Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика.djvu), страница 18

(2А39) псояббб=п'сояб'Аб', Нф йр'. и' соя б я(п 6 дб й~ = И'соя б' я1п 6' Иб' йр'; Отсюда (2А40) По закону преломления пя(пб=п'я!пб (где и и и' — соответствующие показатели преломления з средах А и А'); кроме того, дй = я(п 6 ~(6 Йр, й2' я(п 6' бб' Йр' (здесь ф = ф' — ааимутальные углы лучей). Дифференцируя уравнение, выражающее закон преломления, имеем 9 2Е Рлвноеесное излучение. 3АкОны киРхгОФА 91 нспольауя выражения для дй и е)й', имеем соэ()'ой' = (и/и')'соей Ой. (2Л41) Подставляя (2.141) в уравнение (2Л39), получаем 1'(иlп')' = 1(1 — В) + 1'В'(п/и')), пли 1 (1 — В)/и' = Г (1 — В') / и' .

(2Л42) (2.143) Формула (2Л43) дает соотношения между интенсивностями в различных средах. Используем оптический принцип взаимности, из которого вытекает, что коэффициенты отражения света на границе сред для прямого и обращенного лучей равны, т. е. В В'; тогда (2Л43) принимает следующий вид: 1!и' = Г/и'. (2Л44) Для изотропного излучения плотность энергии равна (/=4п1и/с. Поэтому из (2.144) получаем (//пэ = (Г/п'~. (2.145) Применяя такие же рассуждения к одной частоте ю и вводя показатель преломления для атой частоты и, приходим к выводу, что для сред, находящихся в термодинамическом равновесии (н, следовательно, имеющих одинаковую температуру), имеет место равенство (2Л46) Другими словами, для всех сред, находящихся в термодинамическом равновесии между собой, величина 1 /п одинакова.

Следовательно, эта величина — функция только температуры и частоты е. Поэтому можно положить 1„/п' = 1„/и = /„(Т), (2Л47) где /„(Т) — некоторая универсальная функция частоты и температуры. Она равна интенсивности для тела с показателем преломления, равным единице, т. е.

для вакуума. С учетом (2.138) получаем (2.148) Таким образом, величина 1/и' имеет одно и то же значение для всех сред, находящихся в тепловом равновесии друг с другом. Эта величина — функция только температуры. Мы ввели выражение для плотности энергии 92 гл. х тегмодинамнка квазистьтнческих пгоцессов ЕХ вЂ” — мХ+ т), ех (2 149) справедливое для любого стационарного (хотя бы н неравновесного) состояния.

В уравнении г(11йх — 'производная по координате х (х направлена перпендикулярно слою), а первый и второй члены справа дают соответственно поглощение и непускание в данной точке слоя, причем а и г), конечно, имеют равновесные значения. Для слоя газа можно считать, что граница его не резкая и, кроме того, показатель преломления газа очень близок к единице. Поэтому отражение на границе можно не учитывать. Принимая ато во внимание, будем иметь Х(0) = О. Интегрируя уравнение, получаем для х = Ы 1= — (1 — е ").' (2.150) Формула (2.150) и дает интенсивность выходящего излучения При Ы» 1 величина 1(о) стремится к т)/а, так что толстый слой нагретого газа излучает наружу свет, спектральный состав и интенсивность которого соответствуют термодинамически равновесному состоянию.

При ох)»1, раалагая выражение для 1 в ряд, получаем Х(о) т~д, так что интенсивность выходящего наружу света пропорциональна излучательной способности. Рассмотрим теперь нагретый металл пли сильно поглощающее свет тело бесконечной толщины с резкой границей. На поверхность металла изнутри его падает излучение интенсивности Х- Формулы (2 146) и (2147) называются законами Кирхгофа для равновесного излучения. Термодинамика не моя<ет найти функцию 1 (Т), а позволяет установить только некоторые свойства этой функции.

Эта задача решается статистической физикой. В приведенном нами виде законы Кнрхгофа относятся к равновесному излучению, находящемуся внутри тела. Иэ них можно сделать заключения об излучении, выходящем иа такого тела наружу (в вакуум или воздух). Мы рассматриваем, таким образом, случай, когда во всем пространстве равновесия иет, нагрето только тело, а из окружающего пространства внутрь тела излучение не поступает.

Приведем два характерных примера, Рассмотрим сначала слой нагретого гааа толщиной И. Будем считать, что гаа находится в состоянии термодинамического равновесия. Однако излучение в слое газа в атом случае, вообще говоря, не будет равновесным. Тем не менее равенство (2.148) внутри газа выполняется, так как входящие в него величины т), а„и и зависят только от состояния газа, а он находится в термодинамическом равновесии. Для интенсивности излучения, направленного перпендикулярно границе слоя, внутри газа имеет место уравнение $2В.

Злкон стеФлна — вольпина цаса*. Здесь нельзя пренебречь отражением: показатель преломления отличен от единицы, и отражение велико. Интенсивность вышедшего иа металла света будет равна Х = — ", (1 — Лв) = ~„(Т) (1 — В„). (2Л51) а вз Заметим, что если известен вид )„(Т) (а он дается формулой Планка), то, намеряя интенсивность (сравнивая ее с некоторой эталонной интенсивностью), можно определить температуру Т тела.

Экспериментально вид функции ~ (Т) был найден путем изучения излучения абсолютно черного тела — полости, окруженной непрозрачной оболочкой с маленьким отверстием. $26. Закон Стефана в Больцмаиа для равновесного иалучения Применяя законы термодинамики к равновесному излучению, можно получить зависимость интегральной плотности равновесного излучения, т. е. величины '3 У ) 6;,йо= — ~ )'„(Т)йо, ( (2.152) р- У/3. (2Л53) Как известно, этот вывод из электродинамики был затем экспериментально подтвержден в классических работах П.

Н. Лебедева (1900 г.). Энергия в сосуде объема У равна Š— ЧЗ(Т) У. (2Л54) Работа при движении поршня равна д'гг' р ИУ (У(3)Лг. (2.155) от температуры; покажем, что она пропорциональна Т'. При выводе используется существование светового давления и его связь с плотностью излучения. Рассмотрим поршень в цилиндре, где стенки (и сам поршень) сделаны из идеального отражающего металла. При движении поршня, благодаря существованию светового давления, совершается работа. К излучению в таком сосуде с поршнем можно применить уравнения термодинамики в обычном виде. Из электродинамики вытекает, что прп паденпп луча на идеально отражающую степку под углом 0 световое давление равно р = Усов*0, где У вЂ” полная плотность излученкя.

Для изотропного излучения это выражение нужно усреднить по всем направлениям. Тогда получим 34 гл. 2. теРмОдинАмикА кВАзистАтических пРОцессОВ Применим общее уравнение (2.77) (2Л56) Подставляя в него выражения для Е из (2.154) и для р нз (2Л53), получим ЯУ 4(/ ЯТ Т' (2Л57) Таким образом, мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение. Оно интегрируется разделением переменных, и мы паходилл 1/ = аТ', (2.158) где а — постоянная интегрирования.

Это — закон Стефана— Ьольл/хлама, дающий зависимость интегральной плотности равновесного излучения от температуры. Закон Стефана — Больцмана полностью подтверждается опытом; постоянная а оказывается равной а = 7,91 10 " эрг/(К' ° см') = 1,89 10 " кал/(К' ° см'). Задачи 1. Вычислить: а) плотность эптроплп равновесного пэлученпя; б) колпчество тепла 0, отнятое у нагревателя прп взотермвческом расшпренвп равновесного вэлучепвя от объема г' до объема У' (прп температуре Т).

Решелие. а) Введем энергию Е, элтроппю Я и плотности энергпп и энтропвв (/ = Е/Р и 3 = Я/У. Для взотропвого равновесного излучения давление равно р = У/3, где (/ = аТЕ Воспользозавшвсь вторым началом з //Е+ р л'1' виде//Я = Т и имея в виду, что удобно принять Я=О прв у=о, легко получаем Я 4 з 3= — = — аТ )/ 3 б) Вводя штрих для велнчпн в конечном состоянвн, вмеем 4, 4 О= Т(Я' — Я) = Тэ(К' — У) 3 еТ ((/ )// 3 (Е Е) 2. Получить завяспмоств между термодлнамвческвмп велпчвнамп для равновесного излучения, совершающего обратимый адвабатпческвй процесс.

Решение. Па основэнвв Я = солэ1 и предыдущей задачи находвм 1~$ = сопел дул/3 = сове~„ЕУ!/3 сопел 3. Равновесное пзлучевве внезапно выпускается нз объема У с вдезльно отражающвмп жесткямн стенками в пустой объем с таквмп же стенкамв, совершая, таким образом, необратимый адвабатвческвй процесс. Вычислить нэмеяевве температуры н энтропии, если общий объем обеих полостей равен Г'. Решение.

В силу первого начала Е' = Е. Следовательно, Т'/Т = 1' )///у ( 1, Я'/Я = Т/Т' = т' $'/у ) 1, 3 хь хлглкткгистичвскив еункцик 4. Вмчяслягь дяя равновесного язлучення теплоемкость С, а также свободную знергяю Ч'. О»ае». С» — — (дЕ/дТ)» 4аТзУ Ч~ = Š— ТБ = — аТзУ/3. 5. Вычяслять дяя одного кубического сантиметра одяозтомяого газа дояоляятельяую теолоемкость С,,ю вызванную содерзкащямся з вем равновесным излучением, если объем газа поддерживается постоянным, причем моль газа занимает объем»' = 22,4 10' см'/моль (такой объем занимал бы моль идеального газа пря вормальнмк температуре я давленая). Сравнять с теялоеккостью самого газа (равной С, „„= ЗЕ/2» яал/(смз ° К)). О»лет.

С „= 4аТ = 7,3 ° 10 ззТ кал /(смз К); ЗЕ 3 С = —.= =1,3 10 зкал/(смз К); »газа 2Р 22,4.10 С »язз ЗаИТ з С ЗЯ = 3,4 10-гзТ »»зза $ 27. Характеристические функции Чтобы охарактеризовать свойства тела, состояние которого при термодннамическом равновесии определяется объемом н температурой, недостаточно знать его уравнение состояния, связывающее давление с объемом и температурой. Для полной его характеристики нужно знать еще второе уравнение, например дающее его энергию как функцию объема и температуры. Так, идеальный газ характеризуется не только уравнением состояния Клапейрона, по еще законом Джоуля. Второе начало термодинамики позволяет свести число необходимых для характеристики тела уравнений с двух до одного.

Аналогично этому для системы с произвольным числом п внешних параметров кз второго начала вытекает ряд соотношений, связывающих внешние силы, энергию н их производные (3 17, уравнения (2.66) и (2.67Н. Наличие этих соотношений связано с тем, что все эти величины при термодинамическом равновесии, как это вытекает из основного уравнения (2.56), могут быть выражены через одну определенную функцию независимых переменных и ее производные. Эта функция называется характеристической функцией. При разном выборе независимых переменных характеристической функцией служат разные величины. Чтобы найти характеристические функции, нужно воспользоваться основным уравнением Т за = ЫР + „)' Аз доз (2.159) и преобразовать его так, чтобы в правую часть входили дифференциалы выбранных независимых переменных.

Пусть независимыми переменными служат внешние параметры а; и энергия Е. В этом случае характеристическая функция— об гл. и теРмодинАмикА кВАзистАтических пРОцессОВ энтропия Я, заданная как функция а, н Е. Действительно, зная функцию 8 Яа<, Е), из уравнения (2Л59) получаем дд (а», и) 1 дЯ (а», а) АА дЕ Т' даь 7 (2Л60) »»Ч»= — Ю»(Т вЂ” ~ А»»1а». (2.161) Поэтому дЧ" (а, т) дТ = — Я дч ( От) = — А», да» (2.162) а энергия равна (2Л63) Таким образом, зная функцию Ч'(аь Т), мы получаем все основные величины, характеризующие нашу систему. В частном случае, когда внешний параметр — объем, мы будем обозначать свободную энергию Ч' через г"($', Т) (свободная энергия в узком смысле).