Роуч П. Вычислительная гидродинамика (Роуч П. Вычислительная гидродинамика.djvu), страница 14

Заметим, что в первом способе при недостаточно аккуратном отбрасывании остаточных членов высшего порядка получается выражение только с первым порядком точности. Во втором способе при тщательном рассмотрения членов высшего порядка можно поназать, что формула (3.14) имеет второй порядок точности с ошибкой аппроксимации Е О(дхз + Ьуз). Заметим, что бт!/бхб)/, определенное формулой (3.14), удовлетворяет правилу для непрерывных функций дз//дхду Таким образом, центральная разностная аппроксимация дает выражение /1+1, ! /1-1, ! (3.8) бх 11, ! 2бх д1. Методы решения уравнения переноса вихря = д'11дудх. Всегда желательно, чтобы при прочих равных усло- виях наши конечно-разностные уравнения хорошо моделировали качественное поведение дифференциальных уравнений.

Многие другие такие же случаи будут отмечены ниже. Комбинации полученных конечно-разностных выражений для частных производных можно использовать для написания конечно-разностных формул дифференциальных уравнений в частных о о о 1 1 -2(1+рх) о о о 1 -4 1 о Рнс. З.2. Схематичное представление пятиточечного аналога уравнения Лапласа; р=дх1Ду.

Левая схема соответствует произвольному значению Р, правая— р !. или те!+!,1+ !гт-!,1+ 6~(!е1,1е! + тгь1-!) 2(1+()з) тент= О, (3.15) где р — отношение размеров шагов, р = тхх1Ау. Это так называемый пятиточечный аналог уравнения Лапласа. При 3=1 получается известное уравнение ! Р! 1 4 (~г+ !, 1 + Р! — 1, ! + 1е, 1е ! + 11, 1-!) которое означает, что ~и1 является средним значением 1 в четырех соседних точках. Эти формулы схематично изображены на рис. 3.2. Используя для аппроксимации пространственных производных и производной по времени разностные выражения второго порядка точности, линейное модельное уравнение (2.18) можно записать в виде тьи+ ! тья- ! ! 2Д1 производных. Например, уравнение Лапласа ЧЯ1 = дз1/дхз+' + дз11дуа = О будет иметь разностный аналог — и!~ ~и1- е,т Ж*-+ дуе ..

+ ду О 4з 8.!.1. Основные коненно-ревностные формулы позволяющем явным образом выразить снч' через значения переменных на предыдущих временных слоях. Однако такая схема в действительности оказывается неприемлемой. Для всех а ) О и всех возможных Л1 ~ О эта схема численно неустойчива, т. е. приводит к возникновению хаотических решений, не имеющих отношения к решению дифференциального уравнения. Такое поведение подчеркивает различие между точными конечно-разиостпыми аналогами для производных и точным аналогом дифферене1иального уравнения.

Если вместо центральных разностей в нестационарном члене использовать разности вперед по времени, то получится разностный аналог линейного модельного уравнения, имеющий второй порядок точности по пространственной переменной и лишь первый по времени ье+1 ~ -1 1 е+1+ -! ! (З де 2 ах +а дле Эту схему с односторонними разностями вперед по времени и центральными (симметричными) разностями по пространственной переменной иногда называют схемой ВВЦП (схемой РТСБ). В дальнейшем будет показано, что эта схема устойчива (по крайней мере при некоторых условиях, наложенных на Л1, и, а и Лх). Но прежде чем приступить к исследованию устойчивости, рассмотрим некоторые другие вопросы, связанные с конеч.

но-разностными уравнениями. Зйл.б. Основные коиечио-рааиостиые формулы; полииомиальиая аппроксимация Другой метод получения конечно-разностных выражений основан на применении аппроксимирующей аналитической функции со свободными параметрами, которая строится по значениям в узлах сетки и затем аналитически днфференцнруется. Это обычный метод нахождения производных по экспериментальным данным. В идеале вид аппроксимирующей функции должен определяться приближенным аналитическим решением, однако обычно в качестве аппроксимирующих функций используются полиномы. Мы продемонстрируем настоящий метод на примере параболической аппроксимации.

Предположим, что значения функции 1 заданы в точках 1 — 1, 1 и 1+1, и проведем параболическую аппроксимацию функции 1(х) = а + бх + сх', (3.19) Зд, Методы ретиения уравнения переноса вихря причем для удобства за начало координат (х = О) примем точку й Тогда уравнение (3.19), записанное в точках 1 — 1, т и 1 + 1 соответственно, даст а — 6 Лх+ с екха, 1, а, 1т+т а+ 6 Лх+ с Лха.

(3.20) Складывая первое и последнее из этих равенств, получаем (т+1+ (т т — 2(т Я' а разрешая их относительно Ь, находим (т+1 (т-1 2 ах (3.21) В точке (значение первой производной (3.19) будет ах ~ =[Ь+2сх)х-о Ь 61 (3.23) а значение второй производной — е~ =2с. ает (3.24) ахе Формулы (3.23) и (3.24) с учетом (3.21) и (3.22) в точности совпадают с формулами (3.8) и (3.12) второго порядка с центральнымн разностями, полученными разложением в ряд Тей. лора. Если предположить, что 1 — полипом первой степени, т.е. = а + Ьх, то в зависимости от того, какие значения исполь.

зУютса дла опРеделениЯ а и Ь: значениЯ 1т и ~тм или ~~ и 1т ь для 61/Ьх получаются формулы с разностями вперед илн назад соответственно. Очевидно, что при линейной аппроксимации 1 нельзя получить выражение для ЬЯ1/бхе. Однако если использовать полипом первой степени для построения разностных ана- 61 1 а( ~ логов первых производных — ~ и — ~, которые соотах 1т+ия Ьх ~т ветственно представляются разностями вперед и назад, то для ЬЯ(16хе получится выражение, совпадающее с выражением (3.12) с центральными разностями.

Разностные формулы для производных более высокого порядка выводятся с использованием полиномов высших порядков. Выражения, полученные при помощи полиномов порядков выше второго, уже не идентичны выражениям, полученным разложениями в ряды Тейлора, и в каждом случае ошибка аппроксимации должна проверяться при помощи разложения в ряд Тейлора. В вычислительной гидродинамике метод полиномиальной аппроксимации, как правило, применяется только для вычислений значений производных вблизи границ (см. равд.

3.3.2). Теперь отметим недостатки полиномиальных аппроксимаций 3.!.!. Основные кона«нотзазностныв формулы 45 высшего порядка, хорошо известные специалистам, обрабатывающим данные измерений. С увеличением порядка аппроксимации они становятся чувствительными к «шумам>, т. е. к более или менее случайно распределенным малым ошибкам в данных.

Так, полипом шестой степени, график которого проходит через семь точек, точно расположенных на одной прямой, приводит к аппроксимации в виде прямой, изображенной на рис. З.З,а. Однако при добавлении к аппроксимируемым значениям шумовых возмущений коэффициенты полинома будут уже 1-3 2-2 2-1 ! !+1 !+2 !+3 а 2-З 2-2 1-1 ! 2+1 2+2 !+3 Рис. З.З. Полиномиальная аппроксимация шестого порядка. о — алгебраические идеальные данные, б — данные с добавлением шумовых возмущений.

определяться этими искаженными данными, и тогда аналитическое вычисление производных в точке ! может привести к абсурдным результатам '), что можно усмотреть на рис. З.З,б. Квадратичная аппроксимация не может отразить наличие точки перегиба в рассматриваемых данных, т. е. точки, где дз)/дхз = О. По этой причине для анализа имеющихся данных может быть оправдано использование полиномиальных аппроксимаций третьего порядка.

(Часто используются сплайн-функции, гарантирующие непрерывность производных при переходе от одной узловой точки к другой.) В нашем случае уравнения, описывающие рассматриваемое физическое явление, не зависят от наличия точки перегиба или от третьей производной, поэтому нет необходнмости останавливаться на этом вопросе. 8.1.1.н. Основные нонечио-рааиостные формулы; интегральный метод В интегральном методе требуется приближенно удовлетворить основным уравнениям, записанным в интегральной, а не ') Чувствительность полиномиальных аппроксимаций можно уменьшить, если для полинома У-го порядка взять данные в ЗУ или 4У точках.

1«озффициенты полиномов в таких случаях находятся не алгебраически, а методом наименьших квадратов. Этот требующий много времени метод обычно не используется, за исключением некоторых случаев, связанных с рассмот. рванем граничных условий (см.

рази 5.7,6). аг. Методы решения уравнения нереноса вихря в дифференциальной форме. Здесь удобнее использовать для пространственной координаты нижний индекс х, а для времени верхний индекс с вместо с и и соответственно. Запишем линейное модельное уравнение в консервативной форме: дс д (ий) дсе дс д дт' (3.25) Проинтегрируем это уравнение по времени от с до с+ стг и по пространственной области /с от х — сах/2 до х+ сах/2, как показано на рис.

3.4. Поскольку порядок интегрирования по / и х с'+1 с-М Рис, 3.4. Область интегрирования й для интегрального метода. несуществен, выберем его так, чтобы можно было провести одно точное интегрирование, а именно ( [1 йс1.--( [ ( ~с.]с+ Стае Гхеах/2 [ ( д с 1 е. сс.сб) с х-ахд Выполним интегрирование выражений, записанных в квадратных скобках: х+Ь хр с+ос [~' ' — ь'1с(х = — ~ ((иь)„+д„д — (и~)„а„гс) с(/+ х-ахд с +о ~ ~~ ~ — д ~ [сй. (3.27) Оставшиеся интегралы определяются численно. По теореме о среднем можно записать х,+ах 1 (х) с( / (г) йг, где ген [гь гс+ Лг]. Сходимость гарантируется при сьг-ьО.

Взяв при приближенном вычислении интегралов в левой части д.!.!. Оеноеные конечно-раеноетные формулы 47 уравнения (3.27) среднюю точку х, а в правой части значения подынтегральных функций пря нижнем пределе, т. е. при (формула прямоугольников), получим [~!+де — Гс1Дх = — ~(п~)с — (нГ)с )Д1+ Производные дьсдх можно найти из соотношения «+дх х Отсюда используя теорему о среднем, получаем х+ дед или ~х+дх — йс дх 1х+дхсс (3.29) Значение (и~)сед„„можно вычислить как среднее арифметическое: (иь)„'+д„сс = —, (М)'„+ (иМс+д„1; (3.30) аналогичное выражение имеет место и для (иЬ)с д„„, Подставляя (3.29) и (3.30) в (3.28), находим [Ьс+дс — Ьс)Дх= — ~ — (и~)х+~(пах+де — — (иЬ)х' — — (и()'-д 1Д!+ г с с с с чх+дх чх чх чх-дх 1 ч, Лх Ьх Разделив последнее уравнение на ДхД(, получим дс 2дх дх' (3,3!) Переходя к индексам с и и, видим, что уравнение (3.31) совпадает с уравнением (3.18), выведенным при помощи разложений в ряды Тейлора.

Очевидно, в любом методе существует большой произвол при выводе конечно-разностных уравнений. Если, например, интегрировать по времени не от ! до (+ Д1, а от ! — Д! до ! + Д! и в качестве средней точки взять г, то получится уравнение (3.!7). Как уже было отмечено выше, зто уравнение безусловно неустойчиво. 3 Л Методы решения уравнения яерениса вихря Преимушество интегрального метода можно будет оценить после того, как будет изучено свойство консервативности. Различие между интегральным методом и методом разложения в ряды Тейлора наиболее четко проявляется при использовании непрямоугольных систем координат.