Роуч П. Вычислительная гидродинамика (Роуч П. Вычислительная гидродинамика.djvu), страница 10

Этот прием дает также возможность рассматривать поверхности раздела в жидкости (см. Харлоу и Уэлч [1965, 19661, а также Дали [196?1). В методе Р1С, как и в более раннем методе Куранта — Изаксона— Риса [1952), используются односторонние разности для первых производных по пространству и таким образом вводится своего рода схемная вязкость (см, гл.

3), однако эти методы сохраняют истинные характеристические свойства дифференциальных уравнений. Хотя во всех этих методах неявно используются диссипатнввые члены, размазывающие ударные волны, для обеспечения устойчивости каждого из них в некоторых частных случаях требуется введение дополнительных членов с явной искусственной вязкостью. '! См.

Эванс и Харлоу 11957 — 19591, Харлоу с соавторами 11959], Эванс с соавторами [1962) и Харлоу 1!953). 24 дд. Существование и единственность аеиеенид В противоположность подходу с размазыванием скачка на несколько расчетных ячеек можно, наоборот, выделять разрыв. Моретти, Аббетт и Блейх (Моретти и Аббетт [1966], Моретти и Блейх [!967]) проводили расчеты сверхзвуковых течений не- вязкого газа, выделяя ударные волны; этот подход стал очень популярен в начале семидесятых годов.

Прекрасное широкое обсуждение нелинейных численных методов можно найти в книгах Эймса [!965, 1969]. Для изучения математических аспектов численного исследования параболических и гиперболических систем, включая задачи, связанные с ударными волнами и диффузней нейтронов, можно рекомендовать книги Рихтмайера [1957], Рихтмайера и Мортона [1967]. Строгий математический курс Форсайта и Вазова [1960] рекомендуется для ознакомления с численнымн решениями эллиптических уравнений. В готовящейся к выходу в издательстве Асабеш(с Ргезз книге Моретти можно будет найти детальное изложение метода выделения скачков, [.3. Существование и единственность решений Математические проблемы существования и единственности решений уравнений в частных производных, описывающих течения жидкости, далеки от своего завершения как для самих дифференциальных уравнений, так и для их конечно-разностных аналогов.

В 1961 г. появилась монография Ладыженской, посвященная этим проблемам для стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости; изложение существа ее работы дано Эймсом [1965]. Основываясь на сравнении задачи о течении несжимаемой жидкости, описываемом уравнениями Навье — Стокса, с другими задачами, Эймс (с. 480) предполагает, что единственное стационарное решение существует только ниже некоторого неизвестного предельного значения числа Рейнольдса, выше этого значения в некотором интервале чисел Ке существует несколько решений и, наконец, выше некоторого другого, также неизвестного, значения числа Рейнольдса решений вообще не существует.

(Однако Эймс также задается правомерным вопросом, справедливы ли сами стационарные уравнения Навье— Стокса для чисел Рейнольдса, превышающих некоторое значение, прп котором возникает турбулентность.) При конечно-разностном решении этой задачи положение может еще более усложняться из-за неясности граничных условий. Для задачи о течении сжимаемой жидкости, описываемом чисто гиперболическими уравнениями (сверхзвуковое течение), существование решения для предельного невязкого случая легко доказывается. Фой [!964] показал, что если для иевязкого газа чва произвольных состояния могут быть связаны достаточно !.3. Супгествование и сдняствепность реигений 25 слабым скачком, то для вязкого газа существует непрерывное решение. Представляется, что для более общих случаев и для задач о течении смешанного типа ничего действительно полезного относительно существования решения пока не установлено ').

Существование решения представляет собой в некотором смысле меньшую проблему в том случае, когда расчеты ведутся по нестацнонарным уравнениям, а этот подход оказался, вообще говоря, наиболее успешным при решении полных уравнений для течения вязкой жидкости. Будучи уверенными в справедливости нестационарных уравнений Йавье — Стокса, мы склонны думать, что численное решение, полученное по физически реальным начальным условиям, имеет определенную ценность. Если же стационарного решения не существует, то, проводя нестапионарные конечно-разностные расчеты, мы можем убедиться в этом.

Может случиться, однако, что непрерывное течение, которое не. устойчиво по отношению к малым возмущениям, будет оставаться устойчивым при численном моделировании. Это может иметь место как прн крупномасштабной неустойчивости (такой, как отрыв вихрей), так и нри мелкомасштабной турбулентности в сдвиговом слое. Кроме того, внесение в полные уравнения Навье — Стокса приближенных допущений (например, линеаризацин Буссинеска) лишает уверенности в существовании решения. Это особенно относится к тем случаям, когда приходится работать с непроверенными уравнениями состояния. Годунов и Семендяев (1962) показали, что при использовании определенного класса уравнений состояния численное решение газодинамических задач может быть неединственным.

Вопрос о единственности полученного численного решения вызывает даже большее беспокойство просто потому, что существует много примеров (как физических, так и чисто ма* тематических) неединствеиности стационарных решений. Наиболее очевидным примером физической неединственности течений являются работа двухрежимных приборов струйной автоматики и две устойчивые ориентации вихревой нити при обтекании стенки с полусферической выемкой (Снедекер и Дональдсон [1966]). В этих случаях имеет место выбор между двумя зеркально-симметричными картинами. Более важным примером неединственности является гистерезис при срыве потока на крыловом профиле — при одних и тех же граничных условиях на угле атаки, близком к возникно.

вению срыва, получаются совершенно различные картины те. чения в зависимости от того, с какой стороны приближаться ') Статьи с последними исследованиями по атому вопросу можно найти в журпале Агсйгте 1ог гтаиопа1 Месиап1са апй Апа1уа1а, иадаваемом Трусдел лом и Серрииом и публггиуемолг издательством Зрг1пяег Чсг1ая. 26 П4. Аппроксимация, сяодимость и устойчивость решений к данному углу атаки — со стороны меньших (досрывпых) или больших (послесрывных) значений. Мак-Глолин и Гребер [!967] приводят другие примеры неединственности отрывных течений. Пиачек [1968] расчетами получил неединствеиные стационарные картины для естественной конвекции вихря, для которых, вероятно, существуют физические аналоги.

Автор настоящей книги численно получил примеры течений, похожих на сверхзвуковой диффузорный срыв (см. разд. 5.7.6). Эти расчеты дают пример неединственности численного решения, возникающей из-за численной постановки граничных условий, хотя при этом и существует физический аналог. Эймс [1965] приводит пример квазилинейного эллиптического дифференциального уравнения, не обладающего единственностью решения. Другим простым математическим примером пеединственности является классическая теория косого скачка уплотнения. При сверхзвуковом обтекании клина невязким газом существуют три решения кубического уравнения Томпсона (Апоп [1953] ). Одно из этих решений приводит к уменьшению энтропии и отбрасывается '), а из двух оставшихся решений «слабое» решение, как известно, отвечает физическому обтеканию клина, в то время как «сильное» решение отвечает задаче с отошедшей ударной волной.

При рассмотрении всех этих примеров естественно напрашивается следующий вопрос: к какому из решений должна сходиться численная схема, если она вообще сходится к какому. либо решению? На этот вопрос нельзя дать определенный ответ. Необходимо руководствоваться физическим опытом, т. е. экспе* риментом н интуицией, для проверки разумности получаемых решений. Появление более строгих критериев зависит от разработки более совершенной математической теории, которая по.

явится в будущем. 1.4. Предварительные аа)ч)ечанил об аппроксимации, сходимости и устойчивости решений Математические основы вопросов сходимости и устойчивости численных схем хорошо развиты только для линейных систем. Результаты линейной теории используются в ваде наводящих соображений для нелинейных задач, а их применимость прове. ряется затем численными экспериментами. В основе конечно-разностной схемы лежит замена производных типа д[/дх в дифференциальных уравнениях на разностные отношения типа Л))Лх в конечно-разностных уравнениях. Схо. ') В конечно-разностном методе отбрасывание этого решения (скачка разрежения) может осуществляться аатоматическн (см, Лаке 119541). 7.4, Аиороксимачик, скодимость и устойииеость решений 27 дящаяся конечно-разпостная схема математически определяется как схема, даютцая конечно-разностное решение, которое стремится к решению дифференциального уравнения при стремлении размера ячейки сетки к нулю.

Эта концепция более тонкая, чем может показаться с первого взгляда. Опа является не просто перефразировкой ньютоновского определения производной; под пределом здесь понимается предел всего решения дифференциального уравнения, а ие просто его отдельных членов (производных). Последнее свойство называется аппроксимацией (Лакс и Рихтмайер '[1956]). Например, конечно-разностный аналог дифференциального уравнения может состоять из конечных разностей, каждая из которых аппроксимирует соответствующий член дифференциального уравнения, но в целом этот аналог может быть неустойчивым и, следовательно, не сходящимся.

Кроме того, здесь не принимается во внимание проблема критерия практической сходимости. О'Брайен, Хаймен и Каплан [!950], а также Эдди [1949] определяют устойчивость исходя из роста или затухания ошибок округления. Лакс н Рихтмайер [1956] дают более общее определение устойчивости, устанавливая границу, до которой может возрастать любая компонента начальных данных в процессе численного расчета. Фундаментальную роль здесь играет теорема Лакса. Она устанавливает, что для системы линейных уравнений наличие устойчивости является необходимым и достаточным условием сходимости конечно-разностпой схемы, аппроксимирующей систему дифференциальных уравнений.