Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 8
Текст из файла (страница 8)
1 Действительно, при ш > О 91~ (О) = ( — 1)~ ~ й + ~ ~1пж В -р — — -щ- Рг (соз В). (8, На) Г (И+!) (1 — Ж)1 1ут „дж Сферические функции для отрицательных значений т = — 1, — 2, ... ... — 1 определяютси из условия ь) У, „(В,ф) -,( —.1) У,' (В, ф). (8,15) Сферические функции (как и собственные функции других оператороа) определиютси с точностью до произвольного фазового множители, модуль которого равен 1. Например, вместо функций (8,18) иногда употребляются функции Угж (В, ф) 1~УГж (О, ф). В этом случае равенство (8,15) заменяется равенством ( 1 ) ~+жУ (8,15а) Сферические функции нормированы.
Функцнгь относюциеся к разным кван- товым числам 1 и т, ортогональны между собой. Услоийя нормировки и ортогональиости.можно записать В виде ~ У,' (О. р) У,,„,(О. В) да-б„,б„„д1) =з(пйдйд~. (8,18) При ш = В сферические фуинции сиодятся к полиномам Лежандра Р~(соз О) с помрщью соотношения уГь (О, ~р) = ~/ — РГ(сае В). Г й(+1 '4п Испрльзуи (8,18), легко убедиться, что сферачесине функции одновременно д явлиются собстиенныма функциями оператора ьа= — 15 — — проекции угдф )(Ьаого момента на ось я, так как они удовлетворвот уравнению — 15 УГж(В, гр)= Кт У (В, ф). д дф (8,17) Итак, сферичесная функции у~ (О, ~р) яилнетси собственной функцией оператора квадрата углового момента, соответствующей собственному значению ьт йт1(1+ Ц.
Одновременно зта же функция иилиется собственной функцией оператора проекции углового момента ца ось г с соб-тасиным значением ч) ЕСЛИ фуиицна УЬ „ ОнрЕдЕЛястея раВЕНСтвсм (8,15). тО фОрМупа (8,14) опрваедлнвй и при т ~ В, Такам образом, второй индекс волновой функции уьч позволяет различать состоянии, отличающиеся значениями проекции углового момента на ось ю 9 9, Свойства собственных функций операторов, имеющих дискретный спектр Пусть оператор Р имеет невырожденный дискретный спектр собственных значений Р„. Тогда собственные функции этого оператора удовлетворяют уравнению Рф.=Р.ф..
(9, 1) 3апишем уравнение, комплексно сопряженное уравнению (9,1), для квантового числа пм Р Фи=Ртфм. (9,2) Умножим уравнения (9,1) и (9,2) слева соответственно на и ф„Интегрируя затем правые и левые части новых уравнений по всей области изменения переменных и вычитая из од« ного полученного уравнения другое, находим, используя условие (7,5) самосопряженности оператора Р, (Є— Р ) ) ф'ф„(~=О.
Если т Ф п, то из этого равенства следует ортогональность соб ственных функций, относящихся к разным собственным значе- ниям, т. е. ~ф'ф. Д=о. (9,3) Физический смысл ортогональности собственных функций ф„и ф оператора Р заключается в том, что при измерении физической величины Р в этих. состояниях мы наверняка получим разные значения: Є— в состоянии ф„и Р— в состоянии ф . Итак, мы доказали, что собственные функции, относящиеся к различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны между собой.
Для всех реальных систем (т. е. систем с конечным радиусом действия сил) в состояниях с дискретным спектром энергии частица обязательно находится в ограниченной области пространства, т. е. волновые функции таких состояний должны убывать достаточно быстро к нулю вне этой области. Если бы это условие не выполнялось, то частица могла бы.
ухоДить в далекие области пространства, где отсутствуюг силы. Свободное же движение возможно с любой энергией (нет квантования). Поэтому для собственных функций дискретного спектра интеграл 1!ф„!чю, (9,4) распространенный на всю область изменения переменных, от которых зависит ф„, всегда имеет конечное значениа. Зя соаств. вэнкции опнгхтогов с дискгвтным спзктгом зэ 46 основныв понятия квхнтовоп мвххннки ~гл. ~ Следовательно, собственные функции операторов с дискретным спектром всегда можно нормировать.
Будем предполагать, что операция нормирования выполнена, тогда, учитывая (9,3), можно сказать, что совокупность собственных функций операторов, имеющих дискретный спектр, образует систему оргона ми ов ных функций, т. е. удовлетворяет условиям . ) файв=б (9,6) Вго ым замечательным свойством собственных функций операторов, имеющих дискретныи спектр, является то, что совокупность всех собственных функций образует полную (нли ю и Ф ч~д.. б аРРв-%а% Ь зависящая от е переменных и удовлетворяющая тем же граничным условиям, для которой существует ингеграл 1 ф ('йв, может быть представлена в виде ряда ф В) =Х а.1.
(й), (9,6) ..В- ~ б|' — Юф.а) В-ф.'МЪ что и доказывает (9,8). При наличии вырождения собственные функции ра Р удовлетворяют' уравнению Иы = Рафаи фяг операто- (9,10) где суммирование распространено на все значения квантового числа а. Пользуясь (9,6), легко определить способ вычисления коэффициентов разложения (9,6) а„= ) ф($) ф„(Цг(й. Третье свойство собственных функций опе атаров, имеющих дискретныи спектр,"пыриЖается равенством Хф:(К') ф.(ц=б(В' — О (9,8) где $ — совокупность всех переменных, от которых зависят функции ф„; б($' — $) — дельта-функция Дирака, свойства которой определены в мат. дополн.
Л. Доказать (9,8) можно путем разложения функции бЯ' — Ц по ортонормированной системе функций ф„(я) б ($' — в) = ~ а„(в') ф„Щ. (д 9) Это разложение является частным случаем (9,6), поэтому коэффициенты разложения определяются согласно (9,7). Следовательно, 4 М СОЕСТВ. ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ 41 Повторяя действия, аналогичные тем, которые проделывалпсь с уравнением (9,1), можно доказать, что функции, относящиеся к разным собственным значениям, будут взаимно ортогональны, т. е.
)Г Чъа й) трАА (й) т$0, если т Ф п. При этом функции ф ь т)„з, ..., ф ь соответствующие одному собственному значению Р, вообще говоря, не будут оргогональны. Однако всегда 1 независимых функций тр ~ могут быть заменены другими ) независимыми функциямн, которые будут также собственными функциями оператора г и одновременно будут взаимно орготональны.
Покажем это на примере двукратного вырождения. Пусть ф т и ф з — две нормированные собственные функции оператора Р, соответствующие собственному значению г'„. Определим две другие функции чч=ф ~ <рз=а(ф„,+Хф ), где А и а — комплексные числа. В силу линейности оператора Р функция ~р~ также будет его собственной функцией, принадлежащей тому же собственному значению. Теперь можно выбрать число А таким, чтобы выполнялось условие ортогональности ~рйрзт($ =О. Из этого условия находим — Х =~ту Магий.
Постоянная а определяется из условия нормировки. Таким способом мы получим нормированные и взаимно ортогональные собственные функции трт и йз, соответствующие собственному значению ра. Таким же образом можно ортогонализировать собственные функции при вырождении любой кратности, Будем предполагать, что такая ортогонализация произведена; тогда собственные функции и при наличии вырождения будут удовлетворять условиям ~~МЙ)ФААВ) А=б,б|А.
(9,11) Два других свойства собственных функций операторов, имею1цих дискретный спектр, можно записать в виде ф (Ц= Х а„гф„,(Ц, (9,12) м! где ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОП МЕХАНИКИ [гл. [ 42 Исключительная важность собственных значений линейных самосопряженных операторов, используемых в квантовой механике, состоит в том, что они определяют возможные значения соответствующих величин при их измерении.
Если состояние системы описывается волновой функцией, совпадающей с одной из собственных функций ф оператора Р, то в этом состоянии физическая величина Р имеег определенное значение. Поэтому при ее измерении в этом состоянии мы должны получить с достоверностью значение Р . Если же волновая функция ф не совпадает ни с одной из собственных функций ф„оператора Р, то в этом состоянии физическая величина Р не имеет определенного значения. При повторных измерениях физической величины Р в одном и том же сосгоянии ф мы будем получать различные значения Р . Повторяя многократно эти.измерения, мы сможем определить среднее значение (Р) этой величины в данном состоянии.
Это среднее значение должно совпадать со значением, полученным из соотношения (9,14) Используя свойство полноты системы собственных функций оператора У, можно представить ф в виде линейной комбинации ф =,4,'[плф.. (9,15) Подставляя (9,15) в (9,14) и используя уравнение Рфл Рл Фл и условие ортонормируемости системы функций ф„, находим (Р) = Х Р ! Р. (9, 16) Таким же образом из условия нормировки функции находим 1 = ) ф ф г$ = ~ ~ а„[г. (9,17) Равенство (9,17) называется условием полноты системы собственных функций ф„, так как оно служит критерием того, что ага система собственных функций достаточна для представления с помощью (9,15) любой другой функции, без добавления к системе какой-либо линейно независимой функции, не являющейся собственной функцией оператора Р. Равенства (9,16) и (9,!7) позволяют утверждать, что квадрат модуля коэффициента а в (9,15) определяет вероятность того, что в результате измерения физической величины Р в состоянии ф мы получим значение Р„., э кх соьстк вэнкцнн опьгхтоьов с ньпэьгывным спькпом 4з й 10.
Свойства собственных функций операторои, имеющих непрерывный спектр Исследуем свойства собственных функций фэ операторов, имеющих непрерывный спектр собственных значений. В этом случае собственные функции удовлетворяют уравнению Рфь Рть (1О, 1) Собственные функции непрерывного спектра нельзя перенумеровать числами. Они характеризуются значением самой физической величины Р в этом состоянии, поэтому можно сказать, что собственные функции зависят от Р как от паапаметпа: '"ь(ь) =ф(Р' э) Функции фэ нельзя нормирбвать обычным образом, так как интеграл ) ! Ц~„('д5 расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
