Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 10

е. Щ„=М ф„, тогда, действуя слева на это уравнение оператором Р и используя (11,3), находим М (Рту„) = М„(Рф„). Из последнего равенства следует, что функция Рту„является собственной функцией оператора Я, соответствующей собственному значению М„. Так как собственные значения функции оператора )и( по условию не вырождены, то функция Рф„может отличаться от собственной функции ф„этого оператора только числовым множителем.

Если обозначить этот множитель через Р, то должно выполняться равенство Ртр„= Р„тр„, которое и указывает, что функции тр„ являются собственными функциями оператора Р. Если операторы имеют вырожденные собственные значения, то .собственные функции фяа оператора )(), вообще говоря, не будут собственными функциями коммутирующего с ним оператора Р. Однако можно показать, что и в этом случае можно ВСЕГДа ИЗ фУНКЦИй туяя СОСтаВИтЬ таКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ КОМбИНаЦИИ Фит —— ~~'.~ аытрял, кот ые будут собственными функциями оператора Р. Если в состоянии ф несколько физических величин имеют определенное значение, то одновременное измерение всех этих величин является совместным.

Другими словами, одновременное измерение физических величин, соответствующих коммутирующим операторам, не приводит к взаимным помехам.~ $12. Методы определения состояний квантовых систем В предыдущих параграфах мы отмечали, что состояние квантовой системы определяется вспомогато«тьной величиной — волновой функцией (или вектором состояния) ф. Основным постулатом квантовой механики является утверждение, что задаи)(е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ~гл, ! волновой функции полностью определяет все свойства системы .в данном состоянии. Перейдем теперь к исследованию вопроса о том, каким же образом можно определить волновую функцию, соответствующую данному состоянию. В классической физике состояние системы полностью определено заданием всех значений независимых физических величин, число которых равно удвоенному числу степеней свободы системы.

Например, состояние движения одной частицы в каждый момент времени определяется указанием шести величин: трех координат радиуса-вектора и трех компонент импульса. Состояние системы, состоящей из Ф частиц, определяется заданием 6Ф величин. Как мы видели в предыдущем параграфе, в квантовых системах не все физические величины могут иметь одновременно определенное значение. Например, в любом состоянии х и р„не могут иметь определенных значений одновременно, так как операторы этих величин не коммутируют между собой.

Поэтому в квантовой механике состояние системы, находящейся в определенных внешних условиях, зависящих от макроскопических параметров (объем, внешние поля и др.), характеризуется значениями независимых физических величин, которые могут иметь одновременно определенное значение. Другими словами, в квантовой механикб состояние системы определяется значениями независимых физических величин, операторы которых взаимно коммутнруют. Так, состояние свободного движения можно определить несколькими способами. Простейшими из них являются: а) задание трех компонент импульса р, рз, р;, в этом состоянии будет иметь определенное значение и энергия системы, но ее значение зависит от ймпульса, так как Е = р9(2р); б) задание энергии частицы, квадрата углового момента и проекции углового момента на некоторое направление (см. $ 35).

Число независимых физических величин, определяющих в квантовой механике состояние системы, называется числом степеней свободы системы. В общем случае число степеней свободы квантовых объектов определяется опытом. В некоторых квантовых системах число степеней свободы совпадает с числом степеней свободы соответствующей классической системы. Если известны значения всех независимых физических величин, имеющих определенное значение в данном состоянии, то волновая функция этого состояния должна быть собственной функцией всех операторов, соответствующих этим физическим величинам. Например, если мы с помощью ускорителя сообщим частице импульс (т, то состояние свободного движения этой $ НЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОСТОЯНИЙ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ 51 частицы будет описываться плоской волной фр(г) =(2пй)-Ч ехр(1 ф, так как функция фр(г) является собственной функцией оператора импульса, соответствующей собственному значению р.

Если мы установили, что в некотором состоянии движения частицы ее угловой момент равен й =л)~1(1+ 1), а проекция углового мо. мента 1., = Егл, то зависимость волновой функции от углов 0 и ~р будет выражаться с помощью сферической функции Уь (0<р), зависимость от г определяется значением энергии в данном состоянии. В гл. Ч1 мы познакомимся с конкретными примерами определения таких волновых функций.

Следует отметить, что состояния фж, имеющие определенные (Р') значения физической величины Р, соответствующей оператору с непрерывным спектром, не могут быть точно осуществлены. Практически можно лишь добиться того, чтобы система находилась в состоянии, в котором значения Р лежат достаточно близко к Р'. Таким образом, состояния, относящиеся к строго заданному собственному значению в непрерывном спектре, являются математической идеализацией. Эта идеализация ведьма полезна, так как она значительно упрощает вычисления, однако в некоторых случаях (например, в строгой теории рассеяния) приходится от такой идеализации отказываться или прибегать к дополнительным гипотезам (адиабатическое включение и выключение взаимодействия в теории рассеяния).

Возможно, что ненормируемость собственных функций операторов, имеющих непрерывный спектр, связана с неосуществимостью соответствующих состояний. Практически можно осуществить только состояния, в которых значение Р лежит в некотором интервале Р, Р+ЬР. Такие состояния описываются волновыми пакетами типа (10,7), которые можно нормировать.

Выбор независимых физических величин, используемых для определения состояния квантовой системы, зависит от свойств данной системы и ее состояния. К каждому набору независимых величин (используемых для определения состояния) будут относиться свои волновые функции, зависящие от соответствующих переменных. В качестве независимых переменных волновых функций могут быть выбраны координаты х, у, г либо импульсы Р, рр.

Р„либо другие наборы физических величин. Возможность описания состояний с помощью различного вида волновых функций будет исследована в гл. 1Ъ'. Теперь же будем использовать для описания состояния квантовой системы только ОСИОВНЫЕ ПОИЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Пгл. 1 функции, зависящие от координат (коорд натное представление) . В ряде случаев состояние квантовой системы может быть таким, что не имеют определенного значения все или некоторая часть независимых физических величин, необходимых для определения состояния. Таково, например, состояние свободного движения частицы, описываемое волновой функцией в виде вол'- нового пакета (3,2).

В этом состоянии р. = р„=О, однако р, не имеет определенного значения. В общем случае волновые функции таких состояний могут быть представлены в виде суперпозиции собственных функций некоторых операторов а„ф„+ ) арф,. др. л (12,1) Если состояние системы определяется только тремя степенями свободы, то волновая функция будет зависеть только от радиуса-вектора г. В этом случае волновая функция может быть определена через измерения плотности вероятности в каждой точке пространства с точностью до фазового множителя, модуль которого равен единице. Действительно, поскольку р(г)=) ф(г) )з, то ф(г) е~лм~/р(г) где а(г) — произвольная действительная функция г. Состояния квантовой системы, описываемые волновой функцией, называются чистыми состояниями.

Они соответствуют максимально полным сведениям о квантовой системе. Наконец, в квантовой механике возможны и такие состояния, которым нельзя сопоставить никакой волновой функции. Примером таких состояний могут быть состояния, задаваемые набором чисел )а„)з и )ае)з, т. е. вероятностями состояний с определенными значениями .соответствующих физических величин Р. В этом случае нельзя построить функции ф по типу (12,1), так как знание квадратов модулей коэффициентов~а„и ае не дает фазовых соотношений между различными собственными функциями фл, которые существенны в определении функции (12,1).

Состояния, которым нельзя сопоставить волновую функцию, называют смешанныли состояниями. В $ !4 мы рассмотрим способы исследования смешанных состояний, базирующихся на введении матрицы плотности, которая позволяет вычислять средние значения и Вероятности различных значений физических величин, характеризующих систему. В этой книге мы будем исследовать главным образом чистые состояния, т. е. состояния, ко- Э Щ СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕП для Фиэич, ВЕЛИЧИН 53 торые описываются волновыми функциями, поэтому для краткости будем называть их просто состояниями система.

Итак, состояния квантовых систем фиксируются определенными внешними условиями, зависящими от макроскопнческих параметров (внешние поля). Например, состояние свободною движения электрона с определенным значением импульса осуществляется в вакуумной трубке путем предварительного ускорения его электрическим полем. Каждому состоянию системы сопоставляется волновая функция. Вид волновой функции зависит от величин, имеющих определенное значение в данном состоянии.