Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973).djvu), страница 9

е. Г, = Г,) фазовые плотности вероятности в точках Х' и Х' также одинаковы, т. е. ш(Х', т)=ш(Х', 0), (8.1) где Х' и Х' — лагранжевы фазовые координаты, связанные решениями уравнений Гамильтона (5.5). Выражая Х' через Х', согласно (5.5), это равенство можно записать также в виде ш (Х', т) = ш(Х ' (Х', т), 0). (8.2) 4е —,- ~ пз(Х, г) ((Х=О. (8.5) Отсюда, применяя обобщенную теорему Остроградского, получаем " (8.6) Так как этот интеграл равен нулю для любой области интегрирования (х„то должно быть равно нулю подынтегральное выражение, т.

е. — + ~ — (Хан() =О, д( дХа а=! (8.7) * Последнее выражение получается путем обобщения на многомерный случай выражения производной от интеграла х,ш х, (О )(х, () ох= т ' ((х+ — „я ((х„() — — г ) (хь ()= х,щ х, ((( ха (О Но лагранжевы координаты точек можно заменить на эйлеровы координаты пространства, если они рассматриваются только в единственный фиксированный момент времени. Следовательно, (8.2) можно записать также в виде (и (Х, () =(е(с (.Т ' (Х, ()), (8.3) где для начальной функции распределения введено специальное обозначение шо (Х) = н((Х, 0).

(8.4) Плотность щ'(Х, () ведет себя аналогично недиффундирующей краске, окрашивающей с различной интенсивностью элементы несжимаемой жидкости. Перейдем теперь к отысканию дифференциального уравнения для фазовой плотности вероятности. Поскольку вероятность нахождения частицы в области О, связанной с фазовыми точками, не меняется со временем, то Таким образом, мы получили уравнение непрерывности для фазовой плотности вероятности. Это уравнение может быть записано также в ином виде, если воспользоваться уравнением (8.3), выражающим несжимаемость фазовой жидкости.

В силу (6.3) и уравнений Гамильтона очевидно: зн бн Он »» —.(Х»и!)= У~ Х».—,. +и! »=! »=1 »=! зн зн у ( д!с !З»с ~ у (дН ди дн д!с ) Л,» !, дс» др», С,~ 1,др» ду» дс» др»,' »=! »=!' т. е, равно скобке Пуассона. Следовательно, (8.7) эквивалентно уравнению д! (8.8) называемому уравнением движения статистического фазового ансамбля, Ввиду тесной связи этого уравнения с теоремой Лиувилля его принято также сокращенно называть уравнением Лиувилля. Итак, фазовая плотность вероятности адиабатически изолированной системы Л! материальных точек изменяется со временем, подчиняясь уравнению движения (8.8). Не следует, однако, думать, что решение уравнения (8.8) математически более простая задача, чем решение системы уравнений Гамильтона (4.2).

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка эквивалентно решению уравнения первого порядка в частных производных типа (8.8). Уравнение (8.8) важно, однако, для решения принципиальных вопросов статистической теории неравновесных процессов, где из этого уравнения получаются упрощенные уравнения с меньшим числом независимых переменных, которые практически возможно решить. 3»Д»Ч» Н»-1. Начертить фазовые траектории одномерного движения материальной точки в цоле сил тяжести и проиллюстрировать справедливость теоремы Лиувилля. П-2. Два упругих шарика радиусом г движутся без трения вдоль горизонтального желоба.

Изобразить на 66 плоскости скоростей (оп ох) положение элементарного фазового объема г)о1г)о, до столкновения и после столкновения и доказать, что гЬ,гЬ, = Йо,'г)о,', где о', и и', — скорости частиц после столкновения. П-3. Проверить справедливость теоремы Лиувилля для случая упругого соударения двух частиц, движущихся по одной прямой. П-4. На фазовой плоскости (д, о), где о = 4 — скорость, найти фазовые траектории и вычислить изменение со временем фазового объема п4по для: а) свободной частицы, сила трения которой о среду пропорциональна скорости; б) линейного гармонического осциллятора с малым трением. И-5. Проверить теорему Лиувилля для абсолютно не- упругого удара двух шаров.

П-6. Доказать, что для произвольной фазовой плотности вероятности ш (Х, 1), удовлетворяющей уравнению движедм ния фазового ансамбля -- = [Ою], условию нормировки и д) равенства нулю на бесконечности, интеграл ~ Р )ш (Х, г)) г)Х ~х~ не изменяется со временем, если Р (ш) — произвольная функция, обращающаяся в нуль при ш = О, Считать, как обычно, что кинетическая энергия зависит только от импульсов, а потенциальная — только от координат, т. е. И (Х) = К (Р) + и (Е. Глава Ш Классическая теория раеиоеесяых состояиий 5 й. Равнавесный статнстнчесннй ансамбль Для системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, фазовая плотность вероятности не должна зависеть явно от времени.

Иначе говоря, для термодинамически равновесной системы О О д1 (9Д) и, следовательно, согласно (8.8) (Нш) = О. (9.2) где ~р„ф„... — интегралы движения. Известно, что интегралы движения механических систем можно разделить на качественно весьма различные классы. Наиболее простым классом являются семь первых интегралов, существующих для всякой свободной, т. е. не подвергающейся внешним воздействиям системы вследствие однородности и изотропности пространства и однородности времени.

Этими, так называемыми аддитивными, интегралами являются: энергия, импульс (три интеграла) и момент количества движения (три интеграла). Остальные интегралы, как правило, не алгебраические функции от канонических переменных нерегулярно, разрывно изменяющиеся ва Из механики мы знаем, что любая величина, удовлетворяющая уравнению (9.2), должна быть интегралом движения уравнений Гамильтона или функцией интегралов движения, т. е. ш (Х) = ср (Н (Х), ф,(Х), ф,(Х), ...), (9.3) от точки к точке, как это следует, например, из теоремы Пенлеве для проблемы Аг тел ".

Возможен н другой случай, когда система разбивается иа изолированные друг от друга подсистемы, каждая из которых имеет свой интеграл энергии, а может быть и другие интегралы из числа первых семи. Примером такой системы является идеальный газ, а также линейная система связанных осцилляторов. Последняя система, изображаемая в нормальных координатах, представляет совокупность несвязанных нормальных осцилляторов. Таким образом, для любых механических систем особую роль играют аддитивные интегралы движения, Причем из 7 аддитивных интегралов для систем с фиксированным объемом, т. е. находящихся во внешнем потенциальном поле, остается только энергия, поскольку во внешнем поле импульс и момент количества движения не сохраняются.

Исследования Биркгофа, Колмогорова *" и многих других показали, что существуют механические системы, для которых вообще определяющую все их поведение роль играет лишь интеграл энергии. Это так называемые эргодические системы. С математической точки зрения эргодические системы являются л1етричгски неразложимыми, т. е. такими системами, фазовое пространство которых невозможно разделить на две области так, чтобы фазовая точка, первоначально находившаяся в' одной из областей, всегда оставалась бы в ней и не могла бы с течением времени попасть во вторую область. Для такой системы фазовая точка как бы обегает все подпространство заданной энергии (точнее, может проходить сколь угодно близко к любой из точек подпространства заданной энергии).

Можно доказать также, что для эргодической системы временное среднее от любой механической величины г (Х) по бесконечно * Теорема Пенлеве является обобщением на Аг тел теоремы Брунса, доказанной для задачи трех тел, тяготеющих цо закону Ньютона. Брунс доказал, что всякий алгебраический интеграл задачи трех тел вне зависимости от того, содержит ли он явно время или нет, складывается из десяти классических интегралов (интегралы энергии, импУльса, момента количества движения и центра тяжести). Пенлеве доказал, что всякий интеграл задачи Ф тел, являющийся алгебраиче.

ской фуакцией от скорости и какой угодно функцией от координат, есть комбинация десяти классических интегралов (см. Е. Г. У и т т ек е Р. Аналитическая динамика. Гостехиздат, М. — Л., 1937). "" См. А. Я . Х и н ч и н.математические основания статистической механики. Гостехиздат, М. — Л., 1943. больпюму промежутку времени является функцией только энергии и не зависит от других интегралов движения, т. е. т Р= !(щ — Р(Х, !) чг=ср(Е). (9.4) т- Для таких систем и фазовые средние могут быть функциями только энергии, а следовательно, и фазовая плотность вероятности может зависеть только от единственного интеграла движения — энергии. Однако никем пока не доказано, что механические системы, моделирующие реальные макроскопические физические системы являются эргодическими.

Можно принять как гипотезу, что мы в физике имеем дело лишь с эргодическими системами. Если принять эту эргодическую гипотезу, то можно считать механически обоснованным, что равновесная фазовая плотность вероятности является функцией только энергии системы. Однако обосновать, т. е. доказать эргодическую гипотезу в общем виде невозможно, так как всегда можно привести примеры физических систем, для которых эта гипотеза не верна (например, система связанных линейных осцилляторов).

Нет, однако, необходимости обязательно связывать построение статистической теории равновесных состояний с эргодической гипотезой. Как и во всякой статистической теории, об априорных вероятностях делаются некоторые гипотезы, оправдываемые последующими выводами из теории. В данном случае, учитывая, что интеграл энергии имеет особое значение для рассматриваемых механических систем, можно предположить, что равновесная фазовая плотность вероятности зависит только от энергии и не зависит от других интегралов движения, т. е. принять ш (Х) = <р (Н (ХЦ. (9.5) Это предположение необходимо также принять, если исходить из опытного факта, что ма«роскопическое поведение микроскопических систем подчиняется законам термодинамики. Действительно, одно из основных положений термодинамики гласит: «Макроскопическое состояние системы, т.

е. значение ее внутренних параметров при термодинамическом равновесии, зависит от внешних пара- 64 метров а„а„... и энергии Е» '. Но это правило может быть удовлетворено в статистической механике только в том случае, если фазовая плотность вероятности тоже зависит только от энергии и не зависит от других интегралов движения. Ведь если бы эта плотность зависела бы еще от какого-то интеграла движения, то и фазовые средние зависели бы тоже от этой постоянной, а не только от энергии. Итак, примем статистическую гипотезу (9.6) как весьма правдоподобную. Нам необходимо еще определить конкретный вид функции гр (Н).

Очевидно, вид этой функции зависит от вида термодинамической системы, или с микроскопической точки зрения от характера связи системы с внешними телами и от способа ее приготовления или выбора. Нас будут интересовать два типа систем: 1) адиабатическая система — система, изолированная от внешних тел и имеющая определенную, строго заданную энергию Е; 2) изотермическая система — система, находящаяся во взаимодействии с термостатом, имеющим заданную температуру Т. % 10. Мнкракенаннчвенав рваерейенвнне Рассмотрим адиабатическую систему, т. е.