Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 16

Два других соотношения получаются из этого круговой перестановкой ин- Ю дексов. Поскольку гг — ьг, то из найденных перестановочных соотно- Ь шений для б следуют перестанавочные соотношения для пвоекций оператора углового момента С,С.з — Г.тЕ, = Гэром Пользуясь связью (18,!2), можно определить и оператор внутреннего углового момента (оператор спина), не имеющий аналога в классической физике, т. е. оператор, который не сводится к функции, зависящей от операторов координаты и импульса (см. ~ 62). Рассмотренные выше преобразования трансляций и поворотов относятся к классу непрерывных преобразований, так как они могут осуществляться пугем многократного повторения бесконечно малых преобразований.

Инвариантность оператора Гамильтона по отношению к этим преобразованиям приводит к законам сохранения импульса и углового момента, которые соответствуют законам сохранения классической механики. Наряду с непрерывными преобразованиями условия симметрии могут приводить к дискретным преобразованиям, не сводящимся к бесконечно малым.

В классической механике инвариантность по отношению к таким преобразованиям не приводит к законам сохранения. В квантовой механике отсутствует принципиальное различие между непрерывными и дискретными преобразованиями, поэтому в квантовой механике законы сохранения следуют и из инвариангности по отношению к дискретным преобразованиям. Рассмотрим одно из дискретных преобразований, относительно которых оператор Гамильтона остается инвариантным, так называемое преобразование инверсии.

Преобразованием инверсии, точнее, пространственной инверсии (или пространсгвеиного отражения) называется одновременное изменение знака всех трех пространственных координат частицы н — — х, ум — у, г ь — г. При преобразовании инверсии 'правая система координат переходит в левую систему координат. Оператор Гамильтона любой замкнутой системы, в которой действуют ядерные и электромагнитные силы, инвариентен по отношению к преобразованию инверсии. Эта же инвариангность (симметрия относительно правой и левой системы координат) сохраняется и для систем, находящихся в центрально- В4 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИИ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ (ГЛ. Н симметричном внешнем поле, если центр инверсии выбирается в центре поля.

Обозначим оператор пространственной инверсии буквой Р, тогда симметрия между правым и левым будет математически выражаться коммутацией оператора Р с оператором Гамильтона, т. е. РН = НР. По определению оператора инверсии его действие на функцию ф(«) сводится к преобразованию (18,13), т.

'е. ф ( — «) = Рф («). Определим собственные значения оператора инверсии. Для этого надо решить уравнение РФ («) = Рф («). (18, 14) Применяя и обеим частям уравнения (18,14) оператор инверсии и учтя, что двукратное применение оператора инверсии сводится к тождественному преобразованию, получим ф («) = Ртф («). Из условия Рз = 1 следует Р = ~1. Итак, (18,14) можно записать в виде Рф («) = ч= ()) («).

(18,15) Согласно (18,15), волновые функции состояний с определенным собственным значением оператора Р можно разделить на два класса: а) функции, остающиеся неизменными при действии оператора инверсии, РЦ(+«= ф(+),' соответствующие им состояния называются четными состояниями; б) функции, меняющие знак при действии оператора инверсии, Рф( ) = — ф( )' соответствующие им состояния называются нечетными состояниями. Вследствие коммутации оператора инверсии с оператором Гамильтона четность состояния является интегралом движения.

Таким образом, инвариантность оператора Гамильтона по огношению и преобразованию инверсии приводит к установлению закона сохранения четности. Закон сохранения четности с большой степенью точности выполняется во всех явлениях, которые определяются ядерными твовия ггупп и квантовхя мнххннкх 85 и электромагнитными взаимодействиями. До 1956 г. считали, что этот закон является всеобщим законом природы. Однако в 1956 г. (Ли, Янг, Ву) было установлено, что в явлении 5-распада атомных ядер, распада р-, п- и К-мезонов и гиперонов обнаруживается асимметрия, которая позволяет сделать выбор между правым и левым, Эти явления указывают, что при слабых взаимодействиях, которые определяют указанные выше явления распада, нарушается симметрия между правым и левым (нарушается инвариантность по отношению к операции пространственной инверсии) и, следовательно, нарушается закон сохранения четности.

В этой книге мы будем рассматривать только явления, в которых имеет место право-левая симметрия. 9 19*. Теория групп и квантовая механика где ~ч;', ! А„„(й.~) ~ = 1. а (19,5) Рассмотрим уравнение Шредингера Нф„ч„= Е„ф„ч, (19,1) определяющее энергию стационарных состояний некоторой системы. Здесь ф — ортонормированные собственные функции оператора Н, соответствующие энергии Е~. Уравнение Шредингера (19,1) допускает точные решения только в некоторых простых случаях (см.

гл. 1Ъ' и У1), в осталь. ных случаях прибегают к приближенным методам решения, которые мы рассмотрим в гл. ЧП. Однако ряд важных свойств квантовых систем, зависящих от их симметрии, может быть найден без непосредственного решения уравнения (19,1). Эти свойства легко установить путем использования раздела математики, носящего название теории групп (см.

мат. дополн. Д). Пусть à — группа некоторых преобразований симметрии (вращения, переносы, отражения и т. д.), относительно которых оператор Гамильтона системы остается инвариантным, т. е. если а~ — любой из элементов группы, то й,Н= Нам (19,2) Подвергнем обе стороны (19,1) преобразованию яь тогда, используя (19,2), имеем НЫЛ ) =Е (а1$ ). (19,5) Из (19,3) следует, что (дпр ) является решением уравнения (19,1), соответствующим собственному значению Е . Эту функцию можно разложить по собственным функциям ф„„ аМ =Хф зАз (ад, ' (194) з еа изменение кехнтовых сОстОяний с течением Вгемени [гл.

и Совокупность коэффициентов 4аа(ц1) образует квадрагную матрицу А(ц1) Условие (19,5) указывает, что эта матрица унитарна. Если да и лз — другие элементы группы Г, такими же рассуждениями получим Маа Х фаз"4з'а(йт)* ЕЗ'Рпа- ~~',1 фаа. Ка(ЕЗ). Ф" Предположим, далее, что аз азац (19,8) тогда, применяя дз к обеим частям равенства (19,4) и используя (19,6), находим йФ 'Р. $ '"аа-'4З"З(йт) Л (~1). (19,9) Сравнивая (19,7) и (19,9), имеем Л„а(аз) — Х Л„.„(а,) Лаа(й1).

(19,10) Последнее равенство можно записать как произведение матриц А (йз) А (йз) А (й). (19,10а) (19,1) Таким же образом можно убедиться, что совокупность матриц А(д1), найденная по методу (19,4) для всех элементов группы Г, образует представление группы Г, соответствующее уровню энергии Е„.

Размерность этого представления равна кратности вырождения уровня Е . При этом принято говорить, что система собственных функций ф „образует базис для соответствующего представления группы Г. Представление А(д), создаваемое собственными функциями, соответствующими одному уровню энергии, обязательно является неприводимым. В противном случае совокупность собственных функций ф „, соответствующих одному значению Е, можно было бы разбить на две или более частей, таких, что'каждая из функций одной части выражалась бы линейной комбинацией типа (19,4) для всех элементов группы только через функции, относящиеся к данной части собственных функций.

Отмеченная выше связь между собственными функциями состояний с определенной энергией и неприводимыми представлениями группы операций симметрии имеет большое значение для характеристики состояний системы. Зная неприводимые представления, мы тем самым знаем, какие кратности вырождения возможны в этой системе. Далее, энергетические состояния системы можно классифицировать указанием неприводимых пред- ТЕОРИЯ ГРУПП И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА з !В) 87 ставлений, которые им соответствуют. При этом, не решая уравнения Шредингера, мы будем знать' законы преобразования волновых функций соответствующих состояний. Поясним сказанное простыми примерами. Предположим, что наша система имеет.

симметрию, которая характеризуется группой Сз„(таковы, например, молекулы НУО, НАЬ, ЬОз и др.). Это абелева группа, имеющая всего четыре элемента симметрии: тождественный (единичный) элемент е, ось симметрии второго порядка (поворот йа 180') Сз и две перпендикулярные плоскости симметрии о„о„, проходящие через ось симметрии. Эта группа имеет четыре класса и, следовательно, четыре неприводимых представления. Представления группьь Сз, одномерны, поэтому они совпадают с характерами. В табл. 2 указаны характеры всех четырех неприводимых представлений, Таблица 2 которые обозначены соответ- Хараатеры группы симметрии Сза ственно буквами А, Вь Вз, Вз.

Поскольку все иеприводимые представления группы .Сз, одномерны, то Все энергетические состояния системы не могут иметь вырождения-. По свойствам сим- метрии волновые функции этих состояний делятся на четыре типа в соответствии с четырьмя неприводимыми представлениями. Часть состояний относится к неприводимому представлению А. Волновые функции этих состояний, как показывает табл.

2, не меняются при применении любых операций симметрии группы. Эти состояния принято называть полносимметрачными состояниями К полносимметричному обычно относится состояние, соответстцующее наименьшей энергии системы (основное состояние). Другая часть состояний будет относиться к неприводимому представлению Вь Волновые функции этих состояний меняют знак при применении операций симметрии Сз и а,.