Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973).djvu), страница 8

Теорема Лневнллн о еохранвннн !раневого обьвма Прп статистическом описании механической системы материальных точек рассматривается не движение одной единственной системы с заданными начальными значениями канонических переменных, а движение целой совокупности фазовых точек, изображающих набор возможных состояний данной системы. Такая совокупность фазовых точек, теоретически изображающих различные возможные микроскопические состояния системы, называется фазовым ансамблем. Если каждому возможному состоянию приписывается определенная вероятность, т.

е. вводится фазовая плотность вероятности, то отдельная точка фазового ансамбля рассматривается как случайная величина. В этом случае фазовый ансамбль называют статистическим фазовым ансамблем. Движение фазового ансамбля в фазовом пространстве можно рассматривать как движение фазовой жидкости, по аналогии с движением обычной жидкости в трехмерном пространстве.

Иначе говоря, точки фазового пространства отождествляются с точками воображаемой фазовой жидкости, заполняющей пространство. Легко доказать, что для систем, удовлетворяющих уравнениям Гамильтона, фазовая жидкость несжимаема. Известно, что дивергенция скорости обычной (трехмерной) несжимаемой жидкости равна нулю. Действительно, в силу уравнения непрерывности да л) = й)ч ия = о й)ч о+ а'7я и условия р = сопз( для несжимаемой жидкости имеем (6.2) Для жидкости в многомерном пространстве эта теорема без труда обобщается, а следовательно, для несжимаемой фазовой жидкости должно удовлетворяться условие равенства нулю многомерной дивергенции, т.

е. й=1 Легко однако видеть, что в силу уравнений Гамильтона (4.2) вн зн зн что и требовалось доказать. Поскольку фазовая жидкость несжимаема, постольку при ее движении остается неизменным фазовый объем, занимаемый любой частью этой жидкости. Таким образом, если определить фазовый объем как 6Ж-мерный объем части фазового пространства, ограниченной замкнутой гиперповерхностью, образуемой фазовыми точками, изображающими состояния системы, то имеет место теорема о сохранении фазового объема, или теорема Лиувилля.

Эту теорему можно доказать и более строго, без обращения к гидродинамической аналогии. Пусть совокупность переменных Х означает координаты самого фазового пространства (так сказать, Эйлеровы координаты). Координаты же фазовых точек в моменты времени О и г обозначим через Х' и Х'(Лагранжевы координаты). Очевидно, решая уравнения движения (4.2), можно найти Х' как функции Х' и (, и наоборот: Хв как функции Х' и г.

Иначе говоря, решение уравнений Гамвльтона изобразим в виде Хг Х (Хо Г) Хо Х-г (Хг () (6 5) Пусть фазовые точки Х', заключенные в фазовую гиперповерхность, охватывающую область б„образуют в момент Г, = О фазовый объем Г,= ~ йХ. (6.6) а, 44 В последующий момент г гиперповерхность О, деформируется в гиперповерхность, охватывающую область Оь и заключенный ею объем Г, можно записать в виде (6.8) то 0 (1) = 1, так как 0 (1) = 0 (О) = ! и, следовательно, Г, = Г,.

(6.9) Докажем правильность утверждения (6.8). Обозначим элементы якобиана 0 через а;ы соответствующие миноры — через Рм, т. е. положим дХ) дО дХ' '"' да. — — 'г а — =Ръ. ь И Тогда в силу известных свойств любого детерминанта имеем У', Омам = Рбя. (6.10) Продифференцируем Р по времени. Очевидно, (6.11) С другой стороны, — „" = — „(,— ',) = —,х~.

(6.12) Но в силу уравнений Гамильтона все Х,' являются функ- циями только Х' и не зависят от 1 явно. Следовательно, (6.12) можно записать также в виде дам дХ, дХ~ дХ', (6.13) Г,= ~ г(Х'= ~ ( ~ т " ам) ~(Ха ~ 0дХо (6.7) д(Х;, Х,;, ..., Х,'„) О оО Чтобы доказать теорему Лиувилля, достаточно показать, что функциональный определитель Р не зависит от времени. Действительно, если ж) 0) — =О, Ф Подставляя (6.13) в (6.11), получаем е — — ~~1,у ~~~~ Еггьам —, = ~~) ~е —, ~1 агеЕ1гэ. Откуда, воспользовавшись (6.10), имеем бн ер ах, с=~ (6.

14) Из этого равенства в силу (6.3) получаем (6.8), что и требовалось доказать. Теорема Лиувилля явно или неявно используется во многих доказательствах классической статистической механики. Особую роль она играет в статистической теории неравновесных процессов. Рассмотрим некоторые важные следствия, получаемые непосредственно из теоремы Лиувилля. % 7.

Воаераткак теореееа Пуанкаре к Вермеле * В принципе возможны физические системы, не имеющие минимальной энергии. Для таких систем донвзываемзя ниже теорема Пуанкаре и Цермело вообще не верна. Вопрос о возможноств построения статистической механики и термодинамики систем с неограниченной минимальной энергией будет специально рассмотрен в гл. НП. 4е В статистической механике рассматриваются только такие механические системы, у которых полная энергия не может быть меньше некоторого конечного минимального значения *. Как правило, рассматриваются также лишь пространственно ограниченные системы.

Такие системы имеют конечной величины фазовый объем Г (Е) фазового пространства, заключенного в гиперповерхность заданной энергии Н (Х) = Е, и конечную площадь этой гиперповерхности. Для такого типа систем доказывается возвратная теорема, согласно которой практически любая фазовая точка по истечении достаточно большого промежутка времени возвращается сколь угодно близко к своему исходному положению.

Точнее доказывается следующее положение: число фазовых точек, покидающих при своем движении заданный фазовый объем и и не возвращающихся в него, с течением времени будет меньше любой сколько-нибудь заметной доли полного числа фазовых точек. Докажем это положение. Рассмотрим фазовый ансамбль, все точки которого не выходят за пределы гиперповерхности заданной энергии, охватывающей конечный фазовый объем 6.

Выделим внутри этого объема некоторую фиксированную поверхность о, ограничивающую малый объем д. Рассмотрим фазовые точки, вытекающие через поверхность о из объема а. Скорость перемещения фазовой точки по фазовой траектории зависит только от фазовых координат, поэтому число точек, вытекающих в единицу времени через фиксированную поверхность а, не зависит от времени. Обозначим через д' объем, занимаемый фазовыми точками, которые вытекают в единицу времени из фазового объема а, не возвращаясь в него вновь.

За время Т из объема а вытекает д'Т объемов фазовой жидкости *. Поскольку вытекший объем й'Т, по предположению, не возвращается более в объем д, то он должен заполнять остальную часть полного фазового объема гг. Фазовая жидкость несжимаема, поэтому вытекший из д объем д'Т не должен превышать объем, в который он вытечет, т. е. Тй'<а — д<О. (7.1) Объем 6 конечен, поэтому при конечном д' это неравенство может быть удовлетворено только для конечного времени Т. Если же Т-» о, то неравенство (7.1) удовлетворяется лишь при а' -» О, что и требовалось доказать. Теорема Пуанкаре и Цермело имеет большое принципиальное значение, ибо она доказывает, что любой необратимый процесс не является абсолютно необратимым и что возможны спонтанные возвраты адиабатически изолированной системы в любое исходное состояние.

Эта теорема вскрывает сущность противоречия между макроскопической необратимостью и микроскопической обратимостью, ибо она доказывает, что макроскопическая необратимость может иметь место лишь для ограниченных интервалов времени. Временные промежутки, для которых господствует макроскопическая необратимость, т. е. верен закон во возрастания энтропии — ) О, могут быть чрезвычайно вг ' Очевидно, в силу иесжимаемости фазовой жидкости такое же ее количество втечет через другие части поверхности о. 47 большими, однако в принципе для еше больших промежутков с неизбежностью должны иметь место возвраты к исходному состоянию, т. е. восстанавливается обратимость, заложенная в микроскопических законах движения.

% 8, Уравнение двнменвя статнстнчеснета ансамбля Статистический фазовый ансамбль описывается фазовой плотностью вероятности ш (Х, т). Для решения неравновесных задач статистической механики важно уметь находить ш (Х, г) в произвольный момент( по заданной начальной функции ш (Х, 0) в момент г = О. Иначе говоря, необ- ходимо найти уравнения "г движения, которым подчиняется функция ш (Х, г).

Рассмотрим ансамбль ЮО фазовых точек, заключен- ных внутри области 6, в х, момент г = О. В момент Г, отличный от нуля, все фазовые точки переместятся по фазовым траекториям и Рис. з займут некоторую новую область 6, (рис. 5), причем в силу теоремы Лиувилля объемы этих областей Г, и Г, одинаковы. В силу взаимно однозначного соответствия всех точек области 6, со всеми точками области 6, вероятность нахождения системы в области 6, в момент г = 0 равна вероятности ее нахождения в области 6, в момент г, если в промежуточные моменты не производились какие-либо измерения, переоценивающие вероятность обна ружения фазовой точки, Поскольку это утверждение справедливо для сколь угодно малых значений фазовых объемов, постольку в силу теоремы Лиувилля (т.