Роуч П. Вычислительная гидродинамика (Роуч П. Вычислительная гидродинамика.djvu), страница 12

При такой классификации не делается различия между уравнением (2.5) переноса вихря н уравнением диффузии дцд1 =аде~/дх', однако, как мы увидим ниже, наличие в уравнении (2.5) производной первого порядка (конвективного члена) делает его качественно отличным от уравнения диффузии, причем прн численном решении конвектнвный член играет важную роль. К сожалению, для двух указанных членов наиболее аффективными могут оказаться различные численные схемы.

2.3. Консервативная форма уравнений Уравнение неразрывности (2.3) дй дй =+==О дх ду можно записать через вектор полной скорости Ч в следующем виде: 7 ° Ч = О. (2.9) Рассмотрим Ч (Ч, ~). В векторной алгебре известно тождество Ч ° (Ч~) = Ч ° (Ч~) + ~ (7 ° Ч) = Ч ° (7~).

Таким образом, для того чтобы получить консервативную форму уравнения переноса вихря, в уравнении (2.5) надо заменить Ч. (Ч~) на Ч (Ч~), что дает д1 — -- — е- д (й~) д 1йй) е' дей дей н == — 7 ° (Чь) + ЧЧеь= — — — — + Ф( — + — ). (2,10) д1 дх дй Ьхе две) Смысл н преимущество использования такой «консервативной» или «дивергентной» формы уравнений будут обсуждаться в разд. 3.1.3. 2.4. Уравнения в безразмерных переменных Система уравнений в безразмерных переменных, используемая в этой книге, всюду основывается иа конвективном масштабе времени Е/Оа, где Š— характерная длина, а 0е — характерная скорость задачи; например, если Š— длина хорды кры.

2.4. Уравнения в безразмерных переменных лового профиля н 0о — скорость набегаюшего потока, то Е/0о— время, за которое частица набегаюшего потока проходит весь профиль. Введем следуюшне безразмерные величины: и==, о==, х==, у==, ~==, /=='(211) и о х р = ц,/~' = с/цз' тогда уравнения (2.10) и (2,8) примут вид — "= — У (Ю+ — ' (2.12) Уяф (2.13) где Ке — безразмерный параметр, число Рейнольдса, Ке = УоЕ/9. (2.14) Таким образом, для любого заданного набора граничных условий течение характеризуется одним безразмерным параметром — числом Рейнольдса. Для течений с большими числами Рейнольдса (Ке )) 1) конвектнвный член в уравнении (2.12) превалирует над членом вязкой диффузии, и в этом случае величина Е/Оо будет представлять собой интервал времени, фактически характеризующий течение.

Тогда, например, условие для безразмерного времени г = 1/(Е/17о) )) будет подходяШим критерием для достижения стационарного состояния течения. Однако течения с малымн числами Рейнольдса (Ке « 1) лучше характеризуются безразмерным «диффузионным» временем. Определяя такое безразмерное время как у'= уй/ХЯ, (2.15) а другие безразмерные величины так же, как в (2.11), получаем для функции тока то же самое уравнение Пуассона (2.13), но уравнение переноса вихря при этом принимает внд —, = — Ке Ч ° (Уь) + Ч~Г,. дй Величина Ез/9, очевидно, имеет размерность времени. Для того чтобы оценить ее физическую значимость как масштаба времени в задачах с преобладающей диффузией, достаточно заметить, что в пределе прн Ке-+.О уравнение (2.12) становится сингуляр.

ным, тогда как уравнение (2.16) ведет себя прн этом хорошо, а конвективный член исчезает. Аналогично, уравнение (2.12) не имеет особенности при Ке- оо, но при этом исчезает диффузионный член '). Для течений с большими, но конечными, или с ') Этот предел не двст корректного численного реюения для невязного нли потенциального течения, если граничные условия не будут тоже приве. девы в соответствие невязкону теченинь 2Х Одномерные модельньге уравнения переноса малыми, но отличными от нуля, числами Рейнольдса применение соответствующих масштабов времени будет уменьшать ошибки округления, которые могут оказаться существенными при расчетах на некоторых вычислительных машинах.

Использование уравнения (2.!2), основанного на конвективном масштабе времени, имеет также то преимущество, что радиус-вектор частицы (лагранжева координата) г = го + ~ Ч М сохраняет при этом свою форму в безразмерных переменных, т. е. =г, + )'и'Ж. Для уравнений, описывающих другие течения жидкости, более подходящими могут оказаться другие масштабы времени. Например, в задаче об устойчивости естественной конвекции У, Кроули [1968) вводит четыре характерных времени, связанные с диффузней, конвекцией, средним градиентом вихря и архимедовой силой.

Однако для наших целей будет достаточным уравнение (2.12), основанное на конвективном масштабе времени, Упражнение, Записать в безразмерном виде уравнения (2.1) н (2.2), используя конвективный масштаб времена и вводя безразмерные скорости и расстояния тан же, как в равенствах (2.11). Отнести при этом давление к удвоенноиу «динамическому напору», т.е, положить Р = Р ((р(ге). Упражнение. Записать уравнение (2.1] в консервативной форме, т.

е. преобразовать конвективный член У (7и) к дивергентной форме и ()Ги). 2.5. Одномерные модельные уравнения переноса Уравнение переноса вихря как в неконсервативной, так и в консервативной форме (2.12) является параболическим по времени, содержит две независимые пространственные переменные и связано с эллиптическим уравнением Пуассона для функции гока (2.13) через нелинейные конвективные члены. Исследование устойчивости конечио-разностных аналогов этих уравнений, в котором принимались бы во внимание все перечисленные выше свойства уравнений, до сих пор не проводилось. Тем не менее можно изучить многие аспекты поведения уравнения переноса вихря и выявить существенные черты многих конечно-разност. ных схем, рассматривая любое из двух одномерных модельных уравнений переноса, приведенных ниже. Первым модельным уравнением переноса является линеаризованное одномерное уравнение с конвективным и диффузионным членами (Аллен [1968[, У.

Кроули [1968а[), записанное либо в консервативной форме — = — — +а —. дй д (ий) дзс д( дх дха ' (2.17) 2.о. Одномерные модельные уравнения переноси либо в неконсервативной форме дь да даь — = — и — +а —. дт дх дх' ' (2.18) В этих уравнениях г", моделирует вихрь или какую-либо другую конвективную и диффузионную величину'), а — обобщенный коэффициент диффузии, соответствующий величине 1Яе в уравнении переноса вихря, и — линеаризованная скорость конвекции. Если не оговорено противное, то и постоянна по х, хотя уравнение (2.!7) может быть использовано и для изучения эффектов устойчивости в случае, когда и = и(х), Вторым модельным уравнением переноса является уравнение Бюргерса (Бюргере [1948], Хопф [1950], Родин [1970]) ди ди д'и — = — и — +а —, де дх дха ' (2.!9) где и рассматривается как обобщенная скорость.

Это уравнение сохраняет нелинейность уравнения переноса вихря и уравнений Навье — Стокса. Благодаря своей нелинейности оно может служить модельным уравнением для изучения как турбулентности, так и ударных волн (см. равд. 4.7). На этом уравнении могут быть также исследованы различные конечно-разностные схемы (Рихтмайер [1963], Аллен и Чен [!970], Б.

Кроули [1967], сРрогйдигер и др. [1967], Гринспэн ]1967], Аллен [1968], Чен [1968], У. Кроули [1968а], Кофоэд-Хансен [1968]). Эквивалентная консервативная форма этого уравнения такова: до д и' д'и — = — — — +а —. дь дх 2 дхз ' (2.20) ') Этн одномерные уравневня не являются уравнениями переноса вихря (в одномерном однородном потоке впкря не существует), но тем не менее моделируют некоторые аспекты многомерных уравнений. Физически зтн уравнення описывают конаекцню н днффузню одной окрашенной жидкости в другой (напрнмер, чернил в воде) — в пятидесятых годак Лелевье называл уравнение (2.18) «цветовым уравненнемь (см.

У. Кроулн [1968а)1. Поскольку известны некоторые аналитические решения уравнения Бюргерса, оно может служить для демонстрации преимуществ консервативной формы конечно-разностных уравнений. Читатель должен помнить о том, что хотя изучение одномерных модельных уравнений удобнее н нагляднее, однако прн этом накладываются значительные ограничения. Многие аспекты вычислительной гидродинамики по существу определяются размерностью, причем одно-, двух- и трехмерные задачи оказываются качественно различными. Эти вопросы будут обсуждаться в последующих главах.