Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 9

Расходимосгь этого интеграла связана с тем обстоятельством, что (флД) )з не обращается быстро в нуль на бесконечности. В этом случае вероятность обнаружения частицы в любом конечном объеме пространства бесконечно мала по сравнению с вероятностью ее обнаружения в остальной бесконечно большой части пространства. Следовательно, если частица находится в состоянии фж то она совершает. неограниченное (инфинитное) движение во всем просгранстве, и это движение характеризуется определенным значением физической величины Р. Примером такого состояния является состояние свободного движения частицы с определенным импульсом, которое описывается плоской волной фр(г)=Аехр~1 ~ 1. Ь Совокупность собственных функций фз(э) образует полную систему функций, т, е.

любая функция ф, зависящая от тех же переменных, может быть представлена в виде линейной супер- позиции состояний, в которых физическая величина Р имеет определенное значение. В связи с непрерывным характером спектра собственных значений такая линейная комбинация будет изображаться интегралом ф($) = ) аьфь9) НР.

(10,2) Собственные функции фг операторов с непрерывным спектром можно выбрать так, чтобы 1 а„~дР определяло вероятность того, чтобы в состоянии ф физическая величина Р имела значение, лежащее в интервале Р, Р+ НР, основные понятия квлнтовон мнхлннкн Тогда условие полноты собственных функций фе сводится к ра- венству ~ тг' (з) ф(э) с$=)га„'а с(Р=1, (!0.3) которое соответствует равенству (9,!7) для функций днскрет.

ного спектра. Подставляя в первый интеграл значение ф"Д) из (10,2) и меняя порядок интегрирования, получаем равенство ) а'„,~ ) тр(Дф„'(К) сЦ вЂ” а„(с(Р=О, для выполнения которого необходимо, чтобы ал= ) тр(К)ф„'ф)с!К. (10.4) Таким образом, правило вычисления коэффициентов 'ае совпадает с правилом нахождения коэффициентов а„для случая дискретного спектра. Подставим в (10,4) значение ф($) из (10,2), тогда получим равенство Чтобы это равенство выполнялось при произвольных значениях коэффициентов ат, необходимо (10,5) Приведем в качестве примера нормированные на дельта-функцию собст.

пенные функции оператора импульса ф (и! (2пгт! нехр с — . и Л ! Соотношение (10,5) и является условием нормировки собственных функций непрерывного спектра, обеспечиваюшим возможность интерпретации ) ак)в с(Р как вероятности обнаружитьзначение физической величины Р в интервале Р, Р+ с(Р. Иэ (!0,5) следует, что при Р чь Р' собственные функции операторов с непрерывным спектром ортогональны, при Р = Р' интеграл (10,5) расходится.

Правило нормировки (10,5) собственных функций операторов с непрерывным спектром носит название нормировки на дельта-функцию. Формула (10,5) заменяет в этом случае условие ортонормировки (9,5) собственных функций дискретного спектра. йю) сонета. функции операторов с ннпрврывным спектром аб Используя формулу ) е' "»)х йпб(й) (см, мат. дополн. А),легно убедиться, что этн функцнн удовлетворяют условию нормвровкл ~ фр, 00 ф„(г) йс = 6 (р — р ), Сператор координаты г = г также имеет непрерывный спектр. В этом можно убедвться, если мы вспомним, что действие оператора координаты на функцию сводятся к простому умкоженвю этой функцнв на г.

Таким образом, согласно общему правилу (8,5), собственные значения н собственные функцна оператора коордннаты определятся нз уравнепая ф, ()="ф, ( л Вто уранненне ямеет решения прн пронзвольных значениях э', прн этом нормнронанные к дельта-функция решения совпадают с дельта-функцией, т.

е. ф, ( ) - 5 (г — г'). Ковффнцвенты аг раэложення вроэзвольной нормированной функцна ф по собственным функциям оператора координаты ф(г) )' аг.фг,(г) Ит' определяются по общему прввнлу (10,4): аг. = ~ ф(г) б(г — г') Ит ф(г'). Следовательно, вероятность обнаружения частнцы в объеме бт равна ) пг)»бт=)ф(г)рбт, что уже отмечалось в $4, Кроме соотношения (!О,б), собственные функции непрерывного спектра удовлетворяют еще одному соотношению, которое аналогично соотношению (9,8) для функций дискретного спектра. Для вывода этого соотйошения подставим ((04) в (10,2).

Тогда получим равенство ф®= ~ ф(йф„' й') 4„(5) с(Гс(Р. Чтобы это равенство выполнялось для произвольных функций ф($), необходимо (10,6) Хотя собственные функцвн фг операторов с непрерывным спектром нельзя нормировать обычным условнем, как функцнн днскрегного спектра, мо»кно с помощью фг образовать новые велэчэны — «собственные дифферслянплы» (волновые пакеты), которые будут обладать свойствама ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАИИКИ (гл.

1 собственпыхфункций дискретного спектра. Собственные дифференциалы определяются равенством л» ьлг» (10,7) где Ь㻠— конечный, но сколько угодно малый интервал между двумя значениями г» и г»ы физической величины. Можно показать, что собственные дифференциалы, относящиеся к разным промежуткам, обладают свойством ортогоиальности, т. е. / (а»ф($))*(бгф (й)) бй О, если 1чь й.

Далек собственные дифференциалы можно нормировать так, чтобы — 1(а»ф(5)( й-1. 1 АР»+е ар» З Однако введение собственных дифференциалов очень усложняег практическое использование теории, поэтому собственвые функции непрерывного спектра обычно нормнруют на дельта-функцию. Наконец, третий способ вычислений с собственными функциями непрерывного спектра состоит в искусственном превращении непрерывного спектра в дискретный путем определения этих функций в произвольно большом, но конечном кубе объема 1.», с требованием условий периодичности с периодом ~. по каждой из трех осей координат. Переходя в игоге к пределу 1. — оо, получим результаты, совпадающие с теми, которые получаются при других нормировках. Существуют операторы, которые обладают как дискретным, так и непрерывным спекгром.

Собственные функции непрерывного спектра в этом случае ортогональны собственным функциям дискретного спектра. Свойства функций каждого типа совпадают с рассмотренными выше, за исключением того, что в этом случае полную сисгему функций образует совокупность собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложение произвольной волновой функции по собственным функциям такого оператора имеет вид ф6)= ~ а ф 6)+ ~ плфе6) сЖ где сумма берется по всему дискретному, а интеграл по всему непрерывному спектру.

Если функция ф(й) нормирована к единице, то выполняется условие полвоты собственных функций ') ' ) а„)т+ ) ) а„)т г(гт = Е З п1 опгацалянныя знлчвннп нвскольких внзнчвскнх величин чг Соотношения (9,8) и (10,5) в этом случае заменяются соотно- шением ~~~, ф„(~) ф„й)+ ~ ф„(Д ф„й) дР=б($' — 5). й 11.

Условия, при которых несколько физических величин могут иметь определенные значения в одном состоянии В предыдущих параграфах было показано, что если.волновая функция некоторого сосгояния системы совпадает с собственной функцией оператора Р, то в этом состоянии физическая величина Р имеет определенное значение. Очевидно, что если волновая функция некоторого состояния является одновременно собственной функцией нескольких операторов, то в этом состоянии имеют определенные значений все физические величины, соответствующие этим операторам. Например, в состоянии свободного движения, описываемого волновой функцией ф„(г) = (2пл)-'ь ехр (1 — '„").

определенное значение имеют импульс р и кинетическая энергия рзг28, так как эта функция одновременно является собственной функцией оператора импульса р и операгора кинетической Ь' энергии — — Ъз, Однако в этом состоянии не имеют опредехи ленного значения квадрат углового момента и его проекции на декартовы оси координат, так как функция фр(г) не является собственной функцией соответствующих операторов. В гл. Ч1 мы покажем, что возможны и такие состояния свободного движения, в которых одновременно имеют определенное значение кинетическая энергия, квадрат углового момента и одна из его проекций.

Однако при этом импульс частицы не будет иметь определенного значения. Итак, в зависимости от состояния системы те или иные физические величины могут иметь определенные значения. Опыт, однако, показывает, что имеются и гакие физические величины, которые одновременно не имеют определенных значений ни в одном из состояний системьх Эта особенность некоторых физических величин, отражающая объективные закономерности агомных явлений (т.

е. свойства микрообъектов и их взаимодействий между собой и окружающими телами), должна отражаться в свойствах операторов квантовой механики. Перейдем к исслвдованию этих свойств, 48 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [гл. $ Покажем, чго если две физические величины Р н М одновременно могут иметь определенные значения, то их операторы должны коммутировать. Из предыдугцего следует, что утверждение о том, что физические величины Р„и М„имеют определенные значения в одном сосгоянин, эквивалентно утверждению о том, что функция тр„является собственной функцией операторов г' и М. На математическом языке это выражается равен- ствами Рфл = Рлтрл~ Мфл = Млф Умножим первое из этих уравнений слева на оператор )т), а второе уравнение на Р и вычтем из первого полученного уравнения второе. Тогда, учитывая, что Р„ и М являются числами, которые можно переставлять, находим (МР— РМ) ф„=(Є̄— М„Р,) фа=о. (11,1) Поскольку произвольную функцию можно представить в виде линейной комбинации собственных функций ф„, то, учитывая (11,1), имеем (МР— ' РМ) ту=~ ал (МР— РМ) фл = О.

(11,2) л Равенство (11,2) выражает свойство коммутации операторов Р и тт), которое можно записать в виде операторного равенства МР— РМ = О. (!1,3) Следует, однако, отметить, что з особых состояниях несколько фнзрческнх величин могут иметь одновременно некоторые избранные значения даже в том случае, когда нх операторы не коммутаруют, Так, например, в состояннях с угловым моментом, равным нулю, равны нулю одновременно н все трн его проекции, хотя операторы проекций угловою момента не коммутнруют между собой (см.

(738)). В общем же случае, прн отлнчном от нуля угловом моменте, трн его проекцня не имеют одновременна определенных знзченнй. В сааза с втнм никогда нельзя говорить об определенном направленвн вектора углового момента в пространстве, Одновременно могут иметь определенные значения только квадрат момечта колнчесгеа двнження (т. е. длина вектора Е) н одна аз его проекций, например Ем так как операторы зтнх велнчан коммугяруют (Ет, Е,) = О. Для «наглядной» яллюстрацнн свойств углового момента можно сказать, что вектор углового момента, йбролютяая величина которого 1 Ь ) й )~ ( (( + 1), всегда прецесснрует Во.

Операторное равенство (11,3) обозначает, что результат действия операторов правой и левой частей равенства на произвольную функцию тр одинаков. Итак, мы доказали, что, для того чтобы физические величины могли иметь одновременно определенные значения в одном состоянии, операторы этих величин должны коммутировать. % ш методы Опгеделения состоянии кВАнтОВых систем 49 круг некоторого направления (например, вокруг оси х) так, что проекция.иа вто направление равна ат, где тя = О, ~Ц ..., ~й а средние значения двух других проекций равны нулю ((й„) = ° («.т) = О). При етом следует ииегь в виду, что вта «наглядная» картина является иллюстрацией и не отражает полностью свойств углового момента.

Можно доказать и обратную теорему: если два оператора Р и )т) коммутируют, то они имеют общую систему собственных функций. Доказательство этой теоремы особенно простое, если оба оператора имеют систему невырожденных собственных значений. Пусть имеется равенство (11,3) и тря образуют полную систему собственных функций оператора )г), т.