Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 7

определять такие состояния, в которых величина Р имеет определенное значение. Для такик состояний ф равенсгво (8,3) сводится к равенству О=) )(ЛР)фгдт. Поскольку под интегралом стоит существенно положительная величина, то равенство нулю интеграла возможно лишь при условии (ЬР) ф= О. (8,4) Учитывая, что в состоянии ф, удовлетворяющем уравнению (8,4), величина Р имеет определенное значение, т. е. Р = (Р), перепишем (8,4), подставляя (8,!), в следующем виде: (Р— Р) $=0.

Уравнение (8,5) является однородным, линейным уравнением относительно неизвестной функции ф. В связи с тем, что 2 А. с, дввыхов волновая функция должна изображать реальные состояния физических систем, нас будут интересовать решения этого уравнения, соответствующие отличным от нуля непрерывным, однозначным функциям ф удовлетворяющим однородным условиям (т.

е. условиям, выполняющимся и пра ф = 0). Дополнительные условия, связанные с возможностью нормировки функции ф, будут обсуждены позднее. Обычно они сводятся к требованию конечности интеграла ) ~ ф ~тйт, распространенного по конечной области пространства. Сама функция может быть и сингулярной, т. е. обращаться в бесконечность в некоторых точках, если только интеграл остается конечным. В общем случае уравнение (8,5) имеет решения, удовлетворяющие посгавленным выше условиям только при некоторых определенных значениях физической величины Р, которые являются параметрами уравнения (8,5). Эти значения могут пробегать либо дискретный ряд значений Рь Рь ..., либо непрерывный ряд значений в некотором интервале.

Эти особые значения параметра Р называют собственными значениями оператора Р, а соогветствующие им решения уравнения (8,5) называют собственными 4ункциями оператора. Сово( купность собственных значений оператора называется его спектром. Если оператор имеет дискретные собственные значения, то говоряг, что он имеет дискретный спектр. Если оператор имеет собственные значения, пробегающие непрерывный ряд в некотором интервале, то говорят, что он имеет непрерывный, или сплошной, спектр. Возможны операторы, имеющие спектр, состоящий из дискретных значений и значений, непрерывно изменяющихся в некоторых интервалах.

Чгобы различать собственные функции оператора Р, соответствующие разным собственным значениям, мы будем писать справа от функции в виде индекса собсгвенное значение, например фе. Если спектр собственных значений оператора дискретный, то собственные значения можно перенумеровать: Рь Рм ..., Р, ... В этом случае в качестве индекса у собственной функции часто пишут не собственное значение, а его номер, т. е. фт„= ф . Целые числа п, определяющие собственные значения и собственные функции, называют квантовыми числами. Согласно вышеизложенному, в состоянии, которое описывается собственной функцией фе оператора Р, физическая величина имеет определенное значение, равное собственному значению этого оператора. Этот вывод имеет очень большое значение для интерпретации физических следствий квантовой механики. Результатом измерения физической величины Р в сосгоянии фе будет с достоверностью значение Р'.

Если состояние системы описывается волновой функцией ф, не совпадающей ни с одной собственной функцией'оператора Р, то при измерениях величины Р в этом состоянии мы. будем получать разные значения, каждый раз равные одному из собственных значений оператора Р. Таким образом, совокупность собственных значений оператора Р указывает возможные результаты измерений величины Р в произвольных состояниях. Этими утверждениями определяется физический смысл собственных значений операторов квантовой механики. В некоторых случаях одному собственному значению оператора соответствует несколько линейно независимых собственных функций; тогда соответствующая физическая величина имеет определенное значение в каждом из состояний, описываемых этими волновыми функциями.

Число независимых собственных функций, соответствующих данному собствзнному значению, называют кратностью вырождения этого собственного значения. При наличии вырождения собственные функции, соответствующие одному собственному значению, приходится снабжать вторым индексом, пробегающим значения 1, 2, ... вплоть до числа, равного кратности вырождения. Наяример при трехкрат. ном вырождении имеются три функции фиь триь три~, соответствующие одному собственному значению Р. Иногда, как мы увидим" в последующем изложении, волновые функции вырожденных состояний снабжают и большим числом индексов. Очень важным свойством собственных значений самосопряженных операторов является то,.что они всегда действительны.

Собственные значения совпадают со средними значениями соответствующих физических величин в состояниях, описываемых собственными функциями этих операторов. Поскольку средние значения действительны (5 7), то действительны и собственные значения. В действительности собственных значений самосопряженных операторов можно убедиться и непосредственно из уравнения (8,5), Для этого умножим уравнение (8,5) на функ'- цию ф+, комплексно сопряженную к тр, и вычтем из полученного уравнения ему комплексно сопряженное. Интегрируя полученное выражение по всем значениям независимых переменных, находим: (Р Р ) 1 чгф с( = ) ф РФ Ь вЂ” 1 тгР Ф л ° Используя условие (7,4) самосопряженности оператора Р, на- ходим Р = Р', что и указывает на действительность Р, Юли илл~острвции вышесказанного вычислив собственные значении и собственные функции трех простейших операторов.

осиовиыв понятия квлитовов мвхлиики (гл, т а) Собственные значении и собственные функции оператора проекции импульса р. Задача сводится к решеншо ураянении — гй — дхф (х). дф (х) дх Непрерыяные, однозначные и конечные решении этого уравнения яозможны дли всех дейстаительных значений рю эаключенных а интерзале — оа ~ < р ( оо. Следовательно, оператор )), имеет непрерызный спектр собсгаенных значений. Каждому собственному значению р = р соотиетстиует одна собственная функция (отсутстиует иырождение) фр (х) = А ехр ~à — х). г' р й (8,6) Зта фуннцня описыиает движение частицы вдоль оси х с определенным импульсом р.

Волновые фуннции (8.6». как и другие собственные функции операторов, имеющих непрерывный спектр, нельзя нормироаать обычным образом, так как ) 1фр(х) Рдр оь. Волчояые функции (86) яилюотся частным случаем волновых функций свободного динжения частиц с определенным импульсом. рассмотренного а 6 6, где был указан олин нз способои нормнрозки таких функций. б) Собстеенные значении и собственные функции оператора проекции углового момента Ех.

Из табл. ! (8 7) имеем I д д 1 йх= — Гй~» — — у — ). дд дк )' Если перейти к сферической системе координат (см. мат, допили. Б), то д получим 6х= — Гй —, Таким образом, задача сзодится к решениго ураи- д~р ' ненни — гй — =й фЬ), дф(ф) дф (8:,7) ф (ф) А ехр (( — х~р). Длн иыполнения услояия однозначности функции ф необходимо, чтобы ф Ь) = ф И + 2п) Зто условие удоялетаоряетсн, есди 1,,/й т, где т = О, ~1, ~2, ~ ... Таким образом, спентр собственных значений оператора 6х является дискретным; й =й, т=о, ~Г, ~2, (8,6) Собственные функции ф„(ф), соотиетстнующие собственным значениям (8.8) хя и нормированные условием ~ фмфм Йр= 1, нмегот ипд о фт (ф) (2я) "е ют', где переменная ф изменяется а пределах О ( ф( 2л. Решеннимн (8,7) на- ля ются СОБСТВЕННЫЕ ФУНКИИИ ОПЕРАТОРОВ ВУ $ э! в) Собственные значения и собственные - функции квадрата углового но.мента.

Для вычисления ~юбствениых значений и собственных функций оператора квадрата углового момента надо решить лнфференциальное уравнение узф / тф (8,9) где оператор нвадрага углового момента определяетсн с помощью табл. выражением з Х'- „'; Хзм г-! Удобнее, однако, пользоваться оператором квадрата углового момента, выраженным через сферические координаты. В этом случае (см. мат. до. полн.

Б) (8,10) и уравнение (8,9) сводится н уравнениго ) 1 д /. 81 1 дт йз1 — — (в(п — )1+ —.— + — )ф(В, ф)=О. (8,!1) з!пО дО ! дО I з(птО дфт дт ) Сравним полученное уравнение с уравнением длн сферических функднй уь: ) 1 д /. д! 1 дт — — ~з!п — )+ —, — +1(!+ 1)1 У/„,(В, ~р) О, з!п В дВ дВ зшз О дфт где ! О, 1, 2, ... Эти уравнения совпала!от, если /.т = Ьт! (1+ 1). (8,12) Явная зависимость сферичесиих функций от углов В и ф длн положи- тельных значений и определяетси выражением У,„(О. р)=Е/ (В) ехр (!кар) )/Б (8,18) где ( — 1) ~~ /(2/+ 1)(1 — гп)1 ( д ~~(з!пО) 2/!! у 2 (! + и)1 (д соз О)'+и Действительные функции 6 можно выразить через производные ог полиномов Лежандра дг Р! (х) Г ((» 1)!( Л2 г/х Таким образом, мы приходим к заключениго, что собственные значении оператора квадрата углового момента определяются квантовыми числами ! = О, 1, 2, ...

с помощью выражения (8,12), а собственные функции этого оператора совпадают со сферическими функциями У~ (Вф) порядка 1. При этом каждому собственному значению Ет, т. е. наждому значению квантового числа !, которое принято называть орбитальным квантовым числом, соответствует 2/+1 сферических функшгй у~ . Эти фуниции отличаются значениями второго нвантового числа и, называемого магнитным кнантозыл числом, принимающим при заданном! значении и О. ж1, ' ... *1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1гЛ.