Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 15

Преобразования координат могут быть двух типов: а) преобразование ноординат, связанное с перемещением в пространстве векторов, характеризующих положение точек системы; при этом базисные векторы, определяющие систему координатных осей, остаются неподвижными; б) преобразование координат фиксированного в пространстве расположения точек при изменении базисных векторов координатных осей. В этом параграфе мы рассматриваем преобразования координат типа а). Пусть о — некоторая операция, с помощью которой преобразуются координаты вектора г, определяющего положение точки, т.

е. г -+ к' = Яг. (18, 1) Обратное к (18,1) преобразование Е=З (18,2) Рассмотрим, как преобразуются волновые функции при преобразовании координат (18,1). В результате преобразования координат в точку г' переносится то значение функции, ноторое было в точке г, т. е. ф (к)=ф(г). (18,3) С другой стороны, по определению, действие оператора на функцию ф(г') должно давать новую функцию от того же аргумента чг'(г') = А',ф (г'). (!8,3а) 78 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЪ|Х СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. И Сравнивая (18,3) и (!8,3а), находим правило, определяющее действие оператора 1[, на функцию, Нл)|(«') = ф(«). Подставляя в правую часть полученного равенства (18,2), имеем Щ~ («') = ф (О '«'), или, опуская штрих над вектором, находим окончательно очень важное равенство Я,ф («) = Ч|(О «), (18,4) ' — = —.„[Н, Н)=0.

. |[Н ! Следовательно, учитывая (17,3), имеем =О. Если энергия |[ (е) Ж в начальный момент времени имела определенное значение, то это значение сохранится и в последующее время. Таким образом, однородность времени приводит к закону сохранения энергии в квантовой механике. .Инвариантность оператора Н относительно некоторого преобразования, определяемого оператором Р, означает, что действие оператора Р на функцию Нф эквивалентно действию Н на функцию Рф т. е. Другими словами, инвариантность Н по отношению к преобразованию, осуществляемому оператором Р, сводится к условию коммутации этого оператора с оператором Гамильтона РН =НР.

определяющее закон преобразования волновых функций при преобразовании координат (18,!). Перейдем к исследованию интегралов движения, связанных со свойствами пространства и времени. Опытным путем-установлено, что время является однородным, а свободное про. странство однородным и изотропным. Какие интегралы движения и законы сохранения связаны с этими свойствами пространства и времени? а) Однородность времени. Вследствие однородности времени оператор Гамильтона любой замкнутой системы, т.

е. системы, не подверженной внешним воздействиям, и системы, находящейся под действием постоянных внешних полей„не зависит явно от времени. Если оператор Гамильтона не зависит /дН явно от времени ! — = О), то, согласно (17,4), 5 !Щ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ 7Я Введем оператор Т,— оператор смещения времени на величину т; тогда, по определению, Т,1 = 1+ ъ, и из (18,4) следует Т,ф(1) =Ч (1 — т). Величина т является параметром оператора Т,. Однородность времени для рассматриваемых нами систем будет математически выражаться условием коммутации (Т„Н) =О. Вместо оператора смещения во времени удобно пользоваться генератором преобразования, или инфинитезим льным оператором смещения времени 1(1), который определяется как производная оператора по параметру при нулевом значении этого параметра.

Таким образом, 1(1)=- —,', Т,~ Явный вид оператора Т(1) легко получить, если учесть, что 1(1) ф(1) = — ' т,ф(1) ~ = — 'ф(1- ) ~ Таким образом, д 1(1) дс ' Закон сохранения энергии связан .с коммутацией оператора Н с инфинитезимальным оператором 1(1). В связи с этйм имеющий размерность энергии оператор — 181(1) =18— дЕ иногда называют оператором энергии. Следует, однако, помкить об условности такого названия. Энергия квантовомеханической системы в стационарных состояниях определяется собственными значениями оператора Гамильтона. Поэтому оператором энергии системы является оператор Гамильтона, т.

е. некоторая функция операторов координат и импульсов. В противоположность пространственным координатам время не является оператором. б) О д н о р о д н ос т ь и р остр а н с т в а. Однородность пространства проявляется в том, что свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого.

Поскольку свойства системы определяются в квантовой механике ее оператором Гамильтона, то однородность пространства должна проявляться в том, что оператор Гамильтона ВО изменение кВАнтОВых сОстОяний с течением ВРемени 1гл. и можно назвать операторол бесконечно лалого смещения, так как действие его на функцию эквивалентно смещению радиуса- вектора « на Величину ба. Учитывая теперь (18,5а), можно сказать, что условие инвариантности оператора Н относительно бесконечно малого смещения сводится к равенству Чн=нт, так как единица и постоянный вектор Ьа коммутируют с любым оператором. Поскольку оператор 1) отличается от 7 только постоянным множителем ( — (й), то последнее равенство можно записать в виде рн = нр.

(!8,6) Итак, из однородности пространства следует соотношение (18,6), которое в силу (17,4) сводится к утверждению, что импульссво. бодной частицы является интегралом движения. Выражая.7 через оператор импульса, можно преобразовать оператор бесконечно малого смещения и виду рва Тая= 1 — ! в (18,7) Оператор смешения на конечный вектор а можно получить пу- тем последовательного применения (18,7); таким образом, на- ходим Т = ехр ( — 1.

«Вч . (18,8) Три компоненты а~ вектора смещения а являются параметрами оператора смещения (18,8). Генератором преобразования пространственного слещения, или инфинитезилальныл операторол пространственного смещения 7(х~), называется производная оператора смещения (18,8) по параметру аь взятая при нулевых остаатся неизменным (инвариантным) при параллельном смешении системы на произвольное расстояние.

Любое конечное смешение может быть составлено из бесконечно малых смешений, позтому достаточно рассмотреть инвариантность оператора Гамильтона относительно бесконечно малого смешения ба. Если волновая функция зависит только от координат одной частицы, то при бесконечно малом смешении «'=«+ ба функция ф(«), согласно (19,4), перейдет в функцию ' ф (« — Ьа) = ф («) — Ьа т'ф («) = (1 — дат) ф («).

(18,5) Из (18,5) следует„что множитель Ть = (1 — баР) (18,5а) $ РЛ интеГРАлы движения и услОВия симметРии а1 значениях всех параметров. Таким образом, инфинитезимальный оператор смещения вдоль оси х~ 7(х,) = — —,А непосредственно связан с соответствующей проекцией оператора импульса. Если функция ф относится к системе частиц, то оператор бесконечно малого смещения всей системы как целого также выражается формулой (18,7), если понимать под оператором импульса Р суммарный оператор импульса всех частиц системы, т. е. если Р=ХРН ! В этом случае инвариантность относительно пространственных смещений сводится к закону сохранения полного импульса системы. в) Изотропия пространства.

Изотропия пространства (эквивалентность всех направлений) проявляется в инвариантности свойств замкнутых систем Относительно произвольных поворотов. Такая же инвариантность имеет место и для систем, находящихся в центрально-симметричных полях, если поворот осуществляется относительно центра поля. Определим оператор бесконечно малого поворота. Будем считать бесконечно малый поворот на угол Ьр вектором б~р, направленным вдоль оси вращения и по абсолютной величине равным углу поворота.

Изменение радиуса-вектора г при таком повороте определяется выражением г — эг+ [йуХ г). Вычислим соответствующее изменение волновой функции при учете членов первого порядка малости: ф (г — М Х г[) =(1 — бер[г Х Ч) 'Р (г). (18,9) Из'(18,9) спедует, что )гз =1 — Ж[»ХЧ является оператором бесконечно малого поворота на угол Ьр. Согласно 5 7, векторное произведение [гХ Я можно выразить через оператор углового (вращательного) момента — И [г Х Ч] = Х. Таким образом,' оператор бесконечно малого поворота на угол йр выражается через оператор углового момента формулой 32 изменение кВАнтОВых сОстОяний с течением ВРемени [гл. и Инвариантность оператора Гамильтона относительно произвольных бесконечно малых поворотов выражается коммутацией его' с оператороьт (сзэ или с проекцией оператора углового моз мента на произвольное направление оси вращения ЙУ Н = НнХ, (! 8,10) 11 = Ехр( — й «).

(18,11) Из (18,1Ц следует, что генератор преобразования поворота, или инфинитезимальный оператор поворота, вокруг оси и опреде- ляется проекцией углового момента на зту ось 1 (и) = — л.п. Ь (18,12) Связь между оператором проекции углового момента и кнфяавтвзнмвльвым оператором поворота вокруг этой ося можно использовать для определения операторов проекций углового момента в персстаповочпых соотношвяяй между ниии.

Пусть а — уюл поворота вокруг осв !; тогда в декартовой свствме координат оператор поворота вв угол а можно запясать в виде матрицы о о йо О соз а — з!и и О з!пп сова/ Следовательно, анфинптезнмвльный оператор поворота вокруг оов ! выра- жается мвтрвцвй ТО О О~ — о о ая,т О 1 О .Таким жв образом находим для поворотов вокруг двух другкх осей О О О, Уз= ! О О где и — единичный вектор оси вращения. Из (18,10) следует, что в свободном пространстве и в любом центрально-симметричном поле интегралом движения является проекция момента на произвольное направление. Если внешнее поле имеет аксиальную симметрию, то оператор Гамильтона инвариантен лишь по отношению к вращению вокруг аксиальной Оси симметрии и сохраняется только проекция углового момента на вго направление. Из операторов бесконечно малого поворота вокруг некоторой оси, определяемой единичным вектором и, можно составить оператор поворота вокруг той же оси на любой конечный угол интеГРАлы дВижения и услОВия симметРии 83 Используя получеиные выражения и пйавила певемножения матриц, можно вычислить перестановочные соотношения между инфинитеэимальными операторами вращения ~А тА=гз.