Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 6

Если функция Р является суммой функций Рт(г) и Ра(р), то и в этом случае вычисление среднего значения Р в состоянии ф сводится к вычислению ннгеграла (Р)=~ ф'Рф т, (7,, 1у где величина Р=Р (г)+ Рэ( — где), (7,2) вообще говоря, является дифференциальным оператором. Будем. называть Р оператором, соответствующим физической величине Р. Оператор определен на некотором множестве функций, если указан за-- кон, с помощью которого каждой функции множества сопоставляется функция„входящая в то же множество функций.

Операторы, определенные на различных множествах функций, следует рассматривать нан различные опед~ дэ дэ раторм. Например, оператор Лапласа т' = — + — + может бытьдхэ дуэ Йэ определен иа исех дважды диффереицируемых функциях, заданных в бесконечном црострвнстве, или ив дважды дифференцируемых функциях, которые отличны от нуля внутри некоторой области и удовлетворяют некоторому б аинчному условию иа границах втой области. В частности, можно потревать, чтобы на границах области все функции обращались в нуль.

Операторы, содержащие действие дифференцирования, носят навваниеоиффаумпнпальлеи оларагоровг Если операторы содержат действие интегрирования, то оии называются интегральными операторами. Могут быть интегро-дифференциальные операторы. Частным случаем интегральных операторов явлиются функционалы. Функционалом называется оператор, ноторый, действуя иа любую функцию множества функций, на котором ои определен, дает некоторую постоянную.

Одним иэ примеров фуинциоиала явлэегся сналяриое произведение (ф1ч) ~ ~ ф'(з)<р(з) п$. Если функция ~р фиксирована, то (ф(е) есть линейный функционал относительно функций ф.. В квантовой механике рассматриваются дифференциальные (н обратные. н ннм интегральные) операторы, определенные на множестве функций, непрерывных и диффереицируемых в замкнутой области й (й может быть,гг бесконечной) и удовлетворяющих однородным нраевым услоииям на границах втой области. Краевые условия называются однородными, если им удоелепюряет функция, тождественно равная нулю нан во всех точках внутре области Й, так и на границах этой области.

Правило (7,1) нахождения среднего значения Р в состоянии ф можно обобщить-на случай произвольных физических величин Р, если мы найдем способ построения соответствующих опеРаторов Р. ' Прежде чем переходить к правилам построения операторов, соответствующих физическим величинам, определим общие условия, которым должны удовлетворять такие операторы. Действие оператора на стоящую справа от него функцию ф в интеграле (7,1) сводится к преобразованию этой функции в новую функцию ф'=Рф. Чтобы нри таком преобразовании не нарушался принцип супер- позиции состояний, необходимо выполнение условий Р (аф) = арф, Р(ф1+фз)=гй +Рф 1 (7,3) Операторы, удовлетворяющие условиям (7,3) для произвольной функции ф, называются линейными операторами Если функция Р изображает физическую величину, то ее среднее значение обязательно действительно. Условие действительности средних значений; (Р) = (Р)', согласно (7,1), сводится к интегральному равенству для операторов Р (7,4) Равенство (7,4) являетсн частным случаем более общего равенства ) ф'Рр й = ~ рР ф'йт, (7,5) которому удовлетворяют самосопряясенные, или армитоеы, операторы.

В равенстве (7,5) функции ф" и ф являются произвольными функциями, зависящими от переменных, иа которые действует оператор Р н для которых интегралы (7,5), распространенные на все возможные значения переменных, имеют конечные значения. Поскольку равенство (7,4) является частным случаем равенства (7,5), то можно сказать, что условие действительности средних значений физических величин в произвольных состояниях сводится к требованию, чтобы соответствующие -им операторы были самосопряженными. Функциональное уравнение (7,5), определяющее условие самосопряженностн оператора Р, можно записать в краткой операторной форме Р=Р'. (7,6) Итак, в квантовой механике всем физическим (наблюдаемым) величинам .сопоставляются линейные (чтобы выполнялся принцип суперпозиции) и самосопряженные (чтобы средние зная чения были вещественными) операторы.

При проведении проме- ь им жуточных вычислений иногда используются и несамосопряжен- ные операторы, имеющие комплексные собственные значения. Оператор координаты совпадает с координатой г = г, опе- ратор импульса р = †(ду. Оба этн оператора являются линей- ными н самосопряженнымн. Еслй функция Р является суммой произвольной функции от координат и целой рациональной функции импульсов, то соответствующий ей оператор полу- чается заменой в этой функции импульса на соответствующий оператор Р(г; р)- Р=Р(г, — (йу). (7,7) Если функция Р является функцией, содержащей произведе- ния координат и импульсов, то, вообще говоря, не всякий опера- тор Р, полученный из Р по правилу (7,7), будет самосопряжен- ным, так как не всякое произведение самосопряженных опера- торов будет самосопряженным. Произведением операторов РК называется оператор, дейст- вие которого на функцию сводигся к последовательному приме- нению сначала оператора К, а затем Р.

Вообще говоря, произ- ведение операторов зависит от порядка сомножителей: РКфФКРф Если имеются два оператора, произведение которых не зависит от порядка сомножителей, го говорят, что они коммутирщрт друг с другом. Выясним условие, при котором произведение самосопряжен- ных (эрмитовых) операторов является самосопряженным. В об- "Ф " -т щем случае, если Р = Р и К = К, то ~ ф'РКф г(т = ) фК'Гчр'4г, (7,8) нли в краткой операторной записи (РК)'= К'Р' = КР, (7,8а) т. е.

эрмитово сопряженный оператор произведения равен произ- ведению эрмитово сопряженных операторов, взятых в обратном поряпке. дев ствнтельио, используя самосопряжениость оператора Р, можно написать г тр'г (Кф) пт )' (Кф) Р'тр' Ит. учитывая далее самосопряженность операг тора К, имеем~( (Кф) г'тр'ат ~) фК*Ртр'от, чтои доназыиает равенство(78), Если самосопряженные операторы коммутируют, то их про- изведение яляется самосрпряженным, что непосредственно сле- дует из (7,8а) (РК) =КР =РК, или подробно ~ ф'РК~раЬ= ~ ~рРК'ф'г(т Учитывая этот результат, мы можем утверждать, что с помощью правила (7,7) можно получать самосопряженные операторы только в том случае, когда целая рациональная функция г' не содержит произведений операторов координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые коммутируют между собой, например хрв и др.

В общем случае, если К и Р являются линейными эрмитовыми операторами, то такими же будут и операторы 2 ( (7Я В случае коммутирующих операторов 6 = О, 5 = КР = РК. В квантовой механике приходится рассматривать физические величины, не имеющие классического аналога (например, спиц частицы), которые не выражаются через функции координат и импульсов. Позднее мы познакомимся с тем, как определяются операторы, соответствующие таким величинам. В табл. 1 приведен явный вид некоторых простейших линейных самосопряженных операторов, используемых в квантовой механике.

Таоаииа 1 Проетейпие операторы кваитовод пекаиики В связи с тем, что перестановочные соотношения между операторами играют большую роль в квантовой механике, исследуем эти соотношения для операторов, указанных в табл. 1. Введем сокращенное обозначение (А, В) — А — ВА, которым будем пользоваться при дальнейшем изложении. Для коммутирующих операторов должно выполняться соотношение (А, В)ф 0 (7,10) для произвольной функции ф.

Если 'самосопряженные операторы не коммутируют, то выполняется равенство (А, В]ф=(Сф, (7,11) где в силу (7,9) оператор д является также самосопряжениым. оператором. В часгном случае С может быть числом. Для сокращения записи часто равенства (7,!0) и (7,11) заменяют операторными равенствами (А, В)=0, (~, В) =гС. Естественно, что три оператора координаты х, у, а, которые мы будем кратко обозначать буквой гг (1 = 1, 2, 3), коммугируют между собой, т. е. (Рь Р»)=0, 1, й=1, 2, 3. Коммутируют между собой н операторы проекций импульса д рг = — гй —, дгг » т. е. Уь Р„)=О, д» так как при вычислении частных производных — безраз» дг дг, лично, в каком порядке производить дифференцирование.

Примером некоммутирующих операторов являются Х и )$„. Для исследования перестановочных соотношений между ними вычислим действие произведений этих операторов на произволь- ную функцию, зависящую от х: 219„~ (х) = — гг»х —, д1 дх ' с другой стороны, Ф Х~ (() = — гдх — — гй) (~). д1 32 основныв ноны я (7,16) Итак, имеем [2, р„[1(х) =13[(х), или [2, р„[ =15. Проведя такие же вычисления, можно показать, что в общем случае должны выполняться перестановочные соотношения [Гь й,[= Иб,-,, 1, й = 1, 2, 3., (7,12) Используя явный вид операторов проекций вращательных (уг- ловых) моменгов Ьь можно показать, что должны выполняться перестановочные соотношения [йь Т.а)=157,г (7, 13) для значений 1 = 1, Й = 2, 1 = 3; 1 = 2, й = 3, 1 = 1 и 1 = 3, й = 1, 1= 2. Три перестановочных соотношения (7,13) моЖно для краткости записать в векторной форме: [ЕХ Х4 = 1лг.. (7,13а) Здесь и в дальнейшем символ [А ХВ1 используется для обоз- начения векторного произведения векторов А и В.

Если А и  — операторы, то порядок сомножителей определяется прави- лом [АХВ[,=А„„— Вай„и т. д. Далее можно показать, что [ХР, ЕД = О, 1= 1, 2, 3. (7,14) Пользуясь перестановочными соотношениями (7,!2) и опреде- лением оператора углового момента з., легко убедиться в спра- ведливости следующих перестановочных соотношений: (7,15) [Е, ',[=О, [Е„Гь[= 1йть [Е,, Г,[= — гйгь [(.„Р,[=О, У.ьр)=Щ,, [7.„Р,)= — айо где 1 = 1, й = 2, 1 = 3, либо 1 = 2, й = 3, 1 = 1, либо Т = 3, Уг = 1, 1 = 2.

Перестановочные соотношения (7,15) можро кратко записать в векторной форме: ФХ [+[гХИ=21а, ~ (7,15а) Ф Х р[+ [р Х Й =21йр ) Используя тождество [А, Вз[=[А, В]В+ В[А, В], можно доказать перестановочные соотношения [Р, т:[= 13([г. Хр[ — [РХт.)) К И= ' И7.Х [ — [ Хй). 8 8. Собственные функции и собственные значения операторов В % 7,был указан способ (7,!) вычисления среднего значения в состоянии, описываемом функцией ф любой физической величины Р, если мы знаем соотвегствующий этой физической величине оператор Р.

Пользуясь правилом (7,1), можно вычислять не только средние значения, но и средние квадратичнме отклонения от средних значений в данном состоянии ф. Действительно, вводя ЛР = Р— (Р) и соответствующий эрмитов оператор (йР) =Р— (Р), (8,1) можно написать . ((ДР)') =) ф'(Дъ(Я ф Д' Используя самосопряженность оператора (ЬР), преобразуем (8,2) к виду ((ЛР) ) = ~ ! ЯГ) ф Г г(т. (8,3) формула (8,3) позволяет вычислять среднее квадратичное отклонение от среднего значения любой физической величины в произвольном состоянии, описываемом функцией ф. С помощью (8„3) можно также определять неизвестные состояния, в которых среднее квадратичное отклонение равняется нулю, т. е.