Роуч П. Вычислительная гидродинамика (Роуч П. Вычислительная гидродинамика.djvu), страница 18

водит к условию с(( 1, а второго — к условию с(:; з/з. Можно рассматривать и последующие временные слои, которые приводят к еще более ограничительным условиям для с(. Начальное ') Заметим, что уравнение диффузии не может решаться нн для рвано. стей назад но времени (бт (О), ни для и < О, так как ири этом оно будет математически н физически неустойчиво.

Этот воярос будет обсуждаться анже. Для следующего слоя по времени получим ~лез — ~лл-ы + д ~~л+! + ~л+! 2~л+11— е(1 — 2с/) + с( [с/е+ ссе — 2е(1 — 2с()) е (1 — 4сс+ бе/з). (3.66) З.д Методы решения уравнение переноса вихре единичное возмущение в в точке ! асимптотически стремится к осциллирующему распределению ~~= ~е', где е' — некоторое возмущение меньшей амплитуды, как показано на рис. 3.7. Таким образом, видно, что наиболее ограничительное условие для с( появляется при таком типе распределения возмущений; начиная расчет с таким осциллнрующим возмущением е', наложенным на ~ = О, и применяя схему (3.18) с разностями -"4~е Рнс.

3.7. Аснмптотнческое распространенне единичного возмущенна е в точке Г для уравнения диффузии, решаемого по схеме с разностями вперед по временн н с пентральнымн разностями по пространственным переменным. а — начальное возмущение; б — возмушенне после одного шага по еремеев, И з/И е — возмущение после очень большого числа шагов по времени.

вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, получаем ьп+' = е'+ с( (- в' — в' — 2е ) = в'(1 — Ы). (3.69) Требование устойчивости (его+~У (» ! (3.70) дает (3.71) — 1(1 — 4с((~1, или с(('/ (3.72) Для последующих временных слоев условие (3.72) не меняется. Таким образом, это условие для больших значений времени эквивалентно условию (3.64) — условию отсутствия осцилляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени, в случае изолированного возмущения. Из формулы (3.60) следует, что при фиксированном шаге пространственной сетки и фиксированном сг условие с( » '/з накладывает ограничение на шаг по времени; ! Ллз А7 ~ — —.

2 а д!.5. Исследование устойчивости В проведенных выше рассуждениях предположение о стационарности решения несущественно. Если из возмущенного уравнения вычесть полное невозмущенное нестацнонарное уравнение, то получится уравнение для роста ошибки Ент! — Г/ /Еи + Ен 2вет 1 Еп ~ гы (3.74) с условием устойчивости )внт'/еи,) «-1 и т. д.

Результаты в ятом случае будут те же, что и выше. Рассмотрим теперь уравнение (3.18) с коивективным и диффузионным членами и без потери общности положим и ) О. (Если и «.. О, то изменится роль индексов 1+ 1 и 1 — 1.) Снова ') В двумерных и трехмерных задачах ограничения на шаг по времени имеют вид Лг " '/зА/а, где А = 1/(Ах-е+ Ди т) и А =- 1/(Ьх '+ Ьр з+ + оа ') соответственно. Отметим, что ограничение, накладываемое условием (3.73), является тяжелым в смысле затраты времени для численного решения уравнения диффузии. Предположим, что расчет ведется с некоторым пространственным шагом Лх~ до некоторого безразмерного времени Т = Лг, Л/„где Л/, = '/, Лх%~ — максимально возможный шаг по времени.

Если желательно повторить расчет с вдвое меньшим пространственным шагом Лх, = Лхг/2 (например, для того, чтобы проконтролировать уменьшение ошибок аппроксимации), то надо брать шаг по времени Л/е= Чз Лхх/а= = 'гглЛ/ь Значит, чтобы достигнуть того же значения безразмерного времени Т, потребуется вчетверо больше шагов по времени, т. е. Т = ЛгзЛ/х н Лз — — 4Уь Кроме того, для расчета каждого временного слоя потребуется вдвое больше времени, так как Лхз — — Лх~/2, а это означает, что число расчетных точек в исследуемой области возросло вдвое. Таким образом, для одномерного случая уменьшение вдвое шага пространственной сетки увеличивает затраты машинного времени в восемь раз) В двумерной задаче') уменьшение вдвое шагов Лх н Лу увеличивает число расчетных точек в четыре раза, увеличивая тем самым необходимое машинное время в 16 раз.

В трехмерной задаче диффузии уменьшение всех трех пространственных шагов вдвое увеличивает машинное время в 32 раза. В общем случае уменьшение размера шага с Лх, до Лхх при решении 0-мерной задачи диффузии с использованием явной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным увеличивает машинное время в (Лх,/Лх,)'+о раз.

Ясно, что методы, в которых удается избежать условия устойчивости (3.73), были бы весьма желательны. 8.й Методы регаения уравнения переноса вихря применим схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, накладывая па 9л! в точке ! возмущение в, что даст й"," — (й",+ ) ат — + а '+ ' ' 1 (3 75) 2 ах 1. Ьхт Исследование этого уравнения не дает дополнительной информации по сравнению с предыдущим анализом уравнения с одним только диффузионным членом, так как на конвективных членах в точках ! ч- 1 нс сказывается возмущение в точке !. Применяя схему с разностями вперед по времени и центральными разпостямп по пространственной переменной и в точке ! + 1, получаем аль! ~п~л и,'Гл+ е)1+ д! + — ", ~Ц+т+ ьл!+ е — 29л! 1+ Гл (3 76) или балт! = — е + с/и С 3+1 2 (3.77) где С = ист//гзх — число Куранта '), а г! = !хсзг/саха, как и ранее.

Для устойчивости опять потребуем, чтобы ~ ьлт!/е ~ ( 1, (3.78) или 2 + (3.79) Обратившись теперь к точке !' — 1, получим йл+! = — — в -1- а!е С ! — ! (3.8! ) ') В честь Рихарда Куранта (1888 †19), математика, работы которого в области численных методов и нелинейных диффсренниальных уравнений в частных производных легли в основу современной вычислительной гидро- динамики. Левое неравенство автоматически выполняется при и ) О.

Правое неравенство (требование статической устойчивости) дает другое необходимое условие устойчивости: иЛг/бх+ 2аот//!ха(2, или 2 ~ (2~/ах') + ~/ах ' 8./.5. Исследование устойчивости 67 и требование устойчивости ~ Ьие,'/е ~ ( 1 здесь дает 2 + (3.82) Рассматривая сначала правое неравенство (3.82) (статическая устойчивость), получаем (3.83) Если член в квадратных скобках отрицателен, то это неравенство будет справедливо для всех Л/ ~ О, если же этот член положителен, то получаем 2 2и/Дх' — и/Дх ' (3.84) Поскольку знаменатель положителен, условие (3.84) менее ограничительно, чем (3.80), и поэтому перекрывается им. Исследование левого неравенства (3.82) (динамическая устойчивость) дает — 2 ~ (Л/ (2а/Ьх' — и/Хх1 (3.85) Если член в квадратных скобках положителен, то это неравенство выполняется для всех Л/:> О, если же этот член отрицателен, то получаем Л/( /Д 2/Д т ° (3.86) где знаменатель положителен. Условие (3.86) также менее огра- ничительно, чем (3.80), и поэтому им перекрывается.

Таким образом, из анализа устойчивости уравнения, включающего конвективный и диффузионный члены, при помощи метода дискретных возмущений следуют два необходимых условия — уравнения (3.?3) и 13.80). Если распространить этот анализ на последующие слои по времени, то могут появиться другие более ограничительные условия, но метод анализа при этом становится очень неудобным. Заметим (и это будет показано ниже), что анализ устойчивости по фон Нейману дает другое условие (неравенство (3.112)). Ь» ~/з иО (3.87) Кроме того, если следовать работе Томана и Шевчика [1966) и дополнительно потребовать отсутствия в точке / — 1 осцилляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени, то должно быть Зла Методы решения уравнения переноса вихря а уравнение (3.81) даст — С/2+ с() О, (3.88) г. е.

— и ~4/эх + 2а 1эг/Ахэ в О, (3.89) или и Ьх/а < 2. (3.90) В уравнении переноса вихря а = 1/Ке и член и(ух/а представляет собой сеточное число Рейнольдса !се«. Таким образом, Ке, есть число Рейнольдса, полученное по локальной скорости и характерной длине, равной размеру шага пространственной сетки сух. Для отсутствия осцнлляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени, требуется, чтобы (3.91) Ке, (2 независимо от Л('). Если требование отсутствия осцилляций (3.90) скомбиняровать с условием (3.73), накладываемым диффузией, то в результате получаются следующие ограничения; число Куранта С = ий(/Ах ( 1 и Л( «= 2а/и'. Как увидим в дальнейшем, эти ограничения являются правильными. бгпражяеяие.