Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973).djvu), страница 6

е. Для доказательства этого неравенства положим а = хь тогда действительно имеем Неравенство Чебышева можно записать также в виде Ф'(>х — х~= а)(, = ( — ) . (2.29) 1 С> г= —,, т,х,. (2.30) Такими величинами являются, например, средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну молекулу газа, средний импульс, переносимый одной молекулой в данном направлении, и т.

и. Поскольку х„— случайная величина, г — также случайная величина, причем ее статистическое среднее равно 1 с~ г= — ~~ х„. л (2.31) Но для случайной величины г можно применить неравенство (2.29). Очевидно, (г ( ~ х е > ~ з) ~ .а и,~а 7 7„(хе — хь)(х> — х>)= (х — г)> 1 ъ> ч> ьз >,3>>2 ~~> ~~> > — г > ~ ~ > — с )>д — г>). >2.32> ~1>З 1>~» Последнее неравенство показывает, что вероятности флуктуационных отклонений, значительно превышающих среднее квадратичное уклонение Л(х), быстро убывает с увеличением отклонения.

Следовательно, при испытаниях любая случайная величина в большинстве случаев будет принимать значения, не отклоняющиеся от среднего значения на много больше чем Л(х). Закон больших чисел. Многие физические величины представляют арифметические средние случайных величин, т. е. могут быть записаны в виде Если случайные величины хь статистически независимы друг от друга и их дисперсии не превышают некоторого числа Р, т. е. (х,— х,) (х,— хз) =0 при й ~1, (2.33) (х„— хь)'( Р, то, согласно (2.32), получаем неравенство (2.34) еза) ' Согласно этому неравенству, вероятность превышающих и отклонений величины г от ее среднего значения при любых сколь угодно малых, но конечных значениях в, становится сколь угодно малой при ))1 -ь оо.

Это следствие неравенства (2.34) называют законом больших чисел. Согласно закону больших чисел, истинные значения физических величин вида (2.30) почти во всех испытаниях практически будут совпадать с их средними статистическими (2.31). Таким образом, статистическая теория, построенная для вычисления статистических средних вида (2.30), может быть использована для практически безошибочных предсказаний поведения индивидуальных систем, если число частиц М достаточно велико и удовлетворяются условия (2.33), использованные для вывода неравенства. (2.34) *. Средние от функций случайных величин.

Если г(хз, х„ ..., х„) — произвольная функция непрерывных случайных величин х„ х„ ..., х„, а зо(х„ хз, ..., х„) — плотность вероятности для совмещенных событий х,, х,, ..., х„, то статистическое среднее величины г определяется как Р = ~ ~ ... ~ Е (х„ х„ ..., ха) ш (хт, х„ ..., х„) с(хз ц)хз ... с(х«. 1 «т «3 «я ) (2.35) Это среднее можно также записать в виде (2.36) где В'(г) — плотность вероятности заданного значения ве- * Можно доказать, что неравенство (2.34) удовлетворяется и при условиях менее жестких, чем 12.33).

Возможно допустить некоторую слабую корреляцию величин ка и х~ и при этом доказать справедли.- вость 12.34). (См., например, С. Н. Б е р н ш те й н. Теория вероятностей, ГТТИ, )934). личины Р. Прн помощи 6-функции Дирака * ЯУ(Р) можно представить в виде цг(Р) = ) ) ... ) 6 [) — Р(х„ха, ..., х„)) х («т«а... «а) х гн(х, х, ..., х„) г(х, йх, ... йх„. (2.37) Легко видеть, что, подставляя (2.37) в (2.36), мы получим исходное выражение (2.35). В частном случае, когда г (х„х„..„х„) = х„вместо (2.37) получаем тн' (х,) = ) ... ~ тн (х„х„..., х„) Иха йх,... йх„, (2.38) («е «х) или в простейшем случае двух случайных величин х и ан тр'(х)= 1 ру(х, у) йу.

(2.39) ца % 3, йллюстрацин статнстнчосиого метода на иримере распределения Маиснелла — Больцмана * 6-функция )(ирака — ато обобщенная функция, определяемая интегральными операциями: +СО + со Г(у)= ) 6(х — р)Г(х)йх, ) 6(х) Ых=г. Наглядно 6-функцию можно представлять как игольчатого вида кри- вую, совпадающую с осью абсцисс при всех аначениях аргумента, кроме нулевого, а в нуле стремяшуюся к бесконечности. Для предварительного ознакомления с основными идеями н приемами общего статистического метода Гиббса рассмотрим в этой главе не общий случай произвольной микроскопической модели, а лишь простейшую классическую модель идеального газа. Рассмотрим идеальный однокомпонснтнай газ во внешнем потенциальном поле, находящийся в состоянии термодннамического равновесия с термостатом, имеющим абсолютную температуру Т. Пусть температура достаточно высока, так, что можно пренебречь квантовыми эффектами.

В качестве микроскопической модели такого идеального газа естественно выбрать систему Лг материальных точек массы т, движущихся по законам классической механики во внешнем потенциальном поле (у(х, у, г) и не взаимодействующих друг с другом. Сосуд, в который заключен этот газ, может быть отождествлен с некоторым потенциальным барьером, отталкивающим частицы газа, т. е. можно считать, что стенки сосуда уже включены в выражение внешнего поля У(х, у, г). Микросостояние такого газа полностью отображается значениями координат и скоростей всех 1У материальных точек, т.

е. 6)у' переменными: х„у„г,; йт Чг йг' " ' хл' Ун глй йн Чл' йн. Вероятность микросостояния, как и всякая априорная вероятность, может быть получена лишь из общих предположений, вытекающих из постановки статистической задачи е. Используем эти предположения. 1. Поскольку состояние микросистемы полностью определяется координатами и скоростями материальных точек, постольку вероятность может быть функцией лишь этих переменных, а также времени г. Иначе говоря, статистически система полностью определяется некоторой плотностью вероятности гс(хм у„гт; $„Ч„йт; х„..., йн; З). (3.1) 2. Система находится в состоянии термодинамического равновесия с постоянной температурой Т. Следовательно, функция гс не должна явно зависеть от времени и должна быть функцией только внешних параметров а и полной энергии системы Е, т.

е. го = Р(а, Е), (3.2) где Е= ~~~ Е„Е,= — Я+Ча+ьа)+(1(х„ую га). (3.3) Действительно, если бы ю, кроме а и Е, зависела бы еще дополнительно от какой-либо из координат или скоростей частиц системы, то средние значения термодинамических величин могли бы зависеть не только от энергии и внешних параметров. Согласно же термодинамике все внутренние параметры системы могут быть функциями лишь внешних ' Как мы уже заметили в предыдущем параграфе, значения априорных вероятностей всегда определяются путем выдвиження некоторых гипотез о величинах этих вероятностей, в дальнейшем проверяемых многократными испытаниями.

й Терлецкий Я. П. ЗЗ ш=ц иь ь=~ (3.4) или Р(а, Е)= Ц р, (а, Еь). 2=1 (3. 5) Последнее функциональное уравнение позволяет определить вид функций Ч~„. Прологарифмировав уравнение (3.5) и воспользовавшись аддитивностью энергии, т. е. (3.3), по- лучаем 1 ~(а г е,)= г 1 у,(д я,). (3,6) 1 Возьмем дифференциал правой и левой части (3.6) при по- стоянном значении а. Тогда, обозначая штрихом производ- ную по энергии, получим (3.7) В силу произвольности всех с(Е~ все коэффициенты при этих дифференциалах должны быть равны, так как иначе 34 параметров и температуры нли внешних параметров и энергии.

От времени же функция ш не должна зависеть по той причине, что при равновесии средние значения не зависят от времени. 3, В силу идеальности газа его материальные точки не взаимодействуют друг с другом. Следовательно, отдельные молекулы газа могут рассматриваться как статистически независимые, т. е. общая плотность вероятности (3.1) может быть представлена в виде произведения всех плотностей вероятности для каждой из молекул ш,(х„, у„, гь; $м Пм ~,). Последние плотности могут быть также функциями только внешних параметров а и энергией Е„ поскольку любая часть идеального газа также является термодинамической системой, находящейся в состоянии равновесия с температурой Т, т.

е, ш„ = — ~рь(а, Е,). Таким образом, правая часть не может быть представлена в виде левой части. Следовательно, Ч'~ (» Бт) К (»»з) ср)г (» Е~) срт(» Ет) тз(» ьв) чм(» Егг) — (3.8) Величина р может быть только константой, так как все члены равенства суть функции различных независимых перемен- ных. Следовательно, интегрируя, получаем гр«(а, Е„)=Ае (3.9) где А — константа, зависящая от а и р.

Коэффициент р имеет размерность обратной энергии. С другой стороны, средняя энергия идеального газа пропорциональна температуре, следовательно можно положить 1ф = 'нТ, где й— константа, определяемая из опыта *. Итак, плотность вероятности того, что данная молекула идеального газа имеет заданные координаты и скорости, равна Р. (~., У., Ы 5., Ч., ~ ) = ! Гм =Ае аг(у( «+ч«э «)+ (а«а« '«1) (3 10) ~ ср«(хы у«л«91 еь«Чь ьг«) с(х«г(у«г(г«с(еь«бЧ«г(ьг« = 1, (3.11) или посредством интеграла +'"' т цос в, г) -' =~~~а - "'ч""*'(~ (Ч цц~е - (х (у (. (3.12) Применяя интеграл Пуассона е — м стй = 'рг и, или ~ е- Рд$=~/ — ", ' В третьей главе ато иредноложение будет строго обосновано и там же будет найдено численное значение константы Больцмана «. 35 Константа А в этом распределении определяется из условия нормировки и вводя обозначение + ' и ра „,,) ,7 ~ ~ ~ е Ут г(хапуг(г (3 13) получаем из (3.12) для А выражение (3.14) Очевидно, при отсутствии внешнего поля для газа, находящегося в сосуде объемом )т с абсолютно жесткими стенками,,/=)т, откуда 1 ~ т ')з)з ът(еь~"у+~у) (3 15) ч)~ = У ) 2„~ г 7 Функцию (3.10) называют распределением Максвелла— Больцмана, а функцию (3.15) — распределением Максвелла.

Эта терминология не совсем точна, ибо функции (3.10) и (3.15) имеют смысл плотности вероятности определенного состояния заданной частицы; Максвелл же и Больцман находили функции, имеющие смысл средней плотности числа частиц с заданными координатами и скоростями. Легко, однако, видеть, что для классического идеального газа средняя плотность числа частиц равна плотности вероятности для одной частицы, умноженной на общее число частиц системы Л). Поэтому для классического идеального газа эта часто встречающаяся неточность терминологии не имеет существенного значения. Действительно, среднее число частиц, имеющих координаты и скорости, лежащие в интервалах х —: х + Лх, у —: у + Лу, г —: г + йг, э —: — ь+ бя, Ч вЂ”: Ч+ й)), ь —: ь+ Л~, равно, очевидно, сумме вероятностей каждой нз частиц находится в этом интервале.