет вид дй д (иь) дт дх (3.42) 3осд, Свойство консервативиости бз (Если, с другой стороны, величину ~ трактовать как массовую плотность, то уравнение (3.42) будет уравнением неразрывности для сжимаемой среды.) Используя разности вперед по вре.