Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика.djvu), страница 15

терме т = т, (мы считаем, что т, ) т~). Найдем значение коэффициента полезного действия цикла Карно. Для етого воспользуемся равенством Клаузиуса (2.85) Для цикла Карно интеграл разобьется на четыре части по двум пзотермам н двум адиабатам. Так как па адиабатах Ы() = О, то останутся два интеграла по изотермам, где Т = сопз1, так что получим Т, > Тп (2.86) Обозначим черезов, = )И0 количество тепла, полученное при температуре Рвс.

5. Т„количество тепла, отданное системой при Т„обозначим через Д,= — ~дф Таким 1 образом, (т! (2 — — — — -- О. Т (2.87) $2Ь СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО НАЧАЛА ИО где Т вЂ” максимальная температура «положительной» части Р цикла, Т „— минимальная температура «отрицательной» части У цикла. Таким образом, из (2.91) п (2.93) получаем (2.94) т. е. теорема доказана. $21. Следствия второго начала, касающиеся обратимых процессов расширении и нагревания газа или жидкости Применим вытекающее из второго начала равенство (2.61) для преобразования выражения (1.49) количества тепла, получаемого газом плн жидкостью прп обратимом расширении и нагревании: де=ж+Рпу-С.дТ+~ — '„+ р)дк Заменяя согласно (2.61) дЕ/дУ+ р на Т др!дТ, получим (2.95) дд с.ит.( т('"1 др.

(2.96) Пользуясь уравнением (2.61), мы мшкем также преобразовать формулы, связывающие теплоемкостн С, и С. такого тела. Применяя первое начало термодинамики, мы вывели соотношение (1.53): с„— с.=~~ — ',;) +РИф). (2.97) Применяя теперь формулу (2.61), получим с,— с.=т® (ф). (2.98) Эту формулу можно еще преобразовать, если воспользоваться ()р 17ч ~ шах ~ 1п!и Гх' 17р ()л ('М ~ ш1и — 1 —, (~Р ~ шах ()1«п1ах " ш1п т хр ушах 74 Гл.

х тгрмодинхмикл кВлзистлтнческих пРОцессОВ тождеством *) ) ~ д У ) Я (2.99) Тогда получим (ду~дТ)р р Таа (ду)др)т (2ЛОО) С вЂ” С,= — Т Здесь введены обозначения (2ЛО() Таким образом, всегда С,~С (2Л02) Форьгула (2ЛОО) позволяет пересчитывать теплоемкость С, на С„(н обратно), нбо в правой части формулы стоят измеряемые на опыте величины, которые приводятся в таблицах физических констант.

Приведем следствия, вытекающие пз формулы (2.6$), для обратимого адиабатнческого процесса. На основании (2.96) можем записать уравнение адиабаты с(()=0 в следующей форме: С„с)т+ т( — 1 Л'=О. (2ЛОЗ) Прн расширении газа на с(У приращение температуры равно Т (др/дТ), (2Л04) Так как (2Л05) е) Это тождество иолучвется, если иэ тождеств др = (дрlдр)тдУ+ (др!дТ) г.дТ, ИГ = (дУ(дТ) рдТ+ (дУ!др) тдр, НТ = (дТ)др) гдр+ (дТ)дУ) ~НУ исклвчить Нр, дУ и дТ. (Проще можно поступить так. Положить, например в нервом иа этих равенств, др О и поделить его на дТ. Тогда будет дУ)дТ = (дУ|дТ) „ — (дТ/д У) — ' .) а — температурный коэффициент объемного расширения, ()в иэатермическая слсилсаел~ость.

Учтем, как это будет покаэанонинсе (з 35), что всегда з м. слвдствия второго начала то НТ = — ™ с((г. рс„ (2.106) (2Л07) (2.108) где С„= (дЕ/дг)г. Из (2ЛОЗ) получим дт (зр(зт)„ т с, (2Л09) Величины, входящие в правую часть этой формулы, определяются экспериментально; при этом температура определяется в шкале т. Кроме того, экспериментально определяется нзменениетемтературы Нт (в шкале т), получающееся прк адиабатическомизменении объема на Н(г. Соответствующая этому изменению Ит величина ЕТ(Т дается формулой (2ЛОВ). Задача Ь Может ли для воды выполняться равенство Ср = С„? Огаег. Да, при 4 'С. Указание.

Воспольвоваться соотношением Ср — С„= Тати(Р. 2. Вычислить для тела, подчиняющегося уравнению состояния Ван-дер. Ваальса, разность Сг — С,. Для разреженного газа, подчиняющегося этому уравнению состояния, выразить искомую разность через р и Т. Реюевие. Испольвуя равенства (2.98), (2.99), имеем (др? дт)ь) и нз уравнения состоянии в форме ПТ а Р=— и — О гз находим производные 'Таким образом, знак ивменения температуры при адиабатическом сжатии совпадает со знаком температурного коэффициента расширения.

Для воды прн 4'С сс ыеняет знак (между 0 и 4'С а — отрицательно), так что в атом промежутке температур вода при сжатии охлаждается, а не нагревается, как зто обычно имеет место для газов и жидкостей. Используя обратимый адиабатический процесс и применяя формулу (2ЛОЗ), мы можем получить способ градуировки температуры по шкале Кельвина. Если т — температура в некоторой произвольной шкале, то 76 гл. г, твгмодикамика квлзистатичвских пгопвссов Отсюда получаем )( С вЂ” С 1 — 2а (и — 5) lи ВТ Для разреженного газа, пренебрегая степенями 1/и выше первой, полу шм С вЂ” С )((1+ 2ерl)(~Т~). 3. Вывести зависимость между С», температурным коэффициентом объемного расширения и = — ( — ) и так иааываемым еадиабатиче- 1 (дрт У~, дТ )г ским температурным козффвциеитом» 2 (дТ/др)е (последний опреденяется по охлаждению при обратимом адиабатическом расширении).

Решение. Сравнивая величины (дТ!др)„(дУ(дТ)» и Ср Т(д8)дТ) р, видим, что удобно преобрааозать первую из ввх к тем же переменным, что и оотальвые дае, т. е. к Т, р. С помощью тождества (дТ(др)е(др!дд)тК Х(д$!дТ) р — 1 получаем (,).=- от ) (садр)т Т (дв(дР)т др /д (дд!дТ) С Условие существования полного дифференциала дФ = — ЯдТ+ У др, т.

е. — (дд/др) г (дУ(дТ) р, окончательно дает 4. Найти измевенве энтропик тела прп расширении его при постоянном давления. Решенне. Имеем )э (дУ) (дТ) (дУ) Учитывая, что Т ( — ~-) С, — ( ) = а (а — температурный ко- дУ )э э У ~ др )р эффицвевт объемного расширения), получим С„ (дд) = — "дУ. ТУи Знак этого выражения аазнсит от знака сь [5. Вычислить тепло, поглощаемое при кзаавстатяческом изотермическом растяженик твердым упругвм стержнем с модулем Юнга М, зависящим от температуры. Решение.

гдэ 1 — длина стержня, о — напряжение, Р— площадь поперечзюго саче- вия стержня. Прв изотермическом растяжении дР=~( —,) -оР1а. На основании формулы (2.66) ()-- дк ~ д — Т дТ (оР) + оР„ д( )'т дТ так что, пренебрегая изменением ноперечвого сечения о температурой, $2!. СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО НАЧАЛА вмеем д()= — ТР ду, д7. дв По определению модуля Юнга с = МХ, где Х вЂ” относительное удлинение стержня, эыаэанное напряженнем о. Следовательно, дМ дО = — ТР— Х й.

дТ Подставляя сгода й (1 — 1е)/1в где 1е — начальная длина стержня, и интегрируя, получим 1 дМ1 (1 1э) 1 ТР~ ~— '~~ э, Т йз '1 дТ) и, Ыы ве учитывали сокращенно поперечных размероз стержня, опредаэяемое коэффициентом Пуассона. Однако такой учет зносвл бы э предыдущую формулу поправку высшего порядка малости, которая при принятой точности расчета не должяа учитываться.

6. Вычислить для того же стержня изменение температуры при едиабатическом растяжения. Огеег. 7. Вычислить для того же стержня теплоемкость Сь при постоянном отвосятельном удлэпении Х ДЕВ в теплоемкость С, при постоянном напряжении. Отеег. СЛ вЂ”вЂ” ( дТ )1 Се — Сь —— — ТЕЪ.Р~д ) ~ — ) 8. Вычислить тепловой эффект пзотермической поляриаацип (прн возрастании поля от 0 до Е) едпнвцы объема диэлектрика, пренебрегая изменением удельного объема и предполагая, что е (Т) — 1 4л Решелие.

Запишем Н(7 дУ вЂ” ЕЕР (ср. задачу 1 к $9) з переменвыг. (Е, Т) (формула (а) задачи 3 к $17); это непосредственно дает д(7 = Т (дР!дТ) дЕ. е — 1 Полагая з этом, наиболее общем соотношении Р = — Е и внтегрврув 4л по Е от 0 до Е, получим Е де О = — Т вЂ”. йп дТ' Ыы авдвм, что прв де(дТ( О дпэлектрвк, подвергаемый иаотермвческой полярваации, выделяет тепло. В частном случае, когда з — 1 салаг(Т, имеем е — 1 з 1 Π— — Ез = — — РЕ бя 9 9. Для диэлектрика э электрическом поле вычислить разность теплоемкостей Сз при постоянной напряженности Е и Сэ при постоянной индукции ТА Объем в обоих случаях постоянен.

(Сл дает тепломкость диэлект- 2 22. оФФикт джОуля — тол!соня п уРАвнкнпе состояния Цз первого зачала, записанного в переменных (Т, о), имеем Со ~ Т ) =С! т~~ З1 ) — аБ~1а, т. е. кв оскоевккп (г) и (л) С = С!+ ТЫаЧБ. (е) Из трех уравнений с четырьмя кепззестнымя БТ, Иа, Б1, ды! Б! Ав !и 2 — + †.=- О, Ба -= — Б(Ф21), ы ' Я /МД /д1! !Б Б1 = ~ — ~ БТ + ~ — 1 /Ба = !и БТ + — га, -~дт1. ~д )т — М получаем Б1(! + ЗпиоЧ/МБ) = !а г/Т.

(ж) Преобразовав (в) по формулам (г) — (ж), окончательно получаем азТМ!Б 1 ! [ З(аы1) пгТ 1+Зтм1/МБ ! ( о !+Зп!Ф1/МБ / Б1 = [((+ зп!ызЫмБ)с + аптм!Б) ! Б!ах! = = [((+ зпиоз//мБ) со — з(аы!) тт[ ! Б1алг, (и) о/Ф/Ф = — [(! + Зтыи//МБ) С! + азТМ1Я1 ! 2ад А = — — [((+ Змы ЫМБ) С вЂ” З(а!о!) и!Т~ 2ада!.

(к) Заметим, что в предельном случае ы — ~0 теплоемкость штанги БС/ЗТ стремится, кзк и до!Окко быть, к С,. В предельном случае Ф-~-оо теплоемкость стремится к Сь 3 22. Связь эффекта Джоуля — Томсона с уравнением состояния. Применение этого эффекта для охлаждения газов Охлаждение, получающееся при адпабатическом обратимом расширении газа, используется для получения низких температур (машина Капицы). Этот способ годится н для идеального газа. Однако до спх пор одним из основных способов получения низких температур является использование небольших изменений температуры при процессе Джоуля — Томсона (з $2), которые получаются нз-за непдеальности газа.

Процесс Джоуля — Томсона нвляется адиабатическнм необратимым процессом. Как было показано в 3 22, изменение температуры /2Т, получающееся прн процессе Джоуля — Томсона при перепеде давления Лр, дается выражением ('!!'/З Р) т /ьт == — /)„, (2.ИО) с„ Для преобразования этого выражения воспользуемся формулой (2Л)2), которую запишем в переменных Т и р; при этом зо гл. з. тярмодинлмикл квазистьтнчкских нроцвссов удобно пользоваться энтальпией (тепловой функцией). Учиты- вая, что ( —::),=%),( —."),=("" '"),%),= /дН '1 др = ~ — — У) — — р (2АИ) (др )дК и что в силу (2.99) ( — '"), =- ~®).%), (2.И2) после подстановки этих выражений в (2.61) получим (2.ИЗ) Заметим, что это уравнение можно написать сразу, если воспользоваться общим уравнением (2.66): дК* дА — +А= Т вЂ”. да дТ' Для этого в согласии с т 10 надо положить а=р, А = — У н учесть, что энергия Е* включает теперь потенциальную энергию груаа и равна энтальпии Н.

Заменяя в (2.110) проиаводную (дй/др), от энтальпии единпцы массы согласно (2.ИЗ) на и — Т(дирдТ), для иаменения температуры при процессе Джоуля получаем т (ар! ат)„— и т' Г а (ит) ) ЬТ = " Ьр = — ~ — 1 Ьр. (2.И5) с„ — ср~дт ~р Очевидно, что если справедливо уравнение состояния рр ) д (и/т) т КТ, то р(Т = В/р н ~ — ) = О, т. е. для идеального газа дТ в опыте Джоуля — Томсона ЬТ= О. Для неидеального гааа процесс Джоуля — Томсона дает либо понижение, либо повышение температуры.

Для водорода при комнатной температуре а (р(т) (О, и получается повышение температуры; при низких д (и)т) температурах ) О, и температура понижается. Формулу (2АИ5) для температурного эффекта при процессе Джоуля интересно сравнить с изменением температуры при обратимом адиабатическом расширении.

Для этого преобразуем относящуюся к адиабатическому обратимому процессу формулу (2.104) к тем же переменным р и Т, которые входят в формулу (2А16) для процесса Джоуля. Проще всего это сделать заново, получив уравнение аднабаты в переменных р и Т. Из 9 22. МАГНИТНЫИ МЕТОД ОХЛАЖДЕНИЯ 81 Щ = йН вЂ” У йр получаем (2/Иб) р и, пользуясь уравнением (2.213), находим йт - — йр. Т др/дТ е Так как для всякого гааа до/дТ) О, то всегда при обратимом адиабатическом расширении газа получается охлаждение, каково бы ни было его уравнение состояния.