Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Глава 3 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задач о течении несжимаемой жидкости в области с регулярными границами, покрытой прямоугольной конечно-разностной сеткой. Многое из изложенного здесь будет применимо и в задачах о течении сжимаемой жидкости, поскольку для уравнений переноса в обоих случаях используются одни и те же модельные уравнения.
Свойство консервативности и другие определенные здесь свойства, обсуждение роли граничных условий, а также исследование устойчивости и сходимости в равной мере относятся и к задачам о течении сжимаемой жидкости. Прежде чем погрязнуть в изучении деталей, частных задач, вариантов и второстепенных вопросов, стоит, вероятно, описать в общих чертах всю процедуру решения полной задачи гидро- динамики. Для конкретности мы опишем вычислительный цикл только для простейшего подхода, основанного на решении не- стационарных уравнений, Исследуемая область течения покрывается конечно-разностной сеткой. Конечно-разностное решение будет определяться в узлах сетки, лежащих на пересечении линий сетки.
Решение начинается с того, что во всех узлах сетки в момент времени г = 0 ставятся начальные условия для функций ф, ~, и и о. Эти начальные условия могут соответствовать некоторой реальной начальной ситуации (если речь идет о решении нестационарной задачи) или некоторому грубому приближению к стационарному решению (если речь идет только об установившемся режиме), Далее начинается вычислительный цикл, когда для приближенного определения д~/д~ во всех внутренних точках рассчитываемой области используется некоторый конечно-разностный аналог дифференциального уравнения переноса вихря (2.12).
Новые значения ~ вычисляют на новом временнбм слое, соответствующем приращению времени б(, продвигая уравнения переноса вихря по времени, например полагая (новое 1)=(старое ~)+ + цг д~/дй Следующим шагом вычислительного цикла является ! Строится конечно равностиая сетка ! Ставятся начальные условия прн / О Рассчитываетсн ново во виутр дь/д Проводятся итерации лля определения новых ф во всех точках по уравнению асаф Ь с использованием новых Ь во внутренних точках. Рассчитынается новое т' по формулам и дф/др, о — дф/дк, Рассчитываются новые граничные значения Ь с использованием ф и Ь во внутренних точках решения дд Методы решения уравнения переноса вихря решение конечно-разностного аналога уравнения Пуассона (2.!3) для определения новых значений функции тока ф причем в «источниковом» члене уравнения (2.13) используются новые значения т во внутренних узлах сетки.
Существенно, что уравнение Пуассона для новых ф не зависит от граничных условий для новых ь, которые пока еще не известны. Обычно решение для новых тр получается итерационным путем, так что итерационный процесс для нахождения ф включается в общий вычислительный цикл. Теперь, используя конечно-разностный аналог уравнений (2.7) в безразмерных переменных, находим новые составляющие скорости. Последний шаг вычислительного цикла состоит в расчете новых значений на границах рассматриваемой области.
Обычно эти новые граничные значения ь зависят от новых (уже вычисленных) значений ф и Ь во внутренних точках области, расположенных вблизи ее границы. Затем вычислительный цикл повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто заданное значение времени или пока решение не выйдет на стационарное с заданной степенью точности. Схематически данная процедура изображена на стр. 37, Для различных конкретных задач некоторые детали этой процедуры будут меняться, но основная схема остается неизменной. 3.1. Методы решения уравнения переноса вихря Параболическое уравнение переноса вихря и эллиптическое уравнение Пуассона естественно рассматривать по отдельности, так как методы их решения, очевидно, различны.
Однако сразу следует заметить, что при численном решении задачи гидро- динамики фактически существует обратная связь между этими уравнениями. Например, в силу того что эти уравнения решаются циклически, увеличение допустимых временных шагов для уравнения переноса вихря должно быть компенсировано увеличением числа итераций при итерационном решении уравнения Пуассона, Неправильное обращение с граничными условиями в одном уравнении может привести к нарушению сходи- мости в другом. Еще важнее то обстоятельство, что приходится явно искусственно отделять нахождение решения во внутренних точках от расчета граничных условий, так как обе этн процедуры должны выполняться совместно.
Однако с чего-то же нужно начинать решение! Окончательный выбор метода решения уравнения переноса вихря зависит от многих факторов'). Такой выбор не всегда ') Таких, как граничные условия, геометрия задачи, тип искомого решения (стационарное или зависящее от времени), возможная необходимость расчета поля давления и температуры пря решения ггестационарноа задачи, интервал изменения рассматриваемых параметров (в частности, числа Рей. иольдса) и время, отведенное для разработки программы на ЭВМ. 3.1.1, Оеноонеге конечно-ревностные формулы 39 очевиден, и читатель должен знать, что раз навсегда установленных рекомендаций по выбору лучшего метода не последует.
Цель этого раздела состоит не в том, чтобы дать некоторый ассортимент методов наподобие рецептов в поваренной книге. Она заключается в том, чтобы определить классы методов, изучить поведение таких классов и указать способы исследования этих методов, т. е. вообще в том, чтобы приучить читателя вникать в методы, а не бездумно их программировать. 3.1,1.
Некоторые основные коиечио-равностиые формулы 3.1л.а. Разложение в ряды тейлора Основные конечно-разностные формулы для частных производных могут быть получены при помощи разложения в ряды Тейлора. Используемая прямоугольная сетка показана на рис. 3.1. Нижние индексы 1 и ! относятся к х н у, а верхний (Дд) (1,.1) В,з) х (1, 1') Рис. 3.1, Прямоугольная конечно-разностяая сетка. индекс и соответствует временнбму слою.
Шаги сетки в направлениях 1 и / обозначаются через Лх и Лу соответственно. (Для простоты до гл. б Лх и Лу считаются постоянными.) Переменная 1 означает какую-либо функцию '), Формы односторонних разностных представлений для первой производной д11дх можно вывести следующим образом. Мы предполагаем непрерывность производных и раскладываем ),+г,1 в ряд Тейлора в окрестности точки (1, )). Верхний индекс (временной) для простоты опускаем. Тогда д1! 1 дз) Г1Е1 1 — ГГ 1+ д ! (ХГЕ1,1 ХЬ1)+ з~ (ХГЕ! 1 — Х, 1) +...= =)ь1+ — ~ Лх+ — —,) Лх'+ЧВП, (3.!) дх ~ь1 2 дх' г,1 где сокращение ЧВП означает члены высших порядков. ') Мм используем одно и то же обозначение 1 для непрерывной функции 1(х, у, 1) и дискретной функции Пй /, я). 8,/, Методы решения уравнения нереноеа вихря 40 Разрешая (3.1) относительно д//дх, получаем д/! 1+с/ — 1// 1 дс/~ -3-~ = ' ' — — — ~ Ьх+ЧВП, х !с,/ Ьх 2 дхс сс,/ или д ~ -, +0(бх), д1 ! 1/+с / — /с,/ (3.2) с ошибкой аппроксимации порядка Лх, т.
е. с первым порядком точности. Раскладывая /с с,/ в окрестности точки (с,/), получаем для 6//бх выражение при разностной аппроксимации назад: 61 ! 1/,/ 1/ с,/ ! (3.4) которое также имеет первый порядок точности. Пентральная (симметричная) разностная аппроксимация 61/6х получается как разность разложений д/ 1 1 дс/ ~ 1,+, — — /с /+ — ~ Ьх+ — —, ~ Лха+ дх !с,/ 2 дх' [с,/ + — — Ьхз+ — — ~ Ьх'+ 0(бх') (З.б) и д/ ! ! д«1 ! — — Ьх+ — — г~ ссх— дх !с,/ 2 дх !с,/ — — Лхз+ — —, ~ Лхс+ 0 (Лхе). (3.6) ! дс/С 1 дс/ 6 дхе !с,/ 24 дхс с,/ Вычитая (3.6) из (З.б), получаем д/ ! 1 дэ/ ! з 1/ с,/ — /с с,/=2 — ~ Ьх+ — — с~ Ьх +ЧВП.
+' ' дх !с,/ 3 дхс !с,/ Разрешая относительно д//дх, имеем д/ ! 1/+с,/ — 1/ с,/ 1 д'1 ) — — — Ьх'+ ЧВП дх !с,/ 2ах 6 дх' !с,/ = 1/+ ' / 1/ ' + 0 (Ь ). (3./) 2 /сх где запись 0(Лх) читается так: «член порядка Ьх» и относится к членам, содержащим множители сзх, Лх' и т. д. Обозначим конечно-разностиый аналог д//дх через 61/бх. Тогда для 6//бх при разностной аппроксимации вперед получаем выражение 61 ~ 1/+1,/ — 1с,/ 8.!,!. Основные конечно-рааносгные формулы 41 с ошибкой аппроксимации порядка Лхз, т.
е, со вторым порядком точности. Аналогично можно получить выражения для произ- водных по у и !; например, центрально-разиостный аналог д//д! имеет вид б/ ~и /е +1 /л-1 — 1,! б! г ! 2а! (3.9) Выведем теперь центрально-разностный аналог дз//дхз. Складывая (3.5) н (3.6), имеем /г+1,!+/1 1,! 2/ь!+ др) ох + 12 б, ~ Ьх + ЧВП. (3.!0) Разрешая (3.10) относительно дз//дхз, получаем бг/ Из (3.11) для бз//бхз имеем б/ ! /г+1, !+/г-ь ! бхт!1, ! Ех (3.12) со вторым порядком точности. Упражнение. Вывести выражение (3.12), применяя формулу (3.8) к у = д//дх.
Использовать полушаги Ьх/2, так что (3,8) примет вид к — р ,ьу (3.13) Упратгнеиие. Вывести разностный аналог б'//бхбу для смешанной пронз- ВОДНОЙ дз//дХдУ1 б'/ /,,— !,, — /...,+/.. бх бу 4дхбу Вывести (3Л4) двумя способами: сначала применить (3.8) к я б//бх, а затем использовать разложение в ряд Тейлора по переменным х н у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
