Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Невозможно точно определить, когда впервые была выдвинута идея асимптотического метода установления по времени, при которой для получения стационарного решения интегрируются уравнения нестационарного течения. Сомнительно, чтобы такая идея могла серьезно рассматриваться до появления ЭВМ. Многие из пионерских работ в области вычислительной гидродпнамики были выполнены в Лос-Аламосской лаборатории.
Именно в Лос-Аламосе во время второй мировой войны фон Нейман разработал свой критерий устойчивости параболических конечно-разностных уравнений и дал метод исследования линеаризованной системы. Краткий отчет о его работах появился в открытой литературе лишь в !950 г. (Чарни с соавторами [1950] ')). В этой важной статье были впервые приведены расчеты метеорологических задач большого масштаба, в которых рассматривались нелинейные уравнения для вихря. Авторы выяснили, что в смысле устойчивости уравненчя для вихря имеют преимущество над традиционными уравнениями для простейших физических переменных (скорость и давление), и привели эвристические обоснования своей трактовки нестационарной задачи как задачи с математически неполными условиями на входной и выходной границах.
В середине пятидесятых годов в работах Писмена и Ракфорда [!955], а также Дугласа и Ракфорда [1956] были предложены эффективные неявные методы для решения параболических уравнений, пригодные при произвольно больших шагах по времени. Под названием неявных схем метода чередующихся направлений') они применялись и для решения эллиптических задач с использованием аналогии Франкела [1950] между продвижением решения по времени в параболических задачах и продвижением решения по итерациям в эллиптических задачах.
') Более полное описание дали О'Брайен, Хаймен и Каплан [!950). з) Наряду с названием «метод чередующихся направлений» в советской литературе применяются также названия «метод переменных (или поперемен. ных) направлений». При переводе данной книги мы употребляем первое (хотя реже встречающееся) название как более точно отражающее суть не~ода и его английское название (анегпанпя б(тес(1оп те(йоб). — Прим.ред. Л2 И«гори«ее«ой обзор 21 Неявные схемы чередуюгцихся направлений, вероятно, наиболее популярны при расчетах задач о течениях несжимаемой жидкости, в которых используется уравнение переноса вихря, В 1953 г.
Дюфорт и Фраикел опубликовали свою схему «чехарда» для параболических уравнений, которая, как и неявные схемы метода чередующихся направлений, пригодна для произвольно больцшх шагов по времени (при отсутствии конвективиых членов), но сохраняет все преимушества чисто явных схем. Эта схема использована Харлоу и Фроммом [1963) при получении их широко известного численного решения для не- стационарной вихревой дорожки. Статья Харлоу и Фромма [1965), опубликованная на страницах журнала Ьс1епЯ1с Апзег1сап, была предназначена специально для того, чтобы привлечь внимание научной общественности Соединенных Штатов к возможностям вычислительной гидродинампки.
Примерно в то же время во французском журнале (.а Ноп11!е В!апс)зе появилась аналогичная статья Макано [1965). В обеих этих статьях были впервые четко сформулированы понятия численного моделирования и численного эксперимента. Выходом этих статей можно датировать возникновение вычислительной гндродинамики кзк отдельной дисциплины. Вычислительная устойчивость всех упомянутых выше зависящих от времени решений была ограничена сверху по числу Рейнольдса (принцнппально этот предел определяется сеточным числом Рейнольдса, т.
е. числом, полученным по размеру шага ячейки конечно-разностпой сетки). В 1966 г, Томан и Шевчик добились, по-видимому, неограниченной вычислительной устойчивости, используя для представления конвектнвных членов разности против потока и уделяя особое внимание граничным условиям. Их расчеты обтекания цилиндра простирались до чисел Рейнольдса, равных миллиону; они даже могли «вращать» цилиндр и получать магнусову подъемную силу, пе сталкиваясь при этом с вычислительной неустойчивостью. Несмотря на то что их схема имела лишь первый порядок точности, согласование полученных ими результатов с экспериментальными данными заставило переоценить важность формального порядка ошибок аппроксимации при разпостноы представлении дифференциальных уравнений в частных производных.
В этой связи представляется важной работа Чена [1968), установившая существенное влияние численной постановки граничных условий. Прямые (неитеративпые) методы Фурье для численного решения эллиптического уравнения Пуассона были известны уже в течение некоторого времени (см., например, монографию Вазова и Форсайта [1960) ), ио не применялись к задачам гидродпнамикн.
В 1965 году Хокни разработал родственный, ~о более !.2. Исторический обзор быстродействующий метод, позволивший эффективно решать большие краевые задачи для уравнения Пуассона. После выхода этой работы прямые методы для уравнения Пуассона стали развиваться более интенсивно. Описанные выше методы пригодны для расчета дозвуковых течений сжимаемой жидкости.
Сверхзвуковые задачи отличаются от дозвуковых в несколькнх важных аспектах, важнейшим из которых является возможность возникновения в сверхзвуковом течении ударных волн (т. е. разрывов в решениях). Основополагающей работой для численного расчета гиперболических уравнений явилась статья Куранта, Фридрихса и Леви, опубликованная в 1928 г. Здесь обсуждались характеристические свойства уравнений и в общих чертах излагался известный метод характеристик.
В этой работе было также получено и объяснено знаменитое необходимое условие устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви, гласящее, что при расчетной сетке, не совпадающей с характеристической, область зависимости разностных уравнений должна по крайней мере включать в себя область зависимости дифференциальных уравнений. Это условие устойчивости КФЛ (которое в современной терминологии просто гласит, что число Куранта должно быть меньше единицы) справедливо для уравнений гидродинамики как в лагранжевых, так и в эйлеровых переменных.
Лагранжевы методы, в которых прослеживаются «счастицы», были доведены до высокой степени совершенства в Лос-Аламосской лаборатории (Фромм [1961]). Вообще говоря, для двумерных задач эйлеровы методы предпочтительнее, однако при их использовании затрудняется расчет ударных волн. Если размер ячейки сетки не меньше, чем толщина ударной волны, то появляются осцилляции, снижающие точность. Эти осцилляции на дискретной сетке имеют физический смысл (Рихтмайер [!957]). Кинетическая энергия, высвобождающаяся из-за потери скорости при переходе через ударную волну, превращается во внутренщою энергию случайных соударений молекул; при расчетах роль молекул играют ячейки конечно-разностной сетки.
Наиболее обычным подходом к расчету ударных волн на эйлеровой сетке является «размазывапие» скачка на несколько ячеек сетки путем явного или неявного введения искусственной вязкости, не оказывающей влияния на решение на некотором расстоянии от ударных волн. В 1950 г. фон Нейман и Рихтмайер предложили схему искусственной вязкости, в которой «коэффициент вязкости» был пропорционален квадрату градиента скорости. Ладфорд, Полячек и Зегер [1953] просто бралп большие значения физической вязкости в уравнениях течения вязкой жидкости на лагранжевой сетке, однако в их методе требовались нереально высокие значения вязкости. 23 1.2. исторический обзор Для размазывания скачка вместо явного введения искусственной вязкости можно использовать и неявную вязкость, имеющую место в конечно-разностных аппроксимациях.
Это было осуществлено в широко известном методе частиц в ячейках (методе Р1С), разработанном в Лос-Аламосе Эванс, Харлоу и др.'), а также в методе Лакса (Лакс [1954[) и в других методах. В работе Лакса, опубликованной в 1954 г., сама численная схема гораздо менее важна, чем использованная форма дифференциальных уравнений — консервативная форма. Лаке показал, что преобразованием обычных уравнений гндродннамикн, в которых зависимыми переменными являются скорость, плотность и температура, можно получить систему уравнений, в которой в качестве зависимых переменных служат количество движения, плотность и удельная внутренняя энергия торможения.
Эта новая система уравнений отражает сущность физических законов сохранения и позволяет сохранять интегральные характеристики течения в конечно-разностной схеме. Такая система уравнений широко используется в настоящее время для расчета распространения ударных волн независимо от применяемых конечно-разностных схем, поскольку скорость плоской ударной волны точно рассчитывается любой устойчивой схемой (см.
Лонгли [1960[ и Гари [!964[). Размазывание ударной волны при помощи неявной схемной вязкости осуществляется н в некоторых других методах, Так, в настоящее время широко применяется схема Лакса — Вендроффа [19601 и ее двухшаговые варианты, например схема Рихтмайера (см. Рихтмайер [1963!). В методе Р1С и в его модификации Е1С (метод взрыва в ячейках), разработанной в 1964 г, Мадером, размазывание скачков достигается за счет введения конечного числа рассчитываемых частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
