Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 151

Разность й — й' прн этом тоже мала (я — й' « й), н потому Ев Ео=~,„(й й ) „, й(й ш)=йо(/] ш). Минимальное значение д] Еш ЕО йш1п = (148, 11) Прн малых углах можно еще различать различные области в зависимости от соотношения между малыми величинами 6 и о,/о (о, — величина порядка скорости атомных электронов). Если рассматривать передачи энергии порядка энергии е, атомных электронов (ń— Е, — е, п]о',), то при (о,/о)' « й « 1 ]т = /]й = о]о/йд (148,12) (первый член под знаком корня в (148,10) может быль опущен по сравнению со вторым); следовательно, в этой области углов д не зависит от величины передаваемой энергии. При 6 « 1 величина д может быть как большой, так и малой по сравнению с 1/ц, (где а, — величина порядка атомных размеров).

При том же предположении о величине передаваемой энергии имеем да ! при 6 о,/о. (148, 13) Вернемся теперь к исследованию общей формулы (148,9) и рассмотрим случай малых ]7 (да, « 1, т. е. д « о„/о), В силу малости б имеем из (148,7) 45 ж (й — й')5 -1- (йб)5 и, окончательно, 4 = фт/( "„„') +(ЬЪ)'. (148,10) неуппугие стОлкновения !гл. хугн 722 В этом случае можно разложить экспоненциальные множители по степеням ср е ч" ж 1 — сс)г, = 1 — сс)х, (ось х вдоль вектора й). При подстановке этого разложения в (148,9) члены с 1 дают нуль в силу ортогональности волновых функций тра и зр„и мы получим сЬ„= 8п( —,) — )(и!с(„~0) !' = ( — „„) !(п'!с( !О) !з —,, (148,14) где с(„= е~х, — компонента дипольного момента атома. Мы видим, что сечение рассеяния (при малых д) определяется квадратом модуля матричного элемента дипольного момента для перехода, соответствующего изменению состояния атома ').

Может, однако, оказаться, что матричный элемент дипольного момента для данного перехода тождественно исчезает в силу правил отбора (запрещенный переход). Тогда разложение ехр ( — пйг,) надо продолжить до следующего члена и мы получим с(п = 2п( — „) ~(п ~ ~ хе~0)! сусй!. (148,15) !зассмотрим теперь противоположный предельный случай больших с) (суао )) 1). Большие с) означают, что атому передается импульс, большой по сравнению с собственным первоначальным импульсом атомных электронов. Физически заранее очевидно, что в этом случае можно рассматривать атомные электроны как свободные, а столкновение с атомом — как упругое столкновение падающего электрона с первоначально покоившимися атомными электронами. Это видно также н из обшей формулы (148,9).

При больших с! подынтегральное выражение в матричном элементе содержит быстро осциллирующие множители ехр ( — сс)г,) и интеграл не близок к нулю, только если тр„содержит такой же множитель. Такая функция тр„соответствует ионизированному атому с электроном, вылетевшим из него с импульсом — йй = р — р, определяющимся просто законом сохранения импульса, как это было бы при столкновении двух свободных электронов. При столкновении с большой передачей импульса оба электрона (падающий и атомный) могут в результате приобрести сравнимые по величине скорости. В связи с этим становятся существенными не принятые во внимание в общей формуле (148,9) обменные эффекты, связанные с тождественностью сталкивающихся частиц.

Сечение рассеяния быстрых электронов с учетом обмена определяется формулой (137,9); эта формула относится к системе коорди- '! сризический интерес представлнет обмчио сечение сСоп, просуммированное по всем направлениям момента атома в конечном ссстоийин и усредненное по направленинм момента в начальном состоинии. После таного суммировании и усреднении квадрат !(и !сС„ !О )1т увсе ие зависит от иаираиленив оси л.

$ Ыв] СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ Тхз наг, в которой один из электронов до столкновения покоился. Для быстрых электронов косинус в последнем члене в (137,9) можно заменить единицей. Умножив также на число Е электронов в атоме, получим сечение столкновения электрона с атомом в виде с(о = 4Я ~в:,Я) (-мйт--+ —,б — .В.бом.„) соз()1)о. (148,18) В этой формуле удобно выразить угол рассеяния через энергию, приобретаемую электронами после столкновения. Как известно, при столкновении частицы с энергией Е = тот~2 с покоящейся частицей той же массы энергия частиц после столкновения равна е = Е з!п' 6, Š— и = Е созе д. Для того чтобы получить сечение, отнесенное к интервалу 0е, выражаем по через 118 согласно соотношению соз й с(о = 2п соз д яп б 8(б = (и/Е) аа.

Подстановка в (148,16) приводит к окончательной формуле Если одна нз энергий в или Š— е мала по сравнению с другой, чо из трех членов в этой формуле существен лишь один (первый или второй). Это соответствует тому, что при большой разнице в энергиях обоих электронов обменный эффект несуществен и мы должны вернуться к обычной формуле Резерфорда '). Интегрирование дифференциального сечения по всем углам (или, что то же, по 8й)) дает полное сечение о„столкновения а возбуждением данного состояния атома. Зависимость о„от скорости падающего электрона существенно связана с наличием или отсутствием матричного элемента дипольного момента атома для соответствующего перехода.

Предположим сначала, что этот элемент отличен от нуля. Тогда при малых д сечение 8(а„определяется формулой (148,14) и мы видим, что с уменьшением д интеграл по 8й7 логарифмически расходится. В области же больших д сечение (при заданной передаче энергии ń— Е,) экспоненциально убывает с увеличением д в связи с уже отмечавшимся наличием в подынтегральном выражении матричного элекеента в (148,9) быстро осциллирующего множителя. Таким образом, основную роль в интеграле по аф играет область малых д, и мы можем ограничиться интегрированием от минимального значения ды, (148,11) до некоторого значения 1/а . В результате получим а„= 8л ~ — „) 1(л181„!О) !в!и (()и — ", ), (148,18) ') Для столкиовеиия повитроив с втолюм обменный вффект вообпее отсутствует, и формулв Реверфорхв нов = (псе'7Е) Ж788 имеет место при всех Ч л.

1Э !/ац, (гл. хугн НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 724 где р„— безразмерная постоянная, которая не может быть вычислена в общем виде '). Если же матричный элемент днпольного момента обращается для данного перехода в нуль, то интеграл по дд быстро сходится как прн малых (как это видно нз (148,15)), так н прн больуцнх и, Основной для интеграла является в этом случае область д 1/а . Общая количественная формула здесь не может быть получена, н мы можем лишь заключить, что о„будет обратно пропорционально квадрату скорости: сопз1 пн =,а (148,19) Это следует непосредственно нз общей формулы (148,9), согласно которой г(о„прн д 1/а, пропорционально и '.

Определим сечение до„неупругого рассеяния в данный элемент телесного угла вне зависимости от того, в какое состояние переходит атом. Для этого надо просуммировать выражение (148,9) по всем п ~ О, т. е. по всем состояниям атома (кзк дискретного, так н непрерывного спектров), за исключением нормального. Мы нсключнм нз рассмотрения область как больших, так н совсем малых углов н будем считать, что 1 )) 6 )) (и,/и)'.

Тогда, согласно (148,12), о не зависит от передаваемой энергии в). Последнее обстоятельство позволяет легко вычислить полное сечение неупругнх столкновений, т. е. сумму г(О, = о~~хе(о„=8п(а ) ~ ~~п мо «чьо) ч = (Ю)'Х ~;""/а) ("/Х "" 0 —. (148,20) «мо Для этого замечаем, что для всякой величины / имеем по правилу умножения матриц Е !/.»!'= Е/" (/-)*= Е/" (/')--(/1') . Суммирование производится здесь по всем л, включая л = О. Поэтому Е!/..!'= Е)/..!'-)/..! =(/Г)..-!/..!'. (14821) Ма л ') Мы считаем, что Е» — Е, порядиа энергии атомных электронов ее. Прн больших передачах внергии (Еп — Ее Е Ъ ае) формулы (148,14) (148,18) все равно неприменимы, так как матрйчный элемент дипольного момента становится очень малым и нельзя ограничиваться первым членом разложения по О. ') Суммирование в (148,9) происходит и по состояниям с ń— Ее р ео, для которых (148,12) не имеет места.

Однако для переходов с большой передачей энергии сечение сравнительно мало, н эти члены играют малую роль в сумме. Условие й ~ 1 позволяет не учитывать обменных эффектов. $ ЫЬ1 СТОЛКНОВЕНИЯ ВЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ Тэз Применив это соотношение к / = ~ е ч'', получим до„= ( —,) ((~ ~~ е ч' ~ ) — ~(Ее еи )~ ~ —, (148,22) где (...) означает усреднение по нормальному состоянию атома (т.

е. взятие диагонального матричного элемента 00). Среднее значение (~е '"' ) есть, по определению, атомный фактор г' (д) атома в нормальном состоянии. В первом же члене в фигурных скобках можно написать ! г — гзг ( ~+ ~ 1Ч (г — гь) д г ачаЬ (148,24) Интересно сравнить это выражение о сечением (139,5) упругого рассеяния при малых углах; в то время как последнее не зависит от д, сечение неупругого рассеяния в элемент телесного угла г(о растет о уменьшением д как 1/д'. При углах 1 )г д )) ць/о (так что даь )) 1) второй и третий члены в фигурных скобках В (148,23) малы, и мы имеем просто г(а, л ( — ь) —,, (148,25) т. е. резерфордовское рассеяние на г.