Роуч П. Вычислительная гидродинамика (Роуч П. Вычислительная гидродинамика.djvu), страница 16

мени и центральные разности по пространственной переменной, можно записать конечно-разностный аналог уравнения (3.42) в виде тип+1 итв от+рте, — и1,"ь (3.43) Ж 2 ах (здесь для простоты верхний индекс п опущен). Рассмотрим теперь одномерную область тт (прнчем 1 меняется от 11 до 1з) и вычислим сумму 1, а Х~" 1 а образом: Суммирование в правой части проводится следующим 1е Е ни — м,]= 1 1~ +(иь)„, — (иь)1+,+ +(~~)д — (и С)1 +,+ +(ити)1,+1 (итв)1,+В+ +(и~)а~, — (~~)л~,+ +...

+ +(и~),, — (и~)1,+ +(и1)т,-в (и1),— + +(иь) — (иь)1 + +(иь)1 1 — (иь) *= (иь)1 1+ (иь) — (иь)1 — (иь)1 +и 0=11] [1=1!+! ] [1=11+2] [1=11+3] [1 12 — 3] [1'=1з — 2] [1=1 — )] И-1з] (3.446) соответствующую интегралу —, ~ ьсИ в уравнении (3.41): д р 1т тт Ч 1-1, 1 тю 1-1, 1е 1 = 2,)„[(иь)1-1 — (иь)1+1] (3.44а) З1.

Методы решения уравнения переноса вихря Тогда уравнение (3.44а) принимает вид Г тс 1с -''(Ес;" *-Х! .]--'!! с>,,ч!.сь! — с!! сь-ы.с!,,1= 1-1, 1 Л (3. 44 в) = (~4)ь „, — М)дс иг. Данное уравнение показывает, что скорость накопления ве- личины Ьс в области )с в точности равна ') потоку величины !, в область тс через границы 1! — !/2 н 12 + !/2 (это следует также из уравнения (3.41) при ос=О). Таким образом, полученный конечно-разностный аналог сохраняет интегральное свойство, которое выражает формула Остроградского — Гаусса для диф- ференциального уравнения, и мы будем говорить, что этот ана- лог обладает свойством консервативности, Свойство консервативности зависит как от используемой формы дифференциального уравнения, так н от принятой конеч- но-разностной схемы.

Например, неконсервативная форма од- номерного модельного уравнения (2.18) при сх = 0 такова: — = — и —. дь дй д1 дх ' (3.45) Используя ту же схему, что и в предыдущем примере, т. е. разности вперед по времени и центральные разности по про- странственной переменной, получаем Г! й! „ Гсе! Гс-! Д1 1 2Дк Тогда суммы, соответствующие (3.44а), имеют вид Г тс 1, 1, — ц+'Ьх — ~х цех~= ~~ ( — и, '+' ' ')Лх ! 1~ 1 1, ! хг — и, (ь! ! — ь!+!). (3.47а) Снова суммируем: 1, Е ис(ьт-! ьс+!) 1-1, ит 41, -иА,+! + Р=1!) +~1~+!11~ 1~+!ь11+2+ (1= 1,+!) +ит~ьгь1~+! ит +ям~+3+ (! =1,+2) +ит,+З(н,+г ит,+ЗЬ1,+!+ гг1 11+а) + °, (3.47б) ') Здесь имеется в виду алгебраическое равенство без учета ошибок округления на ЭВМ. 33Ь3, Свойство консервативности Отсюда видно, что при такой форме исходного дифференциального уравнения члены, соответствующие потокам через грани смежных ячеек, взаимно не уничтожаются, например и +Д+,— иД „, (и,+,— и,)ь,+,ФО, (347в) за исключением частного случая, когда и! = сопз(.

Значит, в этом случае консчно-разностный аналог оказывается не в состоянии обеспечить выполнение формулы Остроградского— Гаусса для дифференциального уравнения. Теперь становится ясным смысл терминов «консервативная» или «дивергентная» форма уравнения (2.10). В первом случае консервативность обеспечивается применением метода контрольного объема при выводе конечно-разностных выражений. При использовании консервативной формы конвективный поток величины Ь, вытекаююий через грань с+ !/з из контрольного объема с центром в точке ! за единицу времени, составляет '/з(иД, + исьД,чч) и в точности равен конвективному потоку, втекающему через ту же грань в контрольный объем с центром в точке ! + 1 за единицу времени. Как показано выше, в случае неконсервативной формы это не имело бы места. Упражнение.

Показать, что использование дли дтЬ/дхз выражения (333) с центральными разностями при и ) О обеспечивает нонсервативность для диффузионных членов. Ясно, что прн а ) О единственный путь обеспечить сохранение суммарного потока в общем случае (когда и является функцией пространственной переменной) заключается в независимом сохранении конвективных и диффузионных членов; в не- одномерном случае необходимо обеспечить консервативность этих членов отдельно но каждой пространственной переменной. Важность свойства консервативности легко понять на примере уравнения неразрывности для сжимаемой среды.

Рассмотрим задачу об естественной конвекции в полностью замкнутом сосуде с непроницаемыми стенками. В начальный момент времени считаем, что во всем объеме тт' = О. К нижней стенке сосуда подводится тепло, и происходит естественная конвекция, возможно достигаюшая стационарного состояния. Если для расчетов принимается какая-либо неконсервативная схема (см.

задачу 3.2), то полная масса в исследуемом объеме будет меняться. Если же используется консервативная схема, то полная масса не будет меняться (без учета машинных ошибок округления). Некоторым утешением в первом случае может служить тот факт, что ошибки, вызванные нарушением сохранения зд. Методы решения уравнения переноса вихрю массы, уменьшаются при Лх-е-О, но в практических вычислениях с конечной величиной Лх такое утешение является слабым.

Эти соображения мы считаем существенными и настоятельно рекомендуем применять консервативные схемы. Однако здесь имеются доводы н за и против, причем примеры численных контрольных расчетов, опубликованные в литературе, не дают возможности сделать однозначный выбор. Обратимся к этим доводам и к результатам контрольных расчетов. Свойство консервативности не обязательно связано с повышением точности схемы. Например, неустойчивые решения консервативных уравнений сохраняют свойство консервативности.

Более того, неконсервативный метод может быть в некотором смысле точнее консервативного, Например, для представления функций по значениям в узлах сетки можно было бы применять одномерные аппроксимации полнномами высокого порядка и при этом производные по пространственным переменным будут, веоятно, определяться с ошибкой более высокого порядка (см. омас [1954]).

Однако построенная таким образом схема может быть неконсервативной, а если критерий точности включает условие консервативности, то неконсервативная схема окажется менее точной. До сих пор опыт показывает, что консервативные схемы, вообще говоря, дают более точные результаты. Чен [1968] и Аллен [1968] показали, что с помощью консервативной схемы получаются существенно более точные результаты для некоторых решений уравнения Бюргерса (2.19) и (2.20). Сайрус и Фалтон [1967] выяснили, что для эллиптических уравнений консервативная схема дает более точные результаты, чем неконсервативная.

На примере задачи о течении внутри замкнутой прямоугольной области с одной подвижной границей Торранс с соавторами [1972] убедились в том, что даже схема первого порядка точности для уравнений в консервативной форме дает более точные результаты, чем схема второго порядка для уравнений в неконсервативной форме. Преимущества расчета ударных волн при консервативной форме уравнений (Гари [1964]) хорошо известны (они будут рассматриваться в гл, 5), однако следует заметить, что в работе Гари волны разрежения несколько точнее рассчитывались по неконсервативной схеме.

Кроме того, дивергентная форма уравнений более осмысленна физически и облегчает постановку граничных условий для течений сжимаемой жидкости. Пиачек [1966] показал, как вывести консервативные уравнецця в осесимметричном случае. Робертс и Бейс [1966] обсужда- зидз. Свойство консервативности ли консервативность для векторных величин. Лаке [1954] вервым использовал в конечно-разностных вычислениях консервативную форму уравнений движения сжимаемого газа, предложенную Курантом и Фридрихсом [1948], и детально исследовал свойство консервативности '). Метеорологи распространили идею консервативности на величины, связанные с количеством движения. Брайен [1963, 1966] предложил схемы, обеспечивающие сохранение не только вихря, но и кинетической энергии.

Схема Аракавы [1966] (см. также Лилли [1965] или Фромм [1967], а также равд. 3.1.2) сохраняет вихрь, квадрат вихря, количество движения и кинетическую энергию. Но такие дополнительные усложнения схем ке всегда оправданы и выгодны. Бенгтсон [1964] показал, что подобные усложненные схемы дают небольшие улучшения, незначительные по отношению к истинным данным, и в то же время могут привести к большим ошибкам в скорости волн. Однако в предельном невязком случае сохранение кинетической энергии дает возможность избежать «нелинейной» неустойчивости'), рассмотренной в работах Филлипса [1959] и Сандквиста [1963]. Бенгтсон [1964] предложил схему, сохраняющую разность между кинетической энергией и (метеорологической) полной статической устойчивостью '), что полезно в задачах с большими градиентами силы тяжести.

Обычно схемы, обеспечивающие сохранение основных вели. чин, таких, как вихрь, масса, количество движения или полная энергия, не требуют большого труда. В двумерной задаче о переносе вихря дополнительная работа заключается в выполнении двух лишних конечно-разностных операций для получения составляющих скорости из решения для функции тока и двух лишних умножений. В задачах о движении сжимаемой среды дополнительная работа больше, что в некоторых случаях может оказаться причиной отказа от применения консервативной схемы (см. метод Моретти„гл. 6). При решении многих задач консер. г) Длн построения консервативных разностных схем А. Н.

Тихонов н А. А. Самарский развили интегро.интерполнционный метод. Консервативные схемы разрабатывали эти авторы, Г. И. Марчук, И. В. Фрнзвнов и др. Длн одномерной нестационарной газовой динамики Ю. П. Попов н А. А. Самарский (Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т. 9, № 7) предложили полностью консервативные схемы. В схемах такого типа обеспечи. ваетсв не только сохранение полной энергии, но н выполннютсн дополнительные балансы по отдельным видам энергии (внутренней в кинетиче.