Роуч П. Вычислительная гидродинамика (Роуч П. Вычислительная гидродинамика.djvu), страница 17

ской). — Прим. ред. ') Обычно обусловленной пепостоннством коэффициентов, а не настоя. гней нелипейностью. ') Количественное понятие полной статической устойчивости (нгозз зганс Ыаьгн1у) было введено Э. Лоренцем (1.огепх В. М. — Те11цз, 1960, ч, !2г 14о. 4, Зо4 — 373) — Прим. иерее.

8.Е Методы решения уравнения переноса вихря вативные схемы не использовались, см., например, работы Аллена и Саусвелла ]1955], Хына и Макано ]1966], Мета и Лавана ]1968], Бао и Догерти [!969]. Эаметим, что все схемы метода характеристик являются некоисервативными и что при конечно-разностном решении уравнений пограничного слоя консервативная схема обычно также пе используется.

В таких случаях свойство консервативности может служить для про. верки точности вычислений (см. разд. 3.4), Для того чтобы предостеречь от фетишизации консервативных схем, заметим в заключение, что неконсервативная форма для члена д(ад~/дх)/дх с переменным коэффициентом диффузии может привести к более точным результатам, чем консервативная (см.

задачи 3.3 и 3.4). Упраяснение. Показать, что первый момент уравнения переноса вихря в невязкой жидкости (1/йе = О), полученный умножением уравнения (2.12) на Ь, можно запасать в консервативной форме: — — 7 (ЧЕ), дЕ дг где величина Е = ьз называется внстрофией. 3.1,4. Описание неустойчивости Для ознакомления с некоторыми феноменологическими аспектами численной неустойчивости рассмотрим одномерное модельное линейное уравнение для ь. На рис.

З.б,а показано стационарное решение Ьп на л.м временнбм слое, а на рис. З.б,б — наложение на ~п возмущения е, форма которого представлена на рис. 3.6, в. Такие возмущения могут порождаться либо машинными ошибками округления, либо поперечными движениями в реальной двумерной задаче. Используя схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, проследим за развитием наложенного возмущения.

Линейное модельное уравнение в консервативной форме имеет вид дь д (иь] дзь д) дх + дхз ' а разностное — вид (п+! ~п с Ы + (3 48) 2дх + Ьхз +а ьгп ьгп 1 в. (3.49) Представим величину ь как сумму стационарной компоненты ь и возмущения в: 69 8 йз. Описание неустойчивости ь +в ел+1 ле1 рис. З.б. Рост ошибки при использовании конечно-разностной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной для модельного уравнения, описываюшего конвекпию и диффу. зию, а — стационарное решение на и-м слое по времени; б — возмушенное рещение на и-м слое; в — возмущение на и-м слое; г — колебательный рост ошибки, связанный с чрезмерно большим шагом Ы (динамическая неустойчивость); д — монотонный рост ошибка, обусловленный применением центральных разностей для конвектнвного члена (статическая неустойчивость), 3./, Методы решения уравнения переноси вихря бо после этого уравнение (3.48) запишется так: Ьти+ — 4~~ и~~~+~ — и~л~ ~а~+1+ й~~ 1 2 Б 2йх + бхз ие,,— из,, е+ +е,,— 2е, 2*е ~ Ее (3.50) Сумма первых двух членов в правой части уравнения (3.50) представляет собой конечно-разностное значение (д~/дт),, равное нулю в силу предположения, что на п-м временнбм слое существует стационарное решение.

Тогда уравнение (3.50) сводится к следующему: Первый член в правой части уравнения (3.51) дает изменение ~, обусловленное конвекцией '), а второй — обусловленное диффузией. (3.52) Значит, для всех Л( ) 0 приращение Л~, положительно и стре- мится корректировать отрицательное возмущение еь Аналогично, рассматривая Л~ в точке 1+ 1, имеем е;+з ( О, е, О, егы ) 0; поэтому е,.

+з — 2е Л~,е1 — — аЛг ' „, < О, Ьхз (3.53) т. е, положительное возмущение е;+, корректируется отрицательным приращением Л~ььь Заметим, что приращение Лье = ье~' — ь;". (а также Лйьь1 и т. д.) пропорционально шагу Лй Если шаг Лу слишком велик, то поправка за счет приращения Л~~ окажется чрезмерной. Для ') При обсужденви проблемы устойчивости нелинейных уравнений переноса вихря и уравнений гидродинамики в физических переменных конвективный член обычно называют нелинейным членом.

Но зто назвзние ие от. ражает существа дела. В общем случае проблема устойчивости возникает не из-за нелинейности уравнений и даже ве из-за переменности их козффипиентов. Это показывают все рассматриваемые здесь задачи, в которых интерпретируется как температура в движущейся несжимаемой жидкости, а и считается постоянной во времени и, может быть, даже постоянной в про. странстве. Обсуждаеыая проблемы устойчивости возникает здесь просто из-зз того, что конвективный член содержит первую производную. Рассмотрим уравнение (3.51) только с одним диффузионным членом и оценим его в точке й Поскольку егы ) О, е; ( 0 и е; 1) О, имеем йд.ч.

Описание неустойчивости таких слишком больших Лг величина нового Ц+' будет больше начального возмущения, как это показано на рис. 3.6, г: ~»то+1~ ) ~а )Сф) > )а~и~~. (3.54) и аналогично (3.55) Рассмотрим теперь уравнение (3.51) только с одним конвективным членом. Оценим это уравнение в точке й полагая и ) О. Предположим, что возмущение колеблется по 1, а его амплитуда растет с ростом й Поэтому иегы ) О, ие; 1) О, иеоы)ие, ~ и (3.56) т.

е. приращение ~ь обусловленное конвекцией, отрицательно даже при е~ «О. Это означает, что ошибка растет монотонно (см. рис. З.б,д). Появление такой нарастающей ошибки называется статической неустойчивостью, которую нельзя устранить уменьшением шага по времени и можно устранить только переходом к какой-либо другой конечно-разностной схеме. Если пространственное направление роста е по отношению к и отличается от показанного на рис. 3.6, т. е. если либо и ( О, либо амплитуда е уменьшается по 1, то конвективный член становится статически устойчивым, но при достаточно больших И еще может иметь место динамическая неустойчивость.

В любой реальной задаче начальные ошибки распределены более или менее случайно, и можно быть уверенным, что в некоторый момент времени и в некоторой точке их распределение будет похоже на изображенное на рис. 3.6 «катастрофическое» распределение. Если в уравнение (3.51) входят и конвективный, и диффузионный члены, то они взаимодействуют. Как мы вскоре увидим, для рассматриваемой разностной схемы возникает ограничение на М, обусловленное диффузионным членом, и другое ограничение на М, зависящее от сравнительной величины статически неустойчивого конвективного члена и статически устойчивого диффузионного члена, т.

е. от числа Рейнольдса. Эти моменты станут ясны в следующем разделе. Появление таких осцилляций нарастающей амплитуды, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени, называется динамической неустойчивостью, которую можно устранить уменьшением шага по времени, сделав его меньше некоторого «критического шага по времени» М«р. даа Методы решения уравнения нереноеа вихря 3,1.б. Исследование устойчивости После того как было дано общее описание устойчивости, рассмотрим три метода исследования устойчивости, их взаимосвязи и сравнительные достоинства. Эти методы будут проде. моистрированы на примере разностной схемы с разностями впе. ред по времени и центральными разностями по пространственной переменной в применении к линейному модельному уравнению (3.18).

Зл.б. а. Исследование устойчивости методом дискретных возмущений Метод исследования устойчивости, который мы называем методом дискретных возмушений, представляет собой обобщение метода, впервые использованного Томом и Апельтом [19611 и развитого Томаном и Шевчиком (19661. Этот метод полностью отвечает уже данному нами описанию неустойчивости. Он прям и прост по идее, применим для анализа как устойчивости, так и свойства транспортивности, которое будет определено ниже. Коротко говоря, в уравнения в некоторой точке вводится дискретное возмущение величины Ь и прослеживается влияние етого возмущения; конечио-разцостная схема будет устойчивой, если возмущения затухают, или ь" +' — в 2ае (3.58) (3.59) И ахт ~л.т1 = в (1 — йе~) где диффузионное число е( определяется равенством аат ахт (3.60) В силу требования устойчивости эти возмушения должны затухать, Для первого шага по времени это приводит к условию !Се+1/а~~ 1, (3.61) Простоты ради сначала рассмотрим уравнение (3.18) только с диффузионным членом и предположим, что найдено стационарное решение ь",= 0 для всех й Введем в решение ~", возмушение е и из (3.18) по схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной по- лучим Зл.б.

Исследование устойчивости 63 или — 1 я-! — 2с/» (1. (3.62) Правое неравенство является результатом требования статической устойчивости и автоматически выполняется при положительных с(, т. е. при а ) О и сз/ ) О'). Левое неравенство является требованием динамической устойчивости и выполняется при с( ( 1. Если, следуя Томаиу и Шевчику [1966), потребовать еще, чтобы численное решение моделировало физическое явление, не допуская осцилляцпй, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени, т. е, чтобы ьлс+'/е ~ )О, (3.63) то получается ограничение йт(»'/т. (3.64) Неравенство (3.63), однако, не является условием устойчивости в смысле уменьшения амплитуды возмущения.

Интересно отметить, что если рассматривать достаточно большое число слоев по времени, то потребуется восполнение неравенства (3.64). Сначала по схеме с разностями вперед по времени и цевтральными разностями по пространственной переменной (уравнение (3.18)) вычислим возмущение в соседних точках: ~лт ~ с(и сл1 Снова потребуем, чтобы имело место неравенство /е[(1, откуда получается — 1 '1 — 4с(+6~Р(»1, (3.67) (3,68) Левое неравенство выполняется всегда, в то время как правое накладывает ограничение с( и. '/,. Таким образом, рассмотрение первого временнбго слоя при.