Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 144

видному результату; интенсивность волны затухает по закону ) е'ь' ) ехР 1х — — огг) . М гт' Наряду с поглощением комплексный показатель преломления (142,!8) определяет также (своей вещественной частью) закон преломления пучка при входе и выходе из рассеивающей среды '). Задача Нейтроны рассеивщотся тяжелым паром, прячем длина волны нейтронов мала по сравнению с радиусом а ядра (йо Ъ 1!. Предполагается, что зсе нейтроны, падающие с орбитальным момыпом1 ч.

Фа ж (з (т. е. с прицельным расстоянием р = П1/то = Йг(о), поглощаются ядром, а при 1) !а не взаимодействуют с иим вовсе. Определить сечение упругого рассеяния на малые углы. Р е ш е н и е. В указанных условиях движение нейтронов происходит в основном квиэпилассическнм обрвэзм, а упругое рассеяние представляет собой результат слабого отклонения, вполне аналогичного фраунгоферозской дифракцин света на черном шарике, Поэтому искомое сечение может быть написано не. посредственно по известному решению дифракционной задачи '): бо =поз г(о.

з'1 (йав! '! Интересный пример применении формулы (!42,17! представляет смещение высших уровней атома щелочного металла, погруженного в посторонний газ. В высоковозбужденном состонния валентиый злектрон находится на среднем расстоянии Г от центра атома, большом по сравнению с размерами а как атомного остатка, так н посторонних нейтральных атомов. Эгн последние атомы, нзкодящнеся внутри сферы радиуса Г, играют для налентного электрона роль центров рассеяния н приводят к сдвигу его уровня энергии иа величину (142,!7). При этом поскольку дебройлевская длина волны возбужденного иалеитного ° лектроиа томи веника по сравнению с а, амплитуда / (О, Е) яз -и, где ив дланя рассеяния (ср.

(!32,9!). Таким образом, указанный аффект прмввдит к сдвигу уровней иа постоянную величину йпйгоптт. гяе щ — пасса электрона, а ч — плзпгощь чисаа частиц постороннего газа (Е. Гпчвг, 1934). '! См. И, 4 41, задача 3 (задача о дифракпни па черном щарюш эквивалентна задаче о дифракцни от круглого отверстии, прорезанного в непрозрачном экране). Сечение рассеянии получается делением интенсивности дифрзгирэваниых воин на плотность издающего псзека. НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ !гл. хуп! 692 Этот же результат можно получить н нз (142,3). По условию задачн имеем о2 = = О прн ! «;.1, н 5! = 1 прн 1) 1,. Поэтому амплитуда упругого рассеяния пп ! 1(В) — 2(л ~ (2!+ 1) Рп(созО). !=о Основную роль в сумме играют члены с большамн !.

Соответственно атому, пишем 2! вместо 2!+ 1, а для Р! (соз В) прн малых О пользуемся приближенным выражением (49,6) н переходам ог суммирования к ннтегрнрованню: ~п 1(В) у ')1«'е (В1) щ = — !оХ«(О!е) — и'т (йаэ), В о что н требовалось т). Полное сечение упругого рассеяния а =лаз ') лэп 2лОбО= лаз Г Х1 (лаО) о (ввнду быстрой сходнмостн интегрирование может быть распространено до со)1 как и следовало в данных условиях (ср. (142,3)), оно совпадает по величине с сеченнем поглощения, равным просто плошади геометрического сечения шарика. Полное сечение а, = 2ла'.

6 143. Неупругое рассеяние медленных частиц Изложенный в 9 132 вывод предельного закона упругого рассеяния при малых энергиях легко обобщается на случай наличия неупругих процессов. Как и прежде, основную роль при малых энергиях играет рассеяние с 1 = О. Напомним, что, согласно полученным в 9 132 результатам, соответствующий элемент 5.матрицы был равен Ве = вне — ! + 2(бо — — 1 — 21)пх. Использованные в 9 132 свойства волновой функции меняются только в том отношении, что налагаемое на нее условие на бесконечности (асимптотическнй вид (142,1)) теперь комплексно вместо вещественной стоячей волны в случае чисто упругого рассеяния.

В связи с этим оказывается комплексной и постоян. ная а = — се/ст. При этом модуль ~ Бе ~ уже не равен единице; условие ) Зе ) ( 1 означает, что мнимая часть с« = и' + (сп" должна быть отрицательна (с«" ( 0). 2) Аналогнчным образом может быть рассмотрена задача о днфракцнонном рассеянии на «черном« ядре быстрых заряженных частиц. Прн атом граничное значенне !п надо определять нз условна, чтобы кратчайшее расстоявне между ядром н частицей, движущейся по классической траектории в кулоновом поле, было как раз равно радиусу ядра. Прн 1~ 1, надо по-прежнему положить 2262 Бп О, а прн ! = 1, Юг = е ', где 5! — кулоновы фазы нз (!35,П).

См. А. Н. Ахпеыр, И. Я. Ломерамчук, Некоторые вопросы теорнн ядра, Гостехиздат, 1950, 5 22; 3. о1 Рьуз!сз ()55)1 9, 47! (!945). 4 >лз) нвппригов рассеяние мидлвнных частиц бйз Подставив Яе в (142,7), найдем сечения упругого и неупру. гого рассеяний о,= 4л)сс!з, (143,1) о„= — ) сс'). (143,2) Таким образом, сечение упругого рассеяния по-прежнему не зависит от скорости. Сечение же неупругнх процессов оказывается обратно пропорциональным скорости частиц — так называемый закон 1/о (Н.

А. Ве!/>и, 1935). Следовательно, при уменьшении скорости роль неупругих процессов по сравнению с упругим рассеянием возрастает '). Предельные законы (143,!) и (143,2) являются, конечно, лишь первыми членами разложения сечений по степеням /г. Интересно, что следующий член разложения в обоих этих сечениях не со. держит никаких новых постоянных, помимо фигурирующих в (143,1), (143,2) величин (Ф. Л. Шапиро, 1958). Это обстоятельство является следствием четности функпии де (/гз) в выражении (142,13) /, (/г) = 1/(де (лз) — !/г) парциальной амплитуды рассея.

иия (! = 0). При малых й эта функция разлагается, следовательно, по четным степеням /г, так что следукхцим за и, ж — 1/сг будет член й'. Пренебрегая этим членом, мы имеем право написать все же в /, (/е) два члена разложения /, (й) ж — а (1 — >/га). Соответственно можно сохранить следующие члены разложения и в сечениях, для которых легко получить следующие выражения: о, = 4п ) сх )з (! — 2й ) сс" )), (143,3) и„= " (1 — 2/г ) сс" !).

(143,4) Полученные результаты предполагают достаточно быстрое убывание взаимодействия на больших расстояниях. Мы видели в 9 132, что амплитуда упругого рассеяния стремится прн /г- 0 к постоянному пределу, если поле (/ (г) убывает быстрее, чем г '. Это условие требуется и для справедливости аналогичного закона (143,1) при наличии неупругих каналов '). Закон же 1/и для сечения реакции требует выполнения более слабого условия> поле должно убывать быстрее, чем г ', что ясно из следующего наглядного обоснования этого закона. ') йиалогичиым образом можно определить зависимость от скорости пар. циальных сечеиий реакции для отличных от нуля орбитальных моментов Д Оии оказываютси пропорциоиальиыми ои~ гойе' >.

Сечения же упругого рассеяиия о> > ао-прежиему пропорциоиальиы й, т, е. убывают при и - О быстрее, и> 4! чем и)>>, с теми же П т) Формула же (143,3), учитывающая следующий член разложения по степеиям й, требует убывания ь> более быстрого, чем 1гл хт1п нехпгггив столкновения Вероятность осуществления реакции при столкновении про. порциональна квадрату модуля волновой функции падающей частицы в «зоне реакции» (в области г а).

Физически это утверждение выражает собой тот факт, что, например, сталкивающийся с ядром медленный нейтрон может вызвать реакцию, лишь «про. никпув» в ядро. Если взаимодействие убывает быстрее, чем г ', то на пути от больших г до г а оно не меняет порядка величины волновой функции; другими словами, отношение ) ф (а)/ф (сс) !» стремится при /е-~ 0 к конечному пределу (это видно из того, что в уравнении Шредингера член (/ф оказывается малым по сравнению с Ь«р). Сечение реакции получится делением !«р !» иа плотность потока. Взяв «р в виде плоской волны, нормированной на единичную плотность потока, имеем 1«р !» — 1/о, т.

е. искомый результат. При столкновении заряженных ядерных частиц, наряду с короткодействующими ядерными силами, имеется также медленно убывающее кулоново поле. Это поле может существенно изменить величину падающей волны -в зоне реакции. Сечение реакции по. лучится умножением 1/о на отношение квадратов модулей кулоновой и свободной волновых функций (при г -«- 0); это отношение дается формулами (136,10),(136,11).

Таким образом, получим (в кулоновых единицах) 2яА е» ! е~»»г« — ! 1* (143,5) 2яА о е Ь» з (143,6) а для столкновения отталкивающихся частиц и„= (2пА//Р) е — »ш». (143,7) В последнем случае сечение стремится к нулю при й- О. Экспо. иенциальиый множитель, отличающий (143,7) от (143,6), есть вероятность прохождения через кулоновский потенциальный барьер; в обычных единицах он имеет вид ехр ( — 2пЯ,Я»е»/йо). знак плюс в показателе соответствует отталкиванию, а знак минус— притяжению. Коэффициент А есть постоянная закона 1/и; если скорость велика по сравнению с кулоновой единицей (й )) 1), то кулоиово взаимодействие ие играет роли, и мы возвращаемся к закону и„= А/й. Если же скорость мала по сравнению с кулоновой единицей (й « 1, т. е.

в обычных единицах 2,2»е»/йо )> 1, где Я,е, е»е— заряды сталкивающихся частиц), то кулоново взаимодействие играет доминирующую роль в определении величины волновой функции в зоне реакции. Для столкновения притягивающихся частиц имеем при этом Отметим, что предельный закон (143,6) относится не только к полному, но и к парциальным сечениям с каждым моментом('). Это видно из того, что в разложении (136,1) функций зри" (фигурирующих в использованных нами формулах (136,10), (136,11)) во всех членах суммы функции Йи имеют одинаковую предельную зависимость от я. Действительно, в пределе й — ь 0 радиальные функции (в случае притяжения) даются выражениями (36,25) и вблизи центра имеем Иы ~/й г'. Вклады отдельных моментов в квадрат волновой функции в зоне реакции аз'/й, т, е.

одинаково зависят от й, хотя и ослабляются малым множителем (а/а,)и (а, = Ьв1пзЛ,Лзез — кУлонова еДиниЦа Длины). й 144. Матрица рассеяния прн наличии реакций Рассматривавшееся в $ 142, 143 сечение о, представляло со. бой суммарное сечение всех возможных неупругих каналов рассеяния. Покажем теперь, каким образом строится общая теория неупругих столкновений, в которой каждый канал может рас. сматриваться в отдельности.

Пусть в результате столкновения двух частиц возникает снова две,те же илн другие', частицы. Перенумеруем все возможные (прн заданной энергии) каналы реакции и будем отмечать относящиеся к ним величины соответствующими индексами, Пусть канал ( является входным. Волновая функция относительного движения сталкивающихся частиц (в системе центра инерции) в этом канале представляет собой уже неоднократно писавшуюся нами сумму падающей плоской волны и упруго рассеянной расходящейся волны: зр, = ехр ((яит) + )'и (8) '"р (!44,1) Квадрат амплитуды)и даетсечение упругого рассеяния в канале й 1(пп = [ 1'п 1в 1(о.