Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 150

Ниже порога величина )ь вещественна, так как вещественна волновая функция Йь — решение вещественного уравнения Шредингера при вещественном условии на бесконечности (убывание как е "ь', где мь =т'з .7~.— зтаЬ в,.р °, -р-.~ з ) 3„) = 1. Отсюда следует, что дробно-линейная функция 3„(Х) должна иметь вид 1 + ()а тгч За = е а 1 ) Яиай (147,12) где т) — вещественная, 1) — комплексная постоянная. Определим величину )ь как функцию импульса йь. Поскольку между частицами А и В действуют силы кулонова притяжения, то гК»' дается кулоновой волновой функцией, асимптотически пропорциональной на бесконечности е' ь'. В кулоновом поле отталкивания эта функция дается суммой бе + (Ре с 0ь и ге из (138„4) и (133,?).

Переход же к полю притяжения осуществляется одновременным изменением знаков й и г '). Произведя эту замену и вычислив логарифмическую производную (см. 2 138), получим ') Здесь йь предполагается вещественной величиной, так что эта формула относится к области выше порога. При йь — 0 первый ь) Ниже мы пользуемся кулоновымн единицами. Изменение знаков й и е формально соответствует изменению знака кулоновой единицы длины. ') В фигурных скобках опущена, для упрощения дальнейших формул, ие зависящая от йь вещественная постоянная ( — 1п 2г„— 2С), что сводится лишь к несущественному переопределению номплексной величины () и вмдественной величины Ч в (!47,12).

постоянными, не зависящими от йь. Разделив почленно первую и вторую пару написанных равенств, мы получим систему двух линейных уравнений для двух неизвестных (а,/ая и Я„), причем в коэффициентах этих уравнений фигурирует лишь одна величина, екритически» зависящая от йь — логарифмическая производная от расходящейся волны в канале Ь; определим эту величину как й ыт1 попадании сичвнии вилизн порога гвакцин 7ГУ член в (147,13) обращается в 1, а второй стремится к нулю (см. примечание на стр. 666). Таким образом, выше порога имеем Х=(, Е>Е,. (147,14) Переход к области ниже порога осуществляется заменой А на !х.

После этого получим из (147,13) при и- О') )ь= — с1д — „, Е(Е,. (147,15) Полученные формулы решают поставленный вопрос. Сечение упругого рассеяния о, = —, ~ 3„— 1 )я. й2 Выше порога имеем как и сечение реакции, сечение рассеяния оказывается в этой области постоянным. Отметим, что условие ~ Я ~„ .4 1 означает, что должно быть 1ш6 >О.

Ниже порога находим тсч Р— 12 (я/яь) р — 12 (я)м ) (147,17) я' Это выражение имеет бесконечное число резонансов, Рис. 51 сгущающихся по направлению к точке Е = Е,. Резонансные энергии являются корнями уравнения Е„= — 1, т. е. )чее ~ ~Д вЂ” 1к — ) = О; они смещены относительно чисто кулоновых уровней (корней УРавнениЯ 1д (и/кь) = О) благодаРЯ наличию коРоткодействУющих сил. По мере приближения энергии Е к порогу сечение упругого ! я т) Первый член в(!47,13) дает — — с)К вЂ” + —, а выражение в фи- 2 яь я я )п гуриых скобках обращается в — с12 — + —. При атом используется н„г Формула Ф (х) — Ф ( — х) = — я с!а их — 1)х (которую можно получить логарифмическим диФФеренпированием навестного соотношения Г (х) Г ( — х) — я/ха!пих) и предельное выражение Ф (х) яя !их — )/2х при х -е со.

ниупнугня столкновения 1гл. хи и 718 рассеяния осциллирует между нулем и 4л/й,', как это показано схематически на рис. 51. Ширина всей подпороговой области, в которой обнаруживается резонансная структура, определяется величиной энергии первого кулонова уровня '). й 148. Неупругне столкновения быстрых электронов с атомами Неупругие столкновения быстрых электронов с атомами могут быть рассмотрены с помощью борцовского приближения аналогично тому„как это было сделано в 9 139 для упругих столкновений ').

Условие применимости борновского приближения по- прежнему требует, чтобы скорость падающего электрона была велика по сравнению со скоростями атомных электронов. Что же касается потери энергии при столкновении, то она может быть любой. Если электрон тернет значительную часть своей энергии, то это приводит к ионизации атома, причем энергия передается одному из его электронов. Но мы всегда можем считать рассеянным тот из обоих электронов, который имеет после столкновения ббльшую скорость, и, таким образом, при большой скорости падающего электрона будет велика также и скорость рассеянного. При столкновениях электрона с атомом систему координат, в которой покоится их центр инерции, можно считать, как уже указывалось, совпадающей с системой, в которой покоится атом, ниже мы будем говорить именно об этой последней системе.

Неупругое столкновение сопровождается изменением внутреннего состояния атома. Атом может перейти из нормального состояния в возбужденное состояние дискретного или непрерывного спектра; в по леднем случае это означает ионизацию атома, Прн выводе общих формул эти случаи можно рассматривать вместе. Исходим (как и в $ 126 из общей формулы для вероятности перехода между состояниями непрерывного спектра, применяя ее ') Упомянем еще одна интересный случай околопороговых реакций — ионизация атома электроном, энергия которого лишь немного превосходит энергшо первой новизацин атома.

В этих условиях процесс столкновения может рассматриваться как квазиклассический, ио задача очень усложняется наличием трех заряженных частиц в конечном состоянии. Общее решение этой трудной задачи дано Веянье 10. Н. йгалгяег, Рьуз. ))ет, 90, 8!7 11983)). Вероятность нонизации нейтрального атома оказывается пропорциональной: 7)а где где Š— г — избыток энергии электрона над порогом иоиизацни. е) Большинство результатов, излагаемых в 4 148 †1, было получено Веще 1Н. А.

Веейе, 1930). ! ыа! столкновения выстгых электгонов с атомами т!В к системе, состоящей из падающего электрона и атома. Пусть р, р' — импульсы падающего электрона, а Е„, Е„ — энергии атома соответственно до и после столкновения. Для вероятности пере- хода имеем вместо (126,9) выражение и"ъ" а !(л, р'~У!О, р>!'8(, ч + ń— Еа) злая т(148,1) где матричный элемент берется от энергии взаимодействия падйющего электрона с атомом х ге с (! = —— 1г га! а=! (г — радиус-вектор падающего электрона, г, — атомных электро. нов, начало координат выбрано в ядре атома; т — масса электрона).

Волновые функции фр, фр электрояа определяются прежними формулами (126,10), (126,11); тогда йо есть сечение столкновения г(о. Волновые функции атома в исходном и конечноМ состояниях обозначим посредством фя, ф„. Если конечное состоя. иие атома относится к дискретному спектру, то ф„(как и фч) нормирована обычным образом на единицу. Если же атом переходим в состояние непрерывного спектра, то волновая функция нормируется на 6-функцию от параметров т, определяющих эти состояния (этими параметрами могут быть, например, энергия атома, компоненты импульса вылетевшего из атома при ионизации электрона). Получающиеся в результате сечения определяют вероятность столкновения с переходом атома в состояния непрерывного спектра, лежащие в интервале значений параметров между т и т + сЬ.

Интегрирование в (148,!) по абсолютной величине р' дает сЬ„= — ~„, ~(пр'~У)Ор>~'Но', где р' определяется нз закона сохранения энергии >з аз = Еп — Еа. (148,2) 4юАи ~)) ф фапто~'~ по (148,3) Подставив в матричный элемент волновые функции электрона из (126,10), (126,! 1), получим НЕУПРУГНЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 720 'гтл ХУН1 (дт = с(1'тс(ув ... д)гх — элемент конфигурационного пространства 3 электронов атома, штрих у с(о опускаем) ').

При п = О и р = р' (148,3) переходит в формулу для сечения упругого рассеяния. В силу ортогональности функций ф„и фе член в (/, содержащий взаимодействие Льл/г с ядром, исчезает при интегрировании по с(т, и, таким образом, имеем для неупругих столкновений е„-~~ ~ЬД вЂ” "чае етое. Реев )г — га) а Интегрирование по с('и' может быть произведено подобно тому, как это было сделано в 5 139. Интеграл е Ыг фч (га) = ) -~ — — — ~- сй' цовпадает формально с компонентной Фурье потенциала, создаваемого в точке г зарядами, распределенными в пространстве с плотностью р = Ь (г — г,). Поэтому по (139,1) находим (148,5) Подставив это выражение в (148,4), приходим окончательно к следующему общему выражению для сечения неупругих столкновений. сЬ.

= ('†„, ) , †, ~( п~ Е е " ~О)! с/о, (148,8) где матричный элемент берется по волновым функциям атома, а вместо импульсов введены волновые векторы й = р/й, й' = = р'/й. Эта формула определяет вероятность столкновения, при котором электрон рассеивается в элемент телесного угла с(о, а атом переходит в и-е возбужденное состояние. Вектор — йг) представляет собой импульс, передаваемый электроном атому при столкновении. При вычислениях бывает удобнее относить сечение не к элементу телесного угла, а к элементу г(е/ абсолютных значений вектора с).

Вектор с) определен как с) = й' — й; для его абсолютной величины имеем дз = й* -1- й" — 2йй' соз д. (148,7) т) В таком виде это есть общая формула теории возмущений, применимая не только к столкновениям электронов с атомом, но и к любым неупругим столкновениям двух частиц, определяющаи сечение рассеяния в системе координат, в которой покоится центр инерции частиц (щ есть тогда приведенная масса обеих истиц), $]ФВ] СТОЛшшоаЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ ТР] Отсюда при заданных й, й', т.

е. прн заданной потере энергии электроном, 17Й~ = яя 51П д ]Ю = — Но. (148,8) Поэтому формулу (148,6) можно переписать в виде 11О„= 8п ~ — ) —, ~ (и ~ ~ е пич ~ О) ~ (148,9) Вектор и играет существенную роль в дальнейших вычислениях. Рассмотрим подробнее его связь с углом рассеяния д и передаваемой при столкновении энергией Š— Е,. Мы увидим ниже, что основную роль играют столкновения, вызывающие рассеяние на малые углы (д « 1) с передачей энергии, малой по сравнению с энергией Е = то'/2 падающего электрона: Š— Е, « Е.