Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 146

Бором (193б). е) В число конкурирующих процессов входит также радиационный аахват падающей частицы, при котором воабужденное составное ядро переходит в свое есиовиое состояняе, яснуская у-квант. Этот процесс тоже «медленеиъ ввиду сравни. тельно малой вероятности иалучательного перехода. [гл хчпг ниупругив столкноввния ния. По той же причине амплитуды процессов неупругого рассеяния, происходящих через стадию образования составного ядра, имеют чисто резонансный характер. При этом резонансные зна. менатели всех амплитуд, связанные с обращением в нуль коэффициента при сходящейся волне при Е = Е, — 1Г/2, сохраняют свой прежний вид (Š— Е, + 1Г/2), где Г по-прежнему определяет полную вероятность распада (любого) данного квазистационарного состояния составного ядра.

Эти соображения, вместе с условием унитарности, которому должны удовлетворять амплитуды рассеяния, достаточны для установления их вида. Вычисления удобно производить в симметричном виде, перенумеровав все возможные каналы распада составного ядра и не фиксируя заранее, который из них будет являться для данной реакции входным (индексы, указывающие номер канала, будем обозначать буквами а, Ь, с, ...). Далее, будем рассматривать парциальные амплитуды рассеяния, отвечающие тому значению 1, которым обладает данное квазистационарное состояние '). В соответствии со сказанным выше будем искать эти амплитуды в виде (145, 1) (индекс 1 у постоянных 6, и М,ь для упрощения записи опускаем).

Первый член здесь присутствует лишь при а = Ь; он представляет собой амплитуду потенциального упругого рассеяния в канале а (постоянные 6, совпадают с фигурирующими в формуле (134,12) фазами 6)ю). Второй же член в (!45,!) отвечаев резонансным процессам. Форма записи коэффициента при резонансном множителе в этом члене выбрана так, чтобы упростить результат применения условий унитарности (см. ниже). Поскольку мы рассматриваем рассеяние при заданном значе. нии абсолютной величины орбитального момента, т.

е. величины, не меняющей знака при обращении времени, теорема взаимности (симметрия по отношению к обращенгпо времени) выражается просто симметричностью амплитуд Я> по индексам а, Ь. Отсюда следует, что должны быть симметричными также и коэффициенты М,ь (М,ь = Мь,). Условия унитарности для амплитуд ф гласят: 1ш ггаь = Е йс)ае !ье (145,2) х) Мы будем отвлекаться сначала от усложняющего влняння спвнов участвующнх в процессе частнц. ФОРмулы БРвитА и ВигнвРА $ !461 701 (ср. (144,8)). Подставив сюда выражения (145,1), получим после простого вычисления Ь! ~ А'асх'Ьс !Иаь А~ сЬ с Е Ес Л Е Ес + — ЬГ (Е Ес)с+ — Га ! ! 2 2 О я с 4 Для того чтобы это равенство выполнялось тождественно при произвольной энергии Е, прежде всего должно быть М,ь = М;ь, ч. е'.

величины М,ь вещественны. После этого найдем, что МаЬ = Е МасМЬсс с (145,3) т. е. матрица коэффициентов М„совпадет со своим квадратом. Симметричная вещественная матрица М,ь путем надлежащего линейного ортогонального преобразования 0 может быть приведена к диагональному виду. Обозначив диагональные элементы (собственные значения) матрицы посредством М!">, напишем это преобразование в виде Е (1 (1ЬЬМаь ™ !баа а,Ь причем коэффициенты преобразования удовлетворяют соотноше. ниям ортогональности Еи„,и„,=б, (145,4) с Обратно М.

= Е и..и.ьМ!.!. (145,5) Соотношения (145,3, приводят для собственных значений М! > к условиям М'"! = (М!"!)', откуда следует, что эти значения могут быть равны лишь О или 1. Если из всех М! ! отлично от нуля лишь одно (пусть М<'> = 1), то из (145,5) имеем М„= и,.и,„, (145,6) т. е. все элементы матрицы М,ь выражаются через набор вели. чин (!Ра (а = 1, 2, ...). Если же отличны от нуля несколько значений М!а), то элементы М„ь представляются в виде сумм членов, выражающихся через различные наборы (/„, 0„, ... величин, связанных друг с другом лишь соотношениями ортогональности, а в остальном независимых. Такой случай соответ. ствовал бы случайному вырождению, когда одному и тому же квазндискретному уровню энергии отвечает несколько различных ниупругнв столкноввния !гл хо пи рой квазистационарных состояний составного ядра ').

Отбрасывая эти не представляющие интереса случаи, т. е. рассматривая невы- рожденные уровни, мы приходим, следовательно, к выводу, гго элементы матрицы М,„представляют собой произведения величин, каждая из которых зависит от номера лишь одного из каналов. Введя обозначение перепишем формулу (145,6) в виде М ~ ! )лгь (! 45,7) (знак М,а зависит от знаков У„и 0,ь и остается неопределенным).

В силу равенства,'~„Уы0„= 1 введенные таким образом величины Г, удовлетворяют соотношению ЕГ.=Г. (145,8) а Их называют парциальными ширинами различных каналов. Формулы (145,1), (!45,7), (145,8) устанавливают искомый общий вид амплитуд рассеяния. Перепишем теперь окончательные формулы, фиксируя один из каналов как входной '). Парциальную ширину этого канала обозначим как Г, (упругая ширина), а ширины, отвечающие различным реакциям, — как Г,„Г,„...

Полная амплитуда упругого рассеяния Р, (О) = )то) (О) — — ' ) гт'е' Р, (соз О), (145,9) Š— Ее -)- — гк 2 где й — волновой вектор падающей частицы, а )ю> — амплитуда потенциального рассеяния. Эта формула отличается от выражения (134,12) заменой Г в числителе резонансного члена на меньшую величину Г,. Амплитуды неупругих процессов имеют, как уже указывалось, чисто резонансный характер.

Дифференциальные сечения: (Е Ео) + 4 ') Это в особенности ксив видно в случае, когда все Мпх) !. Из ()45,4), (145,5) следует, что тогда и М„з = 5 а, т. е. переходы между разлнчиымн каналамн вообще отсутствуют. Другимн словами, втот случай соответствовал бы нескольким независимым квазидискретным состокниим, каждое из которых осупзествлкетсв прн упругом рассеинив в одном из каизлов. ') Этн формулы были впервые получены Брейпюм и Внснерол (С. Вней, Е. и'щлгг, 1936).

фоямялы ванина и вигнввл тоз $ !45! (145,13) (!45,!5) л Г, о (145,16) (Е Еа)о + Го 4 Полное сечение как упругого, так и неупругого рассеяний ири этом равно ГГ л ое+ ое оо (145,17) !Š— Ео)о+ — Го 4 а интегральные сечения о, = (2!+ 1) — ", ', . (145,11) (Š— Еа)' + — Г' 4 Суммарное сечение всех возможных неупругих процессов о, = (2!+ 1) —,, ' ', (!45,12) (Š— Ео)а + — Го где Г„= à — Г, — полная «неупругая ширина» уровня.

Представляет также интерес значение сечения реакций, проинтегрированное по области энергий вокруг резонансного значения Е = Е,. Поскольку о, быстро падает при удалении от ре. зонанса, интегрирование по Š— Е, можно распространить от — оо до со, и мы получим о, «)Е = (2! + Ц вЂ” — ', ' . 2ло Гег, При рассеянии медленных нейтронов (длина волны велика по сравнению с размерами ядра) существенно лишь з-рассеяние и амплитуда потенциального рассеяния сводится к вещественной постоянной — а. Вместо (! 34,14) имеем теперь )а а (145, 14) 24 (Š— Ео + — ег) Полное сечение упругого рассеяния равно л Ге + 4ооеоге (Е Еа) о = 4лааа+— ло (Š— Еа)о+ — Го 4 Член 4пао можно назвать сечением потенциального рассеяния.

Мы видим, что в резонансной области имеет место интерференция между потенциальным и резонансным рассеяниями. Лишь в непосредственной близости уровня (Š— Е, Г) может оказаться воз. можным пренебречь амплитудой а (напомним, что ~ ай ( (( 1), н тогда формула для сечения упругого рассеяния медленных нейтронов принимает вид (гл. хчп! НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ т04 В условиях, когда можно пренебречь потенциальным рассея. вием, сечения о„о,, можно представить в виде Г, Гся О,=О,— ',, О, =О,— „'. га Величину а, — сумму сечений всех возможных резонансных про. цессов — можно при этом рассматривать как сечение образования составного ядра.

Сечения же различных упругого и неупругих процессов получаются умножением о, на относительные вероятности того или иного распада составного ядра, которые даются о-иошениями соответствующих парциальных ширин к полной ширине уровня. Возможность такого представления сечений возникла как следствие факторизации (распадения на множители) коэффи. цнентов М„ в числителях амплитуд рассеяния. Оно соответствует физической картине процесса столкновения, как происходящего в две стадии: образования составного ядра в определенном квази.

стационарном состоянии и его распада по тому или иному каналу '). Как уже было указано в 5 134, область применимости рас. сматриваемых формул ограничивается лишь требованием, чтобы. разность (Š— Е, 1 была мала по сравнению с расстоянием 0 между соседними квазиднскретными уровнями составного ядра (с одинаковыми значениями момента). Там же, однако, было указано, что в таком виде эти формулы не допускают перехода к пре.