Роуч П. Вычислительная гидродинамика (Роуч П. Вычислительная гидродинамика.djvu), страница 11

Критерий устойчивости фон Неймана (Чарни с соавторами [1950], ОгБраейн с соавторами [1950]) требует, чтобы наибольшее собственное значение матрицы перехода итерационной схемы было меньше, чем единица минус члены порядка ошибки аппроксимации. Лаке и Рихтмайер [1956] показали, что это условие является достаточным для устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами и что в случае, когда матрица перехода удовлетворяет одному из трех наборов свойств, выполнение этого критерия является достаточным также для сходимости. Эти и другие вопросы, связанные с устойчивостью, обсуждаются в равд.

3.1 и в монографии Рихтмайера и Мортона [1967]. Отметим здесь, что ни линейный анализ устойчивости, ни даже само ее определение пе являются вполне удовлетворительными. Фнллипс [1959] привел пример того, что он назвал нелинейной устойчивостью; опа возникает из непостоянства коэффициентов уравнений (Лилли [!965]).

Томмен [1966] показал, что при использовании двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа или схемы Лакса — Вендроффа — Рихтмайера (Рихт- 28 т.т Аиироксимоиия, сходимость и устой сивость реьиений майер 119631) вблизи точки торможения потока развивается не. линейная неустойчивость. Эти примеры показывают, что исследование линейных уравнений и уравнений с постояннымн коэффициентами недостаточно для установления неустойчивости. Еще важнее то обстоятельство, что само определение устойчивости является неадекватным. Лилли [!965) показал, что применение схемы «чехардз» относительно средней точки к модельному уравнению приводит к осцилляциям, не имеюшим ничего обшего с правильным решением.

Использованное при этом уравнение соответствовало уравнению переноса вихря в несжимаемой жидкости в предельном случае бесконечно большого числа Рейнольдса. Автор настояшей книги установил, что и для малых чисел Рейнольдса при достижении стационарного состояния продолжают существовать осцилляцин, хотя и меньшей амплитуды, Эти осцилляции нам хотелось бы назвать численной неустойчивостью, а между тем по общепринятым определениям, основанным па росте илн ограниченности ошибки, эти результаты являются «устойчивыми».

Кроме того, поскольку данные результаты не колеблются около правильного решения, мы не можем с уверенностью сказать, что правильное решение будет достигнуто при Лх, Ж- О. Все же мы знаем, что при уменьшении числа Рейнольдса мы приближаемся к правильному решению и, таким образом, при малых, но отличных от нуля числах Рейнольдса можно приблизиться к правильному решению «достаточно близко» для целей практики. Итак, результаты численного решения могут быть не сходящимися в математическом смысле, но сходящимися в практическом смысле.

Далее, в настоящее время ни в одном исследовании не учитывается влияние на решение математически не обоснованных граничных условий, которые используются в различных схемах на выходной границе. Эдди 11949], а несколько позднее и некоторые другие авторы рассмотрели влияние на устойчивость градиентных граничных условий. Очень часто дестабилизирующее влияние граничных условий имеет первостепенное значение, Из сказанного выше ясно, что изящные математические исследования и определения устойчивости для численных схем не должны рассматриваться как окончательные результаты, а должны только служить разумной базой и наводящими соображениями для численного экспериментирования.

В настоящей книге будет проводиться именно такая точка зрения. Глава 2 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ В этой главе рассматриваются уравнения, которые используются при решении задач о плоском течении несжимаемой жидкости в прямоугольной системе координат. Сначала выписываются уравнения движения для простейших физических переменных (составляющие скорости и давление), а затем выводятся уравнения для вихря и функции тока.

Далее дается консервативная форма уравнения переноса вихря (хотя смысл этой формы становится ясным лишь в следующей главе) и обсуждаются различные системы уравнений в безразмерных переменных. В заключение приводятся два одномерных модельных уравнения переноса вихря: уравнение Бюргерса и линеаризоваиное одномерное уравнение, включающее конвективный и диффузионный члены.

2.1. Уравнения движения для физичесних переменных Основными уравнениями, описывающими плоское течение несжимаемой ньютоновой вязкой жидкости с постоянными свойствами при отсутствии внешних сил, являются два уравнения количества движения (уравнения Навье — Стокса) и уравнение неразрывности (см., например, Ламб 11945] или Шлнхтинг ~[19681), имеющие следующий вид: дй дй дй 1 дР /д2й дуайт — +й — + б — = — — — +в~ — '+ — '), (2.1) д1 дх ду р дх ~, дхэ ду~) да дд дд 1 дР /д2д дядь =+ и — + б — = — — + т ( — + —,), (2.2) д1 дх ду р ду (,дх' ду2) (2.3) (черточки над буквами означают, что соответствующие величины являются размерными). Уравнения записаны для физических переменных — составляющих скорости й, б и давления Р; свойства жидкости характеризуются плотностью р и кинематическим коэффициентом вязкости ~. Эти уравнения основаны на зо 2 2.

Уравнение иереноса вихря и уравнение для функнии тока следующих физических законах: уравнения (2.! ) и (2.2) являются проекцнямн векторного уравнения количества движения Г = та (второго закона Ньютона), причем вязкие силы связаны со скоростью деформаций линейным ньютоновым законом для касательных напряжений, а уравнение (2.3) выражает закон сохранения массы. Приведенные уравнения записаны в эйлеровой системе координат, т.

е. в неподвижной системе, относительно которой движется жидкость. (Иное — лагранжево — описание, в котором система координат движется вместе с жидкостью, не используется в этой книге, хотя некоторые замечания о лагранжевом подходе и будут сделаны в гл. 6.) Несмотря на то что можно численно решать непосредственно эти уравнения (см. равд. 3.7), лучшие результаты получаются при численном решении уравнений для вихря и функции тока.

Преимушества и недостатки использования уравнения для вихря и функции тока будут обсуждаться в следующем разделе, а здесь мы отметим лишь методологическое примущество этого подхода, заключающееся в том, что при нем нужно рассматривать только одно уравнение переноса. 2.2. Уравнение переноса вихря и уравнение для функции тока в случае плоских течений Из уравнений (2.1) и (2.2) можно исключить давление, продифференцировав первое из них по у, а второе по х.

Определяя вихрь как') дй дд ду дх ' (2.4) получаем уравнение переноса вихря, имеющее параболический тип; ай ай е ать = = — й — — б — + 9 ~ — + — е)= — У ° (Ч~) + 91Ут~. (2.5) д1 дх ду дхт дут Используя субстанциональную производную, это уравнение можно представить так: Ят~ Ш (2.6) Определяя функцшо тока ф д1р ==й, ау = соотношениями д1р — = — б дх (2.7) ~) В трехмерном случае вихрь обычно определяется как т Х т', что при переходе к двумерному случаю дает выражение, отличающееся от приведенного ниже определения внаком. «.2. Уравнение переноса вихря и уравнение для функции тока 31 уравнение (2.4) можно записать как уравнение Пуассона, имеющее эллиптический тип; '7'Ф=1.

(2.8) В уравнение переноса вихря (2.5) входит нестационарный член д~/д(, конвектнвные') члены йдь/дх и йдЦду, а также член Ф(г-"ь, связанный с вязкой диффузией. Это уравнение нелинейно из-за конвективных членов, так как в силу (2.7) и (2.8) й н й представляют собой функции зависимого переменного Ь. Оно является параболическим по времени, и поэтому для него ставится задача с начальными условиями, в которой решение «продвигается» шаг за шагом от некоторых начальных данных. Уравнение (2.8) для функции тока является эллиптическим, поэтому для него ставится задача с граничными условиями, которая обычно решается итерационными методами. Во многих практических задачах интересуются не поведением решения во времени, а только стационарным решением; в этом случае в левой части уравнения (2.5) можно положить дь)дт =О, исключив таким образом одну независимую переменную — время.

Как правило, так и делают прн аналитических исследованиях; поэтому те, кто не имел дело с вычислительной гндродинамикой, обычно удивляются, обнаружив, что большинство (хотя и не все) эффективных численных методов решения даже стационарных задач гидродннамики основывается на интегрировании нестационарных уравнений, а стационарное решение (если оно существует) получается как асимптотический по времени предел решения нестационарных уравнений. Стоит также заметить, что уравнение переноса вихря (2.5) служит для модельного описания многих других процессов переноса и что методы, излагаемые в следующей главе, часто применимы к самым разнообразным процессам переноса, включая случай течения сжимаемой жидкости, который будет рассмотрен в гл.

4'). Уравнения движения сжимаемой жидкости 1) Автор называет такие члены адвеитивными (абчеснче) и поясняет это следующим образом: «Термины «конвективный» и «адвективный» практически являются синонимами (конвекция означает, что вихрь переносится по течению, а адеекцня — что он движется вместе с жидкостью). Первым из них, как правило, пользуются инженеры, вторым — метеорологи, которые резервируют г.рмиц «конвекция» для вертикальных движений атмосферы». Так как в нашей гидродинамической литературе термин «адвективный», насколько нам известно, нс применяется, в переводе везде нсполнзуется более привычный читателю термин «конвективный».

— Прим. рзд. з) Весьма систематическое описание общих процессов переноса дается в статье Фалфорда и Пся [1969). Общность понятий убедительно иллюстрп. руется тем фактом, что уравнения движения сжимаемой жидкости могут быть использованы для моделирования задач о движении транспорта на автостраде. 2.4. Уразненяя з безразмерных неременнеех Э2 гораздо сложнее уравнения переноса вихря, по связаны с ним в такой мере, что изучение более простого уравнения переноса вихря несомненно оказывается полезным для исследования уравнения движения сжим аемой жидкости. Математики обычно довольствуются классификацией (линейных) дифференциальных уравнений в частных производных по следующим типам: параболические, эллиптические или гиперболические.