Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 17

Возможны еще только два типа состояний, которые должны относиться к представлениям Вз или Вз. Предположим, что система имеет симметрию, характеризуемую группой Сз„. Такую симметрию имеют, например, молекулы ИНз, СНАС( и некоторые другие. Группа Сза имеет шесть элементов симметрии, которые подразделяются на три класса: класс, содержащий один тождественный элемент е, класс двух поворотов.

вокруг осей третьего порядка Сз и, наконец, класс отражений в трех плоскостях симметрии. Группа Сз„ имеет три неприводимых представления. Характеры неприводиз1ы» 83 изменение кВАнтОВым состояний с течением ВРемени 1гл. и тов. Поскольку вращения вокруг аксиальной оси возможны в двух направлениях ~ ф, то имеются два элемента в каждом классе, соответствующие повороту на угол ф или — ф. Характеры неприводимых представлений группы 'С „указаны в табл. 4. Из таблицы характеров А В Е~ Ег 1 1 2совф 2 сов 2ф 1 — 1 О О 2 соелф О следует, что в системе, обладающей группой симметрии С „, возможны два типа невырожденных состояний. Волновые функции состояний, соответствующих неприводнмому представлению А, являются полностью симметричными; волновые функции состояний неприводимого представления В меняют знак при операции отражения в плоскости, проходящей через ось.

Все остальные состояния двукратно вырождены, так как должны относиться к двумерным представлениям Е1, Ев ... представлений группы С,„указаны в табл. 3. Два неприводимых представления А и В группы Са„первого порядка, поэтому они соответствуют невырожденным состояниям системы. Третий возможный тип состояний в такой системе относится к двумерному представлению Е, поэтому соответствующие состояния будут обязательно двукратно вырожденными.

Никакие другие типы состоя- характеры иеприведниык ний невозможны в этой системе. представлений ТРУппы ~ае Например, нет трехкратно вырож- денных состояний, если не учитысее ' тсе е'е вать так называемого случайного вырождения, обусловленного особым характером потенциальной энергии 1см. 22 25 и О7). Е 2 — 1 О В качестве третьего примера рассмотрим систему с аксиальной осью симметрии. Если при этом система не обладает центром симметрии, то ее группой симметрии будет С „. Элементами симметрии этой группы, кроме единичного элемента е, являются всевозможные повороты вокруг аксиальной оси С на произвольной угол ф и отражения ое в любой плоскости, проходящей через ось. В группе С, все плоскости симметрии эквивалентны, та олин а 4 поэтому все отражения а, Характеры иеприведииык составляют один класс с не- представлений группы С прерывным рядом элемен- 4 ЯЩ ИЗМЕНЕНИЕ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ ВЭ Пользуясь теорией групп, легко установить правила полного или частичного снятия вырождения состояний в системе при изменении ее симметрии под влиянием внешнего поля.

Теория групп позволяет сделать некоторые заключения о вероятностях переходов систем из одних состояний в другие. Эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем. й 20*. Изменение с течением времени состояний, описываемых матрицей плотности В 5 14 было указано, что в некоторых случаях состояние системы не может быть описано волновой функцией, и была введена матрица плотности р, позволяющая вычислять средние значения любой физической величины, характеризующей систему.

Исследуем теперь, как будет меняться матрица плотности с течением времени. Согласно (14,7), элементы матрицы плотности определяются равенством Тогда, умножая полученное уравнение на ф' ($) и интегрируя по области изменения переменных $, находим да~'~ 1л — = ~~( ~Н! )~~>, л (20,3) где (лз!Н !Л) =— ~ ф„'й) Нф„(0 сВ. (20,4) Подставляя (20,3) в (2К2) и учитывая (20,1) и эрмитовость матрицы (20,4), находим 13 д Рл.л=,)~~[(л 1Н!1)Рс Р сй Н !Л)1 (20,5) р„,„(1) = ~~.", )Р (1) а„*ш Я аа) (1). (20,1) Из (20,1) следует, что д ( да,',Ш даф 1 — „р,(1)=Хй (Ц а" о„'9+'„и —."! (20,2) 8 да~~ Для определения производных —" подставим Ч™ ~ Х пЯ) ф„(В) в уравнение Шредингера д~(л И вЂ” = НЧ~<п.

д1 ВВ изменение кВАнтОВых сОстОяний с течением ВРемени [гл. и Используя матричные обозначения, это уравнение можно записать в виде сб — = 77р - рЕ. да дС (20,6) Матричное уравнение (20, 6) позволяет определять матрицу плотности для любого момента времени, если она известна в какой-либо начальный момент времени. Уравнение (20,6) иногда называют квантовым уравнением Лиувилля, так как оно соответствует уравнению Лиувнлля для классической функции распределения в статистической физике. Если гамильтониан не зависит явно от времени, то из (20, 6) следует р (1) — е-снсспр (0) еснссп (20,7) Если функции ф, относительно которых определены коэффициенты а в (20,1), являются собственными функциями оператора Н, то матричные элементы (20,4) имеют особенно простой внд (НТ ~ О [Н) = Епд, (20,8) где ń— собственные значения энергии системы. Подставляя (20,8) в (20,5), находим для этого случая дРп.п (С) И дС =.(Еп Еп) Рп и (1) Уравнение (20,9) может быть легко проинтегрирована.

Если в момент 1 = 0 элементы матрицы плотности равны рп,„(0), то р„,„Я = рп,п (О) ехр ~ с" (ń— Е„) — )~ Таким образом, элементы матрицы плотности с течением времени изменяются по гармоническому закону. Частота колебаний определяется разностью энергий состояний л и л', относительно которых вычисляется элемент матрицы плотности. Г Л А В А 111 связь квлнтовои мехлники с кллссическои мехлн икой й 21. Нредехьный переход от квантовой механики к классической киях импульса ях, уравнение ого уравнения «ь«й переход от акой предельволновой опспользовалась оной механики. а от квантовой дставив волно- (21,1) В б 17 уже отмечалось, что при больших значе частицы, движущейся в достаточно плавных пол движения частицы мало отличается от классическ Ньютона.

Исследуем теперь более полно пределы квантовой механики к классической механике. Т ный переход формально аналогичен переходу от тики к оптике геометрической. Эта аналогия и в первых работах, приведших к построению квант Наиболее просто условия предельного переход а«еханики к классической можно исследовать, пре вую функцию в виде ф (г, 1) = ехр ~ — „3 (г, 1) ~.

Подставляя (21,1) в волновое уравнение Шредингера, описывающее движение частицы массы р в потенциальном поле с знергией 0(г), находим уравнение — — = — + 0(г) — — Ро дд (««8)' гй д«2и 2и (21 2) определяющее комплексную функцию Я(г, 1). Если бы можно было отбросить последнее слагаемое в правой части точного квантовомеханического уравнения (21«2), то мы получили бы известное из классической механики (81 уравнение Гамильтона — Якоби: (21,3) д« гн Уравнение (21, 3) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от действительной функции действия, определяемой через функцию Лагранжа (Ь) С помощью интеграла 93 сВязь кВАнтОВОЙ мехАники с кллссическОЙ мехАникоп [гл. ш Траектория движения частицы в классической механике нор- мальна к поверхностям равных значений функции действия. Это непосредственно видно из того, что импульс частицы опреде- ляется соотношением ф(г, 1) =гр (г) ехр( — 1 — „).

Поэтому для стационарных состояний в (21,1) можно в функции Я(г,1) выделить в явном виде зависимость от времени, т. е. положить (21,4) Я(г, 1)=О(г) — Ей При этом уравнение (21,2) переходит в уравнение (т гр гэт'О. — +(У (г) — Š— — = О. еи 2В (21,5) Переход от квантовой механики к классической состоит в замене уравнения (21,5) уравнением классической механики — + У(г) — Е=О (7ОО)т 2В длЯ фУнкции Ом зависащей только от кооРдинат и свЯзанной с импульсом частицы соотношением Р = дгаг1 Оа (21,7) Замена уравнения (21, 5) уравнением (21, б) возможна, если (7ао)' )) й! 1РОо ~.

(21,8) Таким образом, неравенство (21,8) можно рассматривать как условие, при котором квантовая механика переходит в классическую. р=йгад Яо. Сравнивая (21,2) с уравнением (21,3), мы видим, что переход от квантового уравнения к классическому соответствует формальному переходу к пределу Э-~О, подобно переходу от релятивистской механики к нерелятивистской при с- Оо. Поскольку а — величина постоянная, то такой предельный переход следует понимать условно.

Он оправдывается только тогда, когда в уравнении (21,2) члены, содержащие а, малы по сравнению с остальными членами уравнения. Чтобы упростить исследование условий возможности классического описания квантовых систем, рассмотрим стационарные состояния. В стационарных состояниях энергия системы имеет определенное значение, и зависимость волновой функции от времени целиком определяется этим значением: КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Неравенству (21,10) можно придать и другую форму рз» ид~ — "„ (21;11) если учесть, что р= ~Г21« (Š— 0).

Из (21, 11) следует, что классическое рассмотрение квантовомеханических систем приближенно оправдывается при движении частиц с большими импульоами в потенциальном поле с малыми градиентами. Если неравенство (21,11) выполняется, то можно развить приближенный метод решвния квантовомеханических задач, основанный на введении поправок в классическое описание. Этот метод получил название квааиклассического приближения, или метода 4авовь«к интегралов.

Иногда этот метод называют приближением Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (метод ВКБ). 2 22. Квазиклассическое приближение Каазиклассическое приближение состоит в приближенном методе решения квантового уравнения (21, 5) для функции в(г), определяющей волновую функцию стационарных состояний с помощью соотношения ф(г)=ехр( — „в(г)).

(22, 1) Решение уравнения (21,5) записывается в виде формального разложения О = во+ —. о; + ( —,. ) и, + ... (22,2) Ь Ь з Учитывая (21, 7), можно переписать неравенство (21«8) в 'виде рз ',~ л ~ Ич р !. (21,9) В частном случае одномерного движения неравенство (21,9) можно преобразовать к виду 1» Ч Ь! ~ дЛ Р«2л дк ' (21,10) х «В или Х» — —, т. е.