Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 12

Все явления природы взаимосвязаны между собой. Результат измерения за-. висит как от свойств измерительного прибора, таи и от свойств измеряемого объекта. ' Однако, исследуя квантовую систему (объект) разнообразными приборами, мы имеем возможность все более полно изучить свойства самого объекта и использовать эти свойства для практических целей. Математический аппарат квантовой механики отражает реальные свойства микрообъектов, которые проявляются в их взаимодействии между собой н манросиопическими системами. Из соотношения неопределенностей (13,7) следует, что если в некотором состоянии одна из величин х или р имеет определенное значение, то а м) описании состоянии с помощью млтгицы плотности бд вторая остается полностью неопределенной.

Однако из-за ограниченности энергии и объема системы невозможны значения ((Лр )х) = ои или ((Ьх)в) = сс. Поэтому практически нельзя реализовать состояния, в которых ((Лха)) либо ((Лря)а) равнялись бы нулю. й 14". Описание состояний с помощью матрицы плотности Если система находится в смешанном состоянии, т. е. в состоянии, которому нельзя сопоставить волновую функцию, тоэто" значит, что мы «приготавливаем» состояние, не определив максимально возможное число независимых физических величин, знание которых необходимо для полного описания с помощью волновой функции. Например, состояние неполяризованного пучка фотонов относится к смешанному состоянию, которому нельзя сопоставить волновую функцию.

Смешанное состояние можно рассматривать как некогерентную смесь чистых состояний <)><о со статистическим весом $Г(<). Здесь ИУ(1) — действительные положительные числа, удовлетворяющие, соотношению ~< Я7 (1) = 1. Словами «некогерентная смесь» при этом выражается то, что при вычисления среднего значения (Ц какой-либо физической величины Е в смешанном состоянии необходимо определить значения этой величины в чистых состояниях ч)>«>, т. е. вычислить (ь~ >у = ) <р < >К<)>К> <(т, (14,1) и полученные величины усреднить, используя статистический вес Яу(1); тогда ') <С.> = Х йУ (1) (Л<")..

(14,2) Рассмотрим теперь чистые состояния, которые определяются конечным числом собственных функций некоторого оператора. Например, поляризация света определяется двумя состояниями поляризации ф и <ра, соответствующими двум взаимно перпендикулярным линейным поляризациям или двум круговым. Состояния с определенной проекцией углового момента л, на направление оси г определяются 21+1 различными функциями <)>нь соответствующими разным значениям > я = йт. В таких случаях произвольное чистое состояние <р«> изображается линейной суперпозицией . ф<'> = ~< а<й<р, ~~,'> а' <" а<'> = 1.

(!4,3) и и ч) Здесь н ниже для иаображення квантовомеханического среднего нспсльвуется символ (" ), а статистическое усреднение изображается чертой над сиетле»ствующнм выряженная. [Гл. 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЯ МЕХАНИКИ Подставляя (14,3) в (14,1), мы убедимся, что квантовомеханическое среднее значение в этом состоянии величины 7., соответствующей оператору Е, будет находиться по правилу (1.<'[7 = ~я~ 7.,а' <па<9, где (см. э 28 и 'мат.

дополн. В) 7., 1 $„'7 <р„, <1т (14,5) — матричные элементы, определяемые собственными функциями ф и оператором Е. Теперь с помощью (14,2) находим (Ц = 2."~ 1[7 (1) ~~~< 1'.„„,а„'и[а<<). (14,6) Введем далее матрицу с матричными элементами р„,„= ~~Р~ 1Р'(1) а„'и[а<<), (!4,7) Тогда, учитывая правило умножения матриц, равенство (14,6) можно записать в виде (Ц = Х 7.„„р„.„= Х ((-р)„„, или более кратко %=8р(7р) =8р(р7-), (14,8) где знаком' «Бр» (шпур) обозначена сумма диагональных элементов матрицы, образованной произведением матрицы Ь с матричными элементами (14,6), и матрицы р с матричными элементами (14,7).

Матрица р является квадратной, обычно она называется А<Отри<[ей плотности, определяющей данное смешанное состояние. Матрица плотности впервые была введена в работах Ландау [6) и Неймана (7). Зная матрицу плотности р, можно вычислить среднее значение любой физической величины, характеризующей систему (например, состояние поляризации).

Следовательно, смешанное состояние системы может быть описано с помощью матрицы плотности р. Равенство (14,8) можно рассматривать как определение матрицы плотности. Оно позволяет путем измерения средних значений некоторых величин в смешанном состоянии найти матрицу плотности данного состояния, т. е. определить все (вообще говоря, комплексные) элементы этой матрицы. Число строк и столбцов в матрице плотности соответствует числу независимых состояний, используемых для характеристики чистого состояния в (14,3).

Это число может быть в некоторых случаях и бесконеч- З <Н ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ С ПОМОШЬЮ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ Е< ным (см. ниже). Состояние поляризации фотонов, протонов и нейтронов характеризуется двумя функциями, следова гельно, <«'= 2. В частности, при отсутствии поляризации матрица плот- «'! 0'! ности диагональна и имеет вид Р = — ( а~о 1/ Комплексная квадратная матрица с <«строчками имеет № комплексных элементов.

Однано не все эти элементы являются независимыми. Из условия действительности средних значений (14,8) следует эрмитовость матрицы плотности, т. е. (14,9) Рл'л = Рлл' Далее из условия, чтобы единичный оператор имел среднее значение, равное 1, находим условие нормировки матрицы плотности Врр=1, (14, 10) которое.получается из (14,8), если мы учтем, что при 1 = 1 матрица Е„„, =Ьлл,. Условие (14,9) сводит № комплексных элементов к № независимым действительным параметрам.

Условие (!4,10) уменьшает число независимых действительных параметров до № — 1. Итак, если в квантовой системе возможно <<< независимых чистых состояний, то определение произвольного смешанного ее состояния сводится к измерению № — 1 независимых величин, которые полностью определят матрицу плотности этого состояния. Например, состояние поляризации нейтронов (<Ч = 2) полностью определится вектором поляризации Р (три независимых параметра) (см, й 1!О). В случае чистых состояний в сумме (14,2) сохранится тольио одно слагаемое (например, <-е), тогда (Е) = (.ь~ ~) = ~ Е~, а'„«<а<<). Следовательно, матрица плотности чистых состояний Р, =а'<оаи). л'л л л" Прн учете нормировки ~<а„н<а«>=1 получаем л (Р !л л = Рлл. Это равенство является необходимым и достаточным условием чистых состояний.

Выше мы рассматривали матрицу плотности для состояний поляризации или других состояний, определяющихся конечным ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ (гл. г В общем случае эта сумма содержит более. одного слагаемого, поэтому состояние подсистемы не может описываться волновой функцией, зависящей только от координат этой подсистемы. Если Л вЂ” некоторая физическая величина, относящаяся кподсистеме х, то соответствующий ей оператор ь„действует только на переменные х.

Согласно общему правилу (7,1), среднее значение величины 7..в состоянии (14,11) определяется интегралом (Ц = ) ф ($, х) 1.„ф (5, х) г(х г1й. Подставим (14,1!) в (14,12), тогда можно написать (ь) = Хр,(з'! 7. !з>, (14, 12) (14,13) где (з'! У ! з) =— ! ф',, (х) У,„ф, (х) 0х — матричные элементы оператора Е„, т.

е. з-представление оператора Е„(см. й 28); ' р„. — = ) Ф"„й) Ф, (й д$ — матричные элементы матрицы плотности в з-представлении. Формула (14,13) совпадает с формулой (14,8). Непосред,ственно из определения (14,14) следует эрмитовость матрицы числом собственных функций некоторого оператора. В более общем случае матрица плотности характеризует произвольное состояние любой системы, являющейся частью большой системы.

Как уже указывалось раньше, вследствие взаимосвязи физических явлений, понятие изолированной системы является идеализацией. Все реальные системы являются частью больших систем, и их состояния описываются матрицей плотности. Покажем это на примере простейшего случая — изолированной системы, состоящей из двух подсистем 5 и х. Буквами 5 и х здесь и далее обозначаются полные наборы координат (включая спины) соответствующих подсистем. Полная система изолирована, и ее состояние описывается волновой функцией ф($, х).

Если подсистемы взаимодействуют между собой, то эту функцию нельзя представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая только от $. Если, например, функции ф,'(х) образуют полную Ортонормированную систему собственных функций некоторого оператора Я„, действующего на координаты подсистемы х, то ф($, х) =2~Ф,(Иф,(х). (14,1Ц З и) ОПИСАНИЕ СОСХОЯНИЯ С ПОМОЩЫО МАТРИЦЫ Плотности ЕЗ (Ц= ) р(хх')(х'! !.„!х) ахг!х', р(хх')=) ф'(х', Дф(х, 5)г(5 где (14,16) — матричные элементы матрицы плотности в координатном представлении; (х'! Е„)х)=Х„б(х' — х) — матричные элементы оператора Е„в координатном представлении (см.

$28). Подставляя (!4,!1) в (!4,!5) и учитывая '(!4,14), находим следующее выражение для матрицы плотности, характеризующей состояние малой части большой системы р (хх') = ~ р„,ф',, (х') ф, (х). (14,16) Весьма важным является применение матрицы плогносги к малой части системы, которая находится в термодйнамическом равновесии с окружающей средой (большой системой) при температуре В (в энергетических единицах). В этом случае матрица плотности или статистический оператор позволяет вычислять средние значения любых физических величин по каноническому ансамблю Гиббса.

Канонический ансамбль 'Гиббса представляет собой систему большого числа тождественных динамических подсистем с постоянным числом частиц йГ и постоянным объемом г'. Подсистемы не взаимодействуют между собой и могут находиться в различных квантовых состояниях ф,. Если ф, являются собственными функциями гамильтониана системы, т. е. (Н(х) — Е,)ф,(х) = О, то, согласно статистической механике, состояние подсистемы изображается суперпозицией состояний, соответствующих энергиям Е, с весом, пропорциональным больцмановскому множи- а-'(В, 'г', Ф)ехр~ — — '). плотности ряи = р,',, Если оператор В„имеет непрерывный спектр собственных значений, то в (14,! 1) и (14,13) надо суммы заменить интегралами.