Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 11

Волновая функция определяет возможные результаты различных взаимодействий системы, находящейся в таком фиксированном состоянии с другими телами. Измерение какой-либо физической величины в системе является одним из таних взаимодействий. Измерение всегда вызывает скачок. системы в собственное состояние оператора той динамической переменной, измерение которой производилось. Результат измерения совпадает с собственным значением этого оператора. Если при многократном измерении величины Р в системе, которая перед каждым новым измерением переводится в исходное состояние, мы получаем одно значение, то мы говорим, что данная физическая величина имела определенное значение в состоянии, предшествуюшем измерению.

Если же в результате повторных измерений, проводимых в одних и тех же условиях с одним и тем же начальным состоянием, мы получаем набор различных значений одной физической величины, то это указывает, что в таком состоянии эта физическая величина не имеет определенного значения. Волновая функция такого состояния позволяет вычислить вероятности измерений. Проверка предсказаний ивантовой механики, таким образом, осуществляется многократным повторением измерения в одних и тех же условиях. Следовательно, отражая объективные закономерности отдельной системы, находящейся в определенных макроскопических условиях, квантовая механика дает выводы, которые проверяются путем повторения большого числа тождественных опытов или путем проведения одного опыта с большой совокупностью одинаковых невзаимодействуюших систем.

$13. Соотношение неопределенностей для физических величин В % 11 отмечалось, что две физичесние величины ие могут иметь одновременно определенные значения ни в одном состоянии, если их операторы не коммутируют. Покажем теперь, что знание перестановочных соотношений между двумя некоммутирующими операторами позволяет определить неравенство, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ, Г которому должны удовлетворять средние квадратичные отклонения этих величин от своих средних значений, Пусть К и Р— два самосопряженных оператора, удовлетворяющих перестановочному соотношению (К, Р) =ЕМ, (13, 1) где ЕЙ вЂ” также самосопряженный оператор.

В частном случае при К = х и Р = ф оператор ЕТЕ равен постоянной величине Е[ (й у). В произвольном состоянии ~> физические величины, соответствующие этим операторам, имеют средние значения, определяемые интегралами (К) = ) Ф"КЧ Ит, (Р) = ~ ~ РЧЕГЕТ. Введем теперь операторы ЛК = К вЂ” (К), Е1Р = Р— (Р). (!3,2) Подставляя эти выражения в (13,!), Мы убедимся, что новые операторы (13,2) удовлетворяют тому же перестановочному соотношению, т.

е. (13,6) (ЛК, ЕУР] = ЕМ. (!3,3) Рассмотрим далее вспомогательный интеграл, зависящий от произвольного действительного параметра а Е (а) = )' ! (ОЛК вЂ” ЕОР) ср('юЕТ~»О. (13,4) л л Пользуясь свойством самосопряжеиности операторов ЛК и ЕАР, преобразуем этот интеграл к виду Е (а) = )Г $' (а ЬК + Е ЬР) (а ЛК вЂ” Е ЬР) Ч~ [Ет ) О. Перемножая выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла и используя перестановочное соотношение (13, 3), находим (а ЛК + ЕЕ!Р) (а ЛК вЂ” Е ЛР) = а'(ЬК)'+ ОМ + (ЛР)з. Теперь, используя определение .средних значений, преобразуем интеграл к виду (ДК),)(,+ <Ю 1'+((Е!Р) ) „(,~~;,, »О.

(13,6) Чтобы неравенство (13,5) выполнялось при произвольных значениях параметра а, необходимо выполнение неравенства ))~ 4( т!э1 сООтношение неопгеделенноствн для Физич. Величин еч которое называют соотношением неопределенностей для физических величин Р и К. В частности, при К = х и Р = ))„получаем хорошо известное соотношение неопределенностей Гайзенберга (1927 г.) ((йр„) ) ((Ьх)а) ~~ ~ . (13,7) Из (13,7) следует, что если в некотором состоянии импульс имеет определенное значение (((сар )а) = О), то координата х в этом состоянии совершенно неопределенна (((Лх)а)=оо); наоборот, если точно определена координата, то полностью неопределен импульс.

Согласно неравенству (13,7), микрочастица не может находиться в состоянии строгого покоя, который характеризуется значениями Ьх = Ьр = О. Возможны состояния, в которых обе величины не являются определенными (волновой пакет), и тогда неопределенности значений этих величин будут связаны неравенством (13, 7). Соотношение неопределенностей часто используют для оценки фреднего значения кинетической энергии частицы, которая движется в некотором ограниченном объеме пространства.. В этом случае можно положить (х)=(р)=0; тогда ((Ьх)а)= =(хт), ((Ьр)а)=(рт). Если а — линейный размер объема, то (,а) «а (Е )= — = —.

кнн — Ем Емаа ° При выводе '(13,6) предполагалось, что самосопряженные операторы Р и К определены на одном и том же множестве функпий (см. ~ 7). Если не учитывать это важное обстоятельство, то можно, на- и пример, прийти к неправильному утверждению о том, что связь неопределенностей -Хп Уп 1а азимутального угла ф и проекции углового момента Ь, определяется из формального равенства (ф, Еа) = 1л.

В Ряс. а. пеаяаанееская аааеная гсременнаа. действительности в этом равенстве ф не является оператором, сопряженным Е,. Оператор Е, является самосопряженным оператором только на множестве функций ф(ф), периодических с периодом 2п. Азимутальная пе- ременная ф не является оператором на этом множестве функций, так как функции фф(ф) не принадлежат этому множеству. Оператор, канонически сопряженный Ь„должен быть перио- дической функцией ф. В качестве такой функции можно выбрать ООЙОВные понятия кВАнтОВОЙ мехАники (гл.

! разрывную периодическую фазовую переменную СР(ф), изображенную на рис. 2. Как показано в работах [2,3), в этом случае Тогда если определить, согласно Лжадж [4), неопределенность азимутального угла равенством Ям'>- ~ ( [~че(ф~-е)~' ь). то имеет место соотношение неопределенностей (Р)-.)9((йф)') ~ — ",' ~1 — —.', ((бфй~', (13,8) из которого, прн ((!т!.,)В) - О, следует ((!Аф) з)- а/у' 3, что соответствует равномерному распределению азимутального угла.

При ((Лф)з) ~ нз условие периодичности несущественно и (13,8) сводится к неравенству ((М- )з) ((Лф) ) ~) йз/4, если ((!Хф)з) 4: и'. В работе Каррузерса и Нито [5) в качестве оператора предлагается выбрать з)п ф или соз ф. В этом случае из коммутационных соотношений [з1пф, 2 ) =гйсозф, [созф, 1 )= — Из!п!р следуют неравенства ((дй,)') ((~ з)пф)') ~ >4 ((соз ф)з), ((Ы„)з) ((Ь соз ф)з) ~ )— ((зш ф)з). В общем случае, зная перестановочные соотношения между операторами любых двух физических величин, можно с помощью (13,6) получить соответствующее соотношение неопределенностей для этих величин.

Неравенство (13, 6) должно выполняться в произвольном состоянии для двух величин, операторы которых' не коммутируют. Определим теперь те состояния, в которых это неравенство заменяется равенством. Полагая в (13,4) . (М) 2 ((ЬК)~) $!й сООтнОшение исопееделенностей для Фнзич. Величин ху и учитывая (13,5), имеем ~~(, +1ЛР)ф~ йт — ((ЬР) > —, ~)0.

(13,9) Из (13,9) следует, что знак равенства в (13,6) будет иметь место в состояниях ф, удовлетворяющих уравнению (13,10) Рассмотрим явный вид этого уравнения для случая координаты х и проекции импульса р„. В этом случае ЬК = х — хм д М = Л, ЛР = — (й — — рм Следовательно, уравнение (13, 10) переходит в дифференциальное уравнение Оно имеет решение ф()=~"((".~- -Р~-4ч((ах),)+ Й ~. (.

) В состоянии, описываемом функцией (13, 11), произведение неопределенностей имеет наименьшее значение, т. е. ((йх)'>((А )з>=йз74 В классической физике предполагается, что в любом состоянии в каждый данный момент частица имеет определенные значения координаты х и импульса р„. Мы видим, что в квантовой механике такое утверждение оказывается неправильным. Классические понятия координаты и импульса имеют ограниченную применимость к объектам микромира. Соотношение неопределенностей (13,7) указывает на пределы применимости этих понятий. Оказывается, что используемое в нлассичесной физике определение импульса как величины ат р = р,а неприменимо к атомным и ядерным объектам.

Понятие имлульса в квантовой механике относится в целом ко всему состоянию движении частицы. Поэтому импульс частицы не является функцией координат. С' помощью квантовой механики мы можем'вычислить среднее значение импульса в любом со стоянии движения или вероятйость некоторого значения импульса в данном состоянии движения. Измеряется импульс в нвантовых системах путем измерения кинетической энергии движения частицы или путем исследования дифраиционной ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ.

1 картины, образуемой при прохождении потока частиц через периодические структуры. Итак, с точки зрения квантовой механики используемое в классической физике понятие импульса частицы в определенном месте пространства столь же ограничено, каи и понятие частоты периодического процесса в данный момент времени. Вследствие малости постоянной а соотношение неопределенностей (!3,7) существенно только для минросистем. В гл.

1П мы увидим, что при некоторых условиях (квазиклассичесиое приближение) квантовомеханическое описание сравнительно мало отличается от классического, и можно приближенно говорить об импульсе как функции координат. В классической физике х и р„называют канонически сопрязкенными оеличинами. Операторы квантовой механики, соогветствующие канонически сопряженным величинам классической механики, не коммутируюг между собой. Согласно Н. Бору, каждая физическая величина вместе со своей канонически сопряженной образует пару дополнительных величин (например, х и р„).

При этом в любом состоянии квантовых систем из каждой пары таких величин определенное значение может иметь только одна из них, либо обе не имеют определенного значения. В связи с этим утверждается, что описание состояния в квантовой механике распадается на' два взаимно исключающих класса, Которые являются дополнительными друг к другу атом смысле, что их совокупность могла бы дать в классическом понимании полное описание состояния системы (аринина дополнительности Бора (1928 г.)).

Принцип дополнительности некоторыми физиками отождествляется с идеалистическими толкованиями квантовой механики. Согласно идеалистической концепции принцип дополнительности отражает не объективные свойства микросистем, а определяется условиями измерения. При этом, преувеличивая роль измерительного прибора, некоторые доходят до утверждения, что без прибора нет и объекта. Конечно, измерение физических величин в определенном сосгоянии нарушает это состояние.