Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Именно принимается, что величина ! Ф(ь) Гг(э =4'(Ц Ф(ь) г(ь пропорциональна вероятности того, что в результате измерения Мы найдем значения координат частиц системы в интервале 5. В + г(а. Если резульгат интегрирования 1Ф1' по всем возможным значениям координат'сходигся, т.
е. если ~ 1Ф)за =1У, то, используя утверждение % 3 о том, что функции„отличаюшиеся произвольным, не 'равным нулю комплексным множителем, соответствуют одному и тому же состоянию, моМно выбрать новую волновую функцию ф'=Ф такую, чтобы выполнялось равенство ~1ф'6) Р (5=1. (4,1) Равенство (4,1) называют условием нормировки, а волновые -функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированньини функциями. Для нормированных функций ф величина ~ф~з Ы$ определяет вероятность И(« Щ значений коордкнат системы в интервале 5,,$+ ИÄ агом случае величину р(в)- д~ =1Ф(вН' называют плотностью вероятности.
Из условия нормировки (4,1) следует, что нормированная -функция определена с точностью до множителя, модуль которого равен единице,. т. е с точностью до множителя е'«, где сс — любое действительное число. Эта неоднозначность не отражается ни на каких физических результатах, так как все .физические величины, как мы увидим позднее, определяются ,выражениями, содержащими произведение ф на комплексно сопряженную функцию ф' или ее производные по вещественным .аргументам. В некоторых случаях ) 1ф'ггф=оо; тогда волновые функ,ции нельзя нормировазь условием (4,1) и р = ~ф($) 1» не будет плотностью вероятности.
Однако и в этих случаях отношение велггчин ~ф®1з для разных $ определяет относительную ве.роятность соответсгвующих значений координат. Вопрос о сно~ -собах нормировки таких функций будет рассмптрен для частного случаи в следующем параграфе, а в общем случае в 5 10. Если волновая функция при 1 = 0 имеет вид волнового па..кета (3,6), то плотность вероятности изображается функцией Гаусса р(я, 0) =! ф(г, О) ~з=ехр( — я7Гз) (4,2) -с «шириной» Г.
При 8 > 0 эта функция переходит в (3,10). Слет довательно, плотность вероятности принимает вид р(я, 1)=~1+( — ) ] ехр( — лаз(()) (4,3) .который также соответствует функции Гаусса, но уже с «шириной» Г(г)=~/Г'+~ — „",') .
(4,4) возрастающей с течением времени. Говорят, что пакет «рас плывается» с течением времени. При 1к 1о М1ч/Л расширение пакета происходит медленно. Однако при 1 ) (о ширина пакета растет пропорционально времени со скоростью ЬДрГ). Эта скорость тем больше, чем меньше масса частицы, Например, при Г = 10-з см критическое время, начиная с которого' ширина пакета возрастает линейно, для электрона равно примерно 10-м с, а для частицы с массой один грамм — около 1(гъ лет.- й 5. Свободная частица в ограниченном объеме пространства Примером волновых функций, которые нельзя нормировать условием (4,1), являются волновые функции ф(г, Г) = Аехр(1(йг — Ы)), (5,1) соотзетствующие состоянию свободного движения частицы, имеющей определеннйй импуйьс р = ЬЙ. Однако можно обеспечить нормируемость функций (5,1) путем определения всех функций внутри очень большого объема, заданного в виде куба с ребром Е.
На поверхности этого. объема волновые функции должны удовлетворять некоторым граничным условиям. При достаточно большом 1.(Е)))10 ~ см) влияние граничных условий на характер движения частицы в объеме 11 = ьи будет очень малым. Поэтому граничные условия можно выбрать в произвольном, достаточно простом виде. Наиболее часто в качестве граничных условий принимаются условия цикличности с периодом Е, т.
е. требуют, чтобы волновая функция удовлетворяла условиям ф (х, р, з) = ф (х+ Е, у, з) ф (х, у+ Г., г) = ф (х, у, а+ Е). (5,2) Будем исследовать состояния в момент времени 1 О, тогда, подставляя (5,1) в (5,2), мы убедимся, что условия цикличности удовлетворяются, если нормированные на объем Й функции (5,1) имеют внд 'Ь (к) = Й ехр(уйг), (5;3) где (5,4) и„, л„, л,— все целые положительные и отрицательные числа. Таким образом, введение граничных условий (5,2) сводится. к тому, что вектор Й'пробегает дискретный ряд дначений, определяемых условиями (5,4). При переходе к пределу Х-»- оо 'расстояние между двумя ближайшими значениями й стремится.
к нулю, и мы снова вернемся к свободному движению частицы в неограниченном пространстве. Совокупность функций (5,3), соответствующих всем возможным в соответствии с (5,4) значениям й, образует систему функций, удовлетворяющих условию ) гй, (г) ф (г) г(т = Ь (5,5) где Ьма —— Ь ° Ь ° Ь ° ", при этом символ Ь;=О, -если и'чьп и 5„„=1, если и'=и; г(т =Ихдуг(а. Функции (5,3) образуют полную систему функций, т.
е. любая волновая фуниция ф, изображающая произвольное состояние движения частицы в объеме й может быть представлена в виде линейной комбинации функций (5,3), т. е. ф(г) = ~ аафа (г). (5,6) Коэффициенты разложения аа функции ф по состояниям с определенным импульсом легко вычисляются из (5,6), если умно жить обе части этого Равенства на фа (г) и проинтегрировать по всем значениям координат в объеме ь).
Тогда, используя (5,5), находим аа — — ) ф(г)фа(т)лт. (5,7) Если функции ф(г) нормированы в объеме й, то, подставляя (5,6) в условие нормировки и используя (5,5), находим 1 = ) Ч (г) ф(гггИ= ~~!а 1. (5,8) 3 6. Вычисление средних значений координаты н импульса Покажем, что знание нормированной волновой функции ф позволяет вычислить средние значения координаты, ймпульса и других физических величин в этом состоянии. Если учесть, что плотность вероятности определенных значений радиуса-вектора выражается через функцию состояния ф: р=ф'(г)ф(г), Из (5,6) следует, что коэффициенты аа определяют долю участия состояния с определенным импульсом р = ЬЙ в общем состоянии ф(г); квадрат модуля аа определяет вероятность обнаружения у системы, находящейся в состоянии ф, значения импульса'р=- Иг, При этом равенство (5,8) можно рассматривать ;как утверждение, что сумма вероятностей всех возможных значений импульса должна равняться единице.
то, согласно теореме о математическом ожидании, среднее зна- чение (г) радиуса-вектора в этом состоянии будет определяться интегралом (г) = ( ф (г) гф (г) гГт. (6,1) Таким же образом вычисляется и среднее значение любой функ- ции радиуса-вектора (г' (г)) = ) ф' (г) г' (г) ф (г) г(т. Чтобы определить среднее значение импульса р в данном состоянии ф введем искусственные граничные условия, рассмотренные в $ б. Тогда вероятность 'значения импульса р = ая, как было показано в $5, будет определяться величиной (аз~а, где аз= ~ ф(г)гга(г)ггт.
(6,2) (Р) = й,'~~ азйам (6,3) Подставляя в это выражение значения аз из (6,2) и используя равенство йфа (г) = — г'7фз (г), непосредственгю следующее из определения функций (6,3), пре- образуем (6,3) к виду (6,4) Из-за циклических условий (5,2) значения функций ф и фз на противоположных гранях куба (.з равны, поэтому путем инте- грирования по частям получаем Используя этот результат, преобразуем (6,4) к виду Зная вероятность определенного значения импульса, находим среднее значение ймпульса по общему правилу Сумма, стоящая в фигурных скобках под знаком интеграла, равна е) ~'.~ ф» («') ф».(«) = б («' — «), (6,6) где б(г' — «) — сингулярная функция, равная нулю во всех точках г' Ф «н удовлетворяющая условию ) Р(«)6(«' — «) сгт=Р(«'). (6,6) Более подробно со свойствами сингулярной функции 6(~ — «), называемой функцией Лирака, можно ознакомиться в математическом дополнении А.
Используя (6,6) и (6,6), находим окончательную формулу, определяющую среднее значение импульса, (р) = ~ ф' («) ( — ИЧ) ф («) с(т, непосредственно через значения волновой функции, соответствующей данному' состоянию. Формула (6,7) сохраняет свой 'вид и при переходе к пределу Е- со, поэтому правило (6,7) вычисления среднего значения импульса сраведливо в общем случае неограниченного пространства. Таким же образом можно показать, что среднее значение любой степени импульса может быть вычислено по правилу Ф (р") = 1 ф'(«) ( —. »йр)" ф («) ( Эгот результат легко обобщается и на случай любой целой рациональной функции г'(р) импульса Р(р))=) $'(«)г( — (лт) ф(«)е(чн Например, среднее значение кинетической энергии частицы всо- стоянни тр будет определяться выражением ~2 г ',) т( 2 )т *) Доназательство равенства (6.5) легко получать, разлагая 6(У вЂ” г) по полной системе функций (5,3) Ь («' — г) ~~~~~ и» (г') 1р» (г) н вычисляя коэффициенты разложения Ь„р') с помнщыо (5,5) н уело.
вия (6„6). й 7. Операторы физических величин В предыдущем параграфе мы вывели правила, позволяющие вычислять средние значения в произвольных состояниях (описываемых нормированными функциями ф) функций, зависящих либо от координат, либо являющихся целыми рациональными" функциями импульсов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
