Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973).djvu), страница 5

Это определение предполагает некоторую физическую систему, которая в процессе своего внутреннего движения обязательно проходит через все возможные физические 23 состояния. Следовательно, применяя временнбе определение вероятности к какой-то конкретной физической системе, мы фактически выдвигаем дополнительную гипотезу, что эта система обладает свойством проходить с течением времени через все возможные состояния. Аналогичный недостаток имеет и «частотное» определение вероятности, согласно которому «вероятность пропорциональна частоте появления определенного события при многократном осуществлении опыта в одних и тех же условиях».

Это определение предполагает существование частотного предела и возможность неограниченного повторения опыта в неизменных условиях. Таким образом, испытуемая система наделяется некоторыми особыми свойствами, неизменными в течение неограниченного отрезка времени, Такое определение (так же как и временное), очевидно, мало пригодно для случайных процессов с быстро изменяющейся во времени вероятностью. Мы будем заниматься статистической теорией как равновесных, так и неравновесных процессов, для которых вероятность должна меняться со временем, поэтому мы не будем пользоваться ни временным, ни частотным определениями вероятности и используем лишь классическое определение, ближе всего стоящее к общему определению вероятности как меры возможности.

Иначе говоря, нам придется вводить априорные вероятности, которые необходимо будет угадывать, исходя из общих соображений симметрии, однородности и т. п., не ссылаясь при этом на какие-то практические неосуществимые «частотные» илн «временные» мысленные эксперименты, т. е. мы будем поступать так, как это фактически всегда делается в физических статистических теориях: вводить некоторые априори очевидные вероятности элементарных событий н, затем, сравнивая следствия полученной теории с экспериментом, убеждаться в правильности (или ошибочности) сделанного выбора априорных вероятностей.

Перейдем к краткому обзору основных представлений, понятий и теорем теорий вероятности, которые мы будем применять в нашем курсе е. * Цель этого обзора лишь напомннть некоторые необходимые нам основные представления, понятия и теоремы теории вероятностей. Он не предназначен в какой бы то мере для первоначального изучения теории вероятностей.

Для более подробного ознакомления тех, кто недостаточно знаком с этой теорией, мы отсылаем к извесгным учебннкам теории вероятностей (см., например, Б. В. Г н е д е н к о. Курс теории вероятностей. М. «Наука», 1969). 24 Для случайной величины х отсюда следует, что вероятность события, прн котором х принимает одно из значений хы х(,.„..., х„,.„, равна а (.н У Ж'(х(). (2.8) В силу сложения вероятностей для непрерывной случайной величины можно ввести понятие плотности вероятности, определив вероятность того, что х лежит в интервале х —: х + ((х, выражением (ЙГ(х) = п)(х)((х.

(2.9) Здесь п)(х) есть плотность вероятности, которая задает непрерывную случайную величину х аналогично выражению (2.6), введенному для дискретной случайной величины. Условие нормировки. Поскольку для случайной величины х„х„х,, ... представляют полный набор всех ее возможных значений, постольку при любом испытании одно из этих значений будет непременно обнаружено, т. е, сумма всех событий х = х„х = х„х = х„... является достоверным событием. Следовательно, в силу (2.3) (2.7) и (2.8) имеем (2.10) где символ (й) под знаком суммы означает, что суммирование ведется по всем возможным значениям индекса й. Для непрерывной случайной величины х условие нормировки (2.10), очевидно, должно быть записано в виде ~ п)(х)((х=1, (2.

11) (к) где символ (х) под знаком интеграла, аналогично (2. 1 О), означает, что интегрирование ведется по всем возможным значениям величины х. Условие нормировки (2 . 1 О), (2 . 1 1 ) позволяет нз относительных вероятностей, т. е. вероятностей, определенных с точностью до постоянного множителя, получать абсолютные численные значения вероятностей. Умножение вероятностей.

Если под произведением или совмещением событий А В понимать такое событие, когда совместно наступают оба события: как А, так и В, н если эти события статистически независимы, т, е. вероятность наступления одного не зависит от того, осуществилось или не осуществилось другое, то Р (А В) = Р(А) Р(В), (2.12) т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей. Для независимых случайных величии х и у, согласно (2.12), имеем Ю'(хь уь) = К(х;) Ю'(у,) (2.13) или для непрерывных независимых случайных величин в(х, у) = в(х) ы(у). (2.14) хьР„ ив (2.15) или для непрерывной величины х= ~ хю(х) с(х. ов (2.16) Если функция в(х) обладает единственным, достаточно острым максимумом, то среднее значение практически будет совпадать с фактически наблюдаемым в отдельных испытаниях. Таким образом, в ряде случаев статистическое среднее случайной величины может достаточно точно изображать ее истинное поведение.

Уклонения от средних. Для того чтобы оценить, насколько истинное значение случайной величины укло- Если величины х и у рассматривать как отображающие порознь некоторые подсистемы общей физической системы, описываемой всей совокупностью величин х, у, то, согласно (2.13), (2.14), вероятность общей системы определяется вероятностями подсистем, если эти подсистемы статистически независимы, т. е. между ними не существует физических взаимодействий. В противном случае, при наличии взаимодействий, обусловливающих статистическую зависимость, формулы (2.13), (2.14) не верны и по вероятностям подсистем в общем случае нельзя определить вероятность для всей общей системы, Средние значения случайных величин. Статистическое среднее значение случайной величины х или ее математическое ожидание определяется для дискретной величины, как няется от ее статистического среднего, необходимо опреде- лить среднее отклонение случайной величины от ее среднего значения.

Это среднее уклонение можно определить, на- пример, как )х — х ~= У',) хь — х).Р,. и) (2.17) Определенная таким образом величина называется средним абсолютньгм уклонением. Однако для оценки среднего ук- лонения предпочитают пользоваться средним квадратич- ным уклонением, определяемым как д (х) — )г' (х — х)» = )/ (Лх) з. Величину (2.18) Лз (х) = (х — х)' =.'у (х) (2.19) называют дисперсией случайной величины х.

Раскрывая знак усреднения посредством (2.15) илн (2.16) легко показать, что Лз (х) = х' — х'. (2.20) (х — х), (2.21) * Такое название не совсем удачно, так как флуктуациями принято называть физическое явление беспорядочных отклонений физнческик величин от нк равновесных значений. Следовательно, флуктуаЧией логично называть отдельное, конкретное, случайное отклонение. Но тогда величину Л (х) надо рассматривать как количественную меру величины флуктуаций, т. е, как некоторое среднее значение возмож. нык флуктуаций.

Поэтому название «флуктуация» для величины Лх может быть оправдано только тем, что оно короче более точного термина «среднее квадратичное уклонение». 28 Величину Л(х) физики иногда называют флуктуацией величины х '. В большинстве случаев кривая плотности вероятности гн(х) имеет достаточно гладкий колоколообразный вид. В этих случаях математическое ожидание и дисперсия грубо, но в то же время достаточно полно характеризуют функцию ы»(х); х — является как бы «центром тяжести» этой функции, а Л(х) оценивает ее «ширину». В более сложных случаях при заметных отклонениях от колоколообразной формы этих параметров уже оказывается недостаточно для характеристики вида функции гн(х). В этих случаях необходимо знать моменты более высокого порядка, т.

е. величины называемые центральными моментами й-го порядка, или величины х", (2.22) именуемые начальными моментами я-го порядка. Согласно этой терминологии математическое ожидание является начальным моментом первого порядка, а дисперсия — центральным моментом второго порядка. Корреляции. Для статистически независимых случайных величин х и у в силу (2.13) и (2.14) имеем ху=х у, (2.23) откуда (х — х) (у — у) = О. (2.24) (х — х) (у — у) эх О.

(2. 25) Таким образом, величина (х — х) (у — у) может рассматриваться как степень зависимости или корреляции случайных величин. По аналогии с наименованием «флуктуация» для величины Л(х) = )' (х — х)' величину (х — х) (у — у) можно назвать «корреляцией» случайных величин х и у. Наиболее удобной мерой корреляции двух случайных величин считается «коэффициент корреляции», определяемый как (х — х) (у — у) )« (х, у) = . г 1 (х — х) (у — у) (2.26) Более тонкие эффекты статистической зависимости случайных величин могут быть, очевидно, учтены корреляционными моментами вида (х — х)" (у — у)".

(2.27) Неравенство Чебышева. Вероятность события, при котором случайная величина окажется превосходящей произвольное положительное число а, удовлетворяет следующему неравенству: )у'(х)а) =-- — „ впервые полученному Чебышевым. (2.28) Для статистически зависимых случайных величин эти соот- ношения не имеют места, т.