Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 4

Например, в электронной трубке, при прохождении разности. потенциалов У, электрон приобретает .импульс р =' )/2реК, где е — заряд электрона. Как уже указывалось во введении, опыты Дэвиссона и Джермера и др. показывают, что при взаимодействии потока *) Возможны, однако, и такие состояния, которые ие описывакмся волновыми функииямж В атом соучае, который мы рассмотрим а $14, состояние можно описать митричей плотности.

электронов (сиоль угодно малой интенсивности) с периодической структурой (иристаллы, фольга) устройство, регистрирующее распределение электронов в пространстве (фотопластиниа, счетчик и т. д.), обнаруживает пространственное распределение, соответствуюшее дифраиционной картине для волнового процесса с определенным значением длины волны (2„)) й Р Используя этот экспериментальный факт и предполагая, что установленное для фотона соотношение (),1) между энергией и частотой применимо и для других частиц, можно допустить, что свободное движение электрона с определенным импульсом р будет описываться волновой функцией, соответствуюшей плоской волне де Бройля: ф(г, () =А ехр(й(йг — в()), (2,2) где ю= — = — й= —. Р Р и 2рй ' Ь (2 3) В Движение, описываемое волновой функцией (2,2), обладает фазовой скоростью м Е о =— ( й и' Используя (2,3), находим, что иг = р/(2р), т.

е. фазовая скорость плоской волны (22) не совпадает со скоростью частицы о р/р. Следует огметитгь что частота' м и, следовательно, фаэовая скорость ог не являются вполне определенными величинами, а зависят от того, включаем лн мы в энергию Е только кинетическую или учитываем и внутреннюю энергию частицы. В последнем случае полная энергия свободно движушейся частицы с массой покоя р связана с импульсом соотношением я= 3 гт ч'. Следовательно, в нерелятивистском приближении . Рз Е=рсз+ — -(- ..., 2н поэтому и = — + — >с.

роз Р р 2и Для исследования движений с релятивистскими скоростями связь меиску энергией и импульсом удобнее запксать в виде Е = сзр/и. В этом случае фаэовая скорость плоских волн пг = Е/р = с'/и. Мы убедимся позднее, что неопределенность значения ы в (2,2) не отражается на результатах теории. Итак, будем постулировать, что свободное движение частицы с определенной энергией и импульсом описывается волновой функцией (2,2). Вид волновых функций для других состояний движения будет указан позднее.

3 3. Принцип суперпозиции состояний. Волновой пакет Одним из основных положений квантовой механики является принцип суперлозиции состояний. В простейшей форме принцип суперпозиции состояний сводится к двум утверждениям:- 1) Если какая-либо система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями ф и ~)з, то она может находиться и в состояниях, которые описываются волновыми функциями, образующимися из Чч и фз с помогцью линейного преобразования (3,1) ф = арф, + азфм где а, и аз — любые комплексные числа, не зависящие от времени.

2) Если волновую функцию умножить на любое не равное нулю комплексное число, то новая волновая функция будет соответствовать тому же состоянию системы. Суперпозиция состояний квантовой теории существенно отличается от суперпозиции колебаний в классической физике, в которой суперпозиция колебания с самим собой приводит к попому колебанию с большей нли меньшей амплитудой. Далее, в классической теории колебаний существует состояние покоя, в котором всюду амплитуда колебания равна нулю.

В квантовой же теории равенство Пулю волновой функции во всех точках пространства соответствует отсутствию состояния. Для выполнения принципа суперпозиции состояний необходимо, чтобы уравнения Шредингера, которым удовлетворяют волновые функции, были линейными. Следует, однако, отметить, что не всякая линейная комбинация произвольных решений уравнения Шредингера для системы, состоящей из одинаковых частиц, отображает возможные состояния этой системы. Допустимымн волновыми функциями таких систем являются лишь те, Р ~ р ~ в Замяв Ы Я 72 и 73). Возможно, что принцип суперпозиции состояний нарушается в явлениях, протекающих в областях пространства, линейные размеры которых меньше '10-" см, где могут играть некоторую роль нелинейные эффекты.

В этой книге мы будем рассматривать только состояния, удовлетворяющие принципу суперпозиции. Принцип суперпозиции состояний отражает очень важное свойство квантовых систем, не имеющее аналога в классической физике. Для иллюстрации этого свойства рассмотрим состояние, которое изображается волновой функцией (3,1), где ф~ = ехр 11 Яр — вф)), фз — — ехр 1ю' (йзг — мф). ф(а, г) ) А (й) ехр (Цйя — гз1)) г(я, (3,2) т. е. в виде совокупности плоских волн, волновые векторы которых направлены вдоль оси а и имеют авачения, лежащие в интервале йз — Ьй ~== й ~ йз+ Ьй Введем новую переменную 5 Й вЂ” Йь тогда, разлагая 1»(й) в ряд по степеням $ и.ограничиваясь только двумя первыми чле/н 1 нами разложения гз(я)=мз+~ — „а~ $, можно, преобразовать (3,2) к виду м ~~ -~ — „") г~и ~ ф(а, г)= 2А(йз) „в ехР(1(Азу — езГ)1.

(3,3) 4Ь о Множитель, стоящий перед быстро осциллирующей функцией ехр (1 (Азу — газа)), можно назвать амплитудой функции. Схематически вид втой амплитуды в момент Е = О изображен на рис. 1. Максимальное значение амплитуды, равное 2А(йз)М, соответствуег значению г = О. При а = г„м«(пгЬЙ)п, где и = ~1, ~2, ..., амплитуда обращается в нуль. Значение Ьа = 2а~ = 2п/йл можно рассматривать как пространственную протяженность волнового пакета.

Чем меньше ця (разброс значений импульсов), тем боль- В состояниях фт и фз частица движется с определенными значениями импульса р, = Ьйз и рз = йй» соответственно. В состоянии же (3,1) движение частицы не характеризуется определенным значением импульса, так как это состояние нельзя изобразить плоской волной с одним значением волнового вектора. Новое состояние (3,1) является в некотором смысле промежуточным между исходными состояниями Чч и фг Это состояние тем больше приближается к свойствам одного из исходных состояний, чем больше относительный «вес» последнего, который, как мы увидим позднее, пропорционален отношению квадратов модулей соответствующих коэффициентов линейной суперпозиции. Таким образом, квантовая механика допускает состояния, в которых некоторые физические величины не имеют определеняых значений. Рассмотрим теперь состояние свободного движения, которое характеризуется волновой функцией, представленной «волновым пакетом» ше пространственная протяженность пакета.

Учитывая, что ЬЙ = Ьр/й, можно преобразовать равенство ЬхтЪЙ =2п к виду Ьх Ьр = 2па. (3,4) С течением времени средняя точка волнового пакета, соответ- Рвс. Ь Зависимость амплитуды волвовото пакета от рясстояквя для 1 О. ствующая максимальному значению амплитуды, перемещается в пространстве со скоростью ( и'то ) которая называется групповой скоростью. Используя (2,3), находим, что о = о, где 'ро=щ. Рассмотрим волновой пакет е тг(х, () = ~ А(Й)ехр(1(мз — ат)), в= —, (3,6) который в момент времени 1=0 ймел вид тР (х, О) = ехр ( — я7(2Г')).

(3,6) .Определим вид волнового пакета при г >О. Из равенства тр(я, О)= ) А(я) е'~'йй ее следует,-что Подставив в это выражение значение (3,6) и используя формулу ехр ( — авз+ (ра) Ия = ~/ — ехр ( — рзг4а), (3,8) получим р( 2 ) (3,9) Подставив (3,9) в (3,5) и снова используя (3,8), находим окончательное выражение -Чл ф(г, г)='Г~Г + — '~ ехр( — 2(Г + зг~ )). (3,!О) й 4. Статистическое толкование волновой функции Для объяснения волновых свойств электронов, наблюдаемых в опытах Дэвиссона и Джермера и др., надо допустить, что после прохождения периодической структуры распределение электронов в пространстве (регистрируемое фотопластинкой, счетчиком и т.

д.) пропорционально относительной интенсивности волны в этом месте. Нельзя предположить, что сами частицы являются образованиями, составленными из волн. При дифракции падающая волна разбивается на систему дифрагированных волн, электрон же ведет себя как единая частица. Нельзя допустить также, что волновые свойства частицы обязаны своим происхеждением коллективному поведению системы взаимодействующих частиц (таковы, например, звуковые волны). Дифракционная картина, отмечаемая фотопластинкой, не зависит от интенсивносги пучка частиц. Она наблюдается и при очень малой интенсивности пучка частиц Щ.

Можно также отметить, что волновые свойства проявляются и в том случае, когда система содержит всего один электрон, например в атоме водорода. Каждый электрон, проходя через периодическую структуру и попадая на фотопластинку, вызывает' (после проявления) потемнение небольшого ее участка. Если же на фотопластинку попадег большое число электронов (независимо от того, двигались ли они вместе или один за одним через длительный промежуток времени), распределение потемнений на фотопластинке соогветствует дифракционной картине. Учет этого обстоятельства по- зволил М. Борну (1926 г.) дать статистическую интерпретацию волновой функции, которая подтвердилась всем дальнейшим ходом развития квантовой механики.

Согласно этой интерпретации, интенсивность волн де Бройля в каком-либо месте пространства в данный момент времени пропорциональна вероятности обнаружения частицы в этом месте пространства. Эта интерпретация сохраняется и для волновой функции, описывающей состояние системы частиц. Волновая функции системы частиц записит от времени и от координат, число которых равно числу степеней свободы системы (см. ч 12).

Совокупность. значений всех независимых координаг в некоторый момент времени кратко будем обозначать одной буквой $. Задание $ определяет точду в абстрактном пространстве, которое называют конфигурационным пространством. Элемент объема в конфигурационном пространстве будем обозначать д$. Для системы, состоящей из одной частицы, конфигурационное пространство совпадает с обычным трехмерным пространством. В этом случае $ = (х, у; а) и гф = дх ду дг. Однако уже для системы, состоящей из двух частиц, конфигурационное пространство обладает шестью степенями свободы, т.

е. $=(хп уь а,; хм ум аз), . г$=г(х~ ду, дг,г(х,г(у,г(гз. В этой главе будут рассматриваться значения волновых функций для определенного момента времени, поэтому время мы не будем указывать в явном виде. Итак, волновая функция является вспомогательным понятием, используемым в квантовой механике для вычисления значений физичесиих величин в состоянии, определяемом этой Функцией. В частности, в квантовой механике принимается, что волновая функция дает сведения о вероятности того, что при измерении положений частиц системы мы найдем их в тех или иных местах пространства.