Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 13

В этом случае матрица плотности (14,14) будет непрерывной функцией з и з', т. е. рва =р(зз'). Чтобы получить матрицу плотности как функцию координат подсистемы х (координатное представление (см. 5 28)), перепишем (!4,12) в виде ОСНОВИЫЕ ПОИЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [гл. 1 Таким образом, в условиях статистического равновесия опера- тор р,„определяется с помощью канонического распределения Гиббса рек = Ь„,Л (6, У, [т) ехр ( — — '). (14,17) Следовательно, согласно (14,!7) и (14,16), матрица плотности для канонического ансамбля Гиббса определяется формулой р (хх') = 2 ' ~ ~р,'(х') ~р, (х) ехр ( — — '), (14,18) в операторной форме ей соответствует статистический оператор р=Я 'ехр( — — ), (14,19) где величина л = ~~ ехр ( — — ') = Бр( ехр ( — — ) ~, (14,20) называемая сднной состояний, обеспечивает выполнение условия нормировки матрицы плотности Брр=1.

(14,2!) Суммирование в (14,18) и (14,20) выполняется по всем возможным состояниям подсистем с гамильтонианом Н(х). Логарифм суммы состояний определяет с помошью равен- ства Р(6, У, [У) = — 6)п Е(6, У, [У) (14,22) свободну[о энергию подсистемы как функцию параметров О, У, й[. При этом статистический оператор (14,!9) преобразуется к виду р=ехр~ — ~. (14,23) При вычислении суммы состояний (14,20) канонического ансамбля нужно учитывать дополнительное условие постоянства числа частиц в системе. Чтобы освободиться от этого условия, можно рассмотреть большой канонический ансамбль Гиббса. Он представляет систему большого числа тождественных подсистем заданного объема У, которые находятся в термодинамическом равновесии с термостатом и обмениваются с ним энергией и частицами так, что в подсистемах сохраняется среднее число частиц.

Матрица плотности большого канонического ансамбля Гиббса определяется выражением р(х, х')= ~ р,„,нлр',,„„,(х')[р,н(х), (14,24) 3 Рл ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИИ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ ЕЧ где ф,и(х) — собственные функции операторов энергии Н(х) и числа частиц Р! каждой подсистемы; р...,„,=б,,,бц,„Е-'(6, У, !А) ехр( — ', ), Е(В, У, р) =т~)~~ехр( — ', ) (14,25) ,— сумма состояний большого ансамбля. Она определяется из условия 3рр=Хр, „=1; аи р — химический потенциал, определяемый условием !у= Зр(рй. Логарифм суммы состояний (14,25) связан с термодинамическим потенциалом подсистемы равенством аа(6, !А, У) =' — 61ПЕ(В, !А, У). (14,26) С помощью (14,26) матрицу плотности (14,24) можно записать в виде р(х, х') =~ ф, (х) ф,,„,(х')ехр( ' ' ).

(14,27) В более компактной — операторной форме выражения (14,26) и (14,27), имеют вид 11 (В, р, У) = — В 1П 3р~ехр ( — )~, (14 26) а= а(~+ Т) (14,29) В более общем случае, если кроме полной энергии состояние подсистем характеризуется многими интегралами движения (угловой момент, число частиц, импульс и т. д.), соответсгвующими операторам 7А, то (14,29) следует заменить выражением ~ аа — Н+ ~я~~~ а ! (14,30) где Й определяется из условия нормировки матрицы плотпости так, что Ц~~а 7 — !! ~ И(6, ..., а, ...) = — 61п Бр ехр ) ~ .

(!4,3!) При этом ПА — постоянные величины, определяемые из условий ((А) = 6р(р(А). (14,32) А, С, Даа1ааоа ГЛАВА !! ф'' "' ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ 4 Э й !6. Волновое уравнение Шредингера Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний вантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде М вЂ” =Нф (15,1) где Н вЂ” оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии если он не зависит от в емени.

Вид оператора тт' определяется своиствами системьь ля нерелятивистского движения частицы массы р в потенциальном поле 0(г) оператор Н действителен и представляется суммой операторов кинетической н потенциальной энергии частицы Н=- —,"' ~ + Й (г). (15,2) Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным (6м.

гл. ИИ). Хотя уравнение (15,1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет н ,периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (15,1) ,часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (15,1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции ф(г) в любой.

последующий момент времеви, если известно это значение е начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает п ин ил и ичинносг нике. Волновое уравнеаие редингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов Е Я1р;, а,), (15,3) то переход к классическому уравнению Гамильтона — Якоби для функции действия о ВОЛНОВОЕ РРАВНБНИЕ ШРЕДИНГЕРА можно получить из (15,3) формальным преобразованием аз лл Е-+ — —, р; -+ —. аг.' *' ад, ' Таким же образом уравнение (15,1) получается из (15,3) при переходе от (1$,3) к операторному уравнению путем формального преобразования Е-Р 13 —, Р; -+ — 13 —, (15,4) если (15,3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (15,4) коммутируют между собой (см.

3 7). Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию ф операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (15,1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера яв,чяется обобщением опытных данных. Оно не выводится в кван,товой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике. Легко убедиться, что уравнение (15,1) удовлетворяется при О= — — 7з волновой функцией $2 2и ф (г, 1) = А ехр ~ 1 ( ~ — — „) ~, описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса.

В общем случае справедливость уравнения (15,1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения. Покажем, что из уравнения ('15,1) следует важное равенство (!5,5) указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножнм слева (15,1) на функцию ф', а уравнение, комплексно сопряженное к (15,1), на функцию ф н вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим (15,6) Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учйтывая самосопряжеиность оператора Я, получаем (15,6), ВЗ изменение кВАнтОВых сОстОяний с течением ВРемени 1гл. и Если в соотношение (15,6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (15,2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности) ~Р + б(чу = О, др где р = ф*ф является плотностью вероятности, а вектор ~ — 2иг(ф 4-ф ф) (15,8) можно назвать вектором плотности тока вероятности Комплексную волновую функцию ф всегда можно представить в виде ф (г, г) = Гт (г, 1) ехр (1Ф (г, 1)), где )г(г, г) и Ф(г, г) — действительные функции времени и коор- динат.

Таким образом, плотность вероятности р= )сз(г, 1), а плотность тока вероятности у= — )аз(г, 1)етабФ рдгаб( ). (15,9) Из (15,9) следует, что у=О для всех функций ф, у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, 1 = О для всех действительных функций ф Решения уравнения Шредингера (15,1) в общем случае ,изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо ,одной комплексной функции ф состояние системы можно описать двумя вещественными функциями ф и т, удовлетворяющими двум связанным уравнениям.

Например, если оператор Н— вещественный, то, подставив в (15,!) функцию ф = ф+ 1Т и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений йд=НХ Ьд = Н дф дх дг ' дс при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид в , з 1 1(з т — (фагаб у,— у.дгаб ф). и Кроме изменения во времени волновой функции $, обусловленного изменением состояния под влиянием сил, действующих и системе, и определяемого однозначно уравнением Шредингера СТИ1ИОНАРНЫВ СОСТОЯНИЯ з 1б! (15,1), в квантовой механике рассматриваются еще «изменедия» волновой функции, обусловленные процессом измерения. В этом случае речь идет собственно не об изменении волновой функции, а о замене одной волновой функции другой волновой функцией в связи с изменением постановки задачи — меняются начальные условия.

Поясним это примером. Предположим, что состояние системы описывается функцией ч1», и в этом состоянии физическая величина Р имеет определенное значение. Тогда, измеряя физическую величину Р, мы с достоверностью получим значение Р. Однако после измерения система переходит в новое состояние 1р, отличное от исходного, в котором величина Р не имеет определенного значения. Например, измерение импульса электрона можно осушествить путем дифракционного опыта. При таком измерении электрон, попадая на фотопластинку, вызывает потемнение (после проявления) небольшого ее участка.

Таким образом, в результате измерения электрон из состояния свободного движения с определенным значением импульса перешел в состояние с определенным значением координаты, Переход из состояния 1р в состояние ф' в результате измерения носит название «редукции волнового пакета». После измерения получается новое состояние, которому соответствует и новая функция. й 16. Стационарные состояния Рассмотрим систему, у которой оператор Гамильтона не зависит явно от времени, т.

е. ди — = О. дб В этом случае волновое уравнение Шредингера (15,1) допускает решение с разделенными переменными Р(5. !)=Ф($) А(1) ° (16,2) Подставляя (!6,2) в (15,1), находим А о(Ц дб но(1) ш— (16,3) где Š— постоянная величина. Из (16,3) следуют два уравнения: Офл(5) =Е1Ра(Ц, (!6,4) дб — — ЕА (1). (16,5) Уравнение (!6,4) является уравнением, определяющим собственные значения оператора Гамильтона, который при условии 7О ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЯ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ.