Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 145

(144,2) В других каналах (индекс 1) волновые функции относительного движения частиц представляют собой расходящиеся волны. По причине, которая выяснится ниже, эти волны удобно представить в виде в1 / «зу ехр (ге г) у =Ь(8) -~/' — „ (144,3) з! То же самое относится к вакону (143,7). ') Мы снова (ср. примечание на стр. !82) отмечаем начальиаесостояние си. стены индексом д а конечное — индексом й В амплитуде рассеяния индекс ко. печного состояния располагается слева от индекса начального состояния в соответствии с расположением индексов матричных элементов.

В таком же по. рядке будут располагаться, для единообразия, индексы в обозначениях сечений. б 1м1 мАТРицА РАссвяния пРи ИАличии РОАкций бзб 1гл. хчпг нвгпжгив столкновения 696 где кг — волновой вектор относительного движения продуктов Реакции (в канале 1), Π— его Угол с осью г, а тг и тг — пРиведенные массы двух начальных и двух конечных частиц. Рассеянный поток в телесном угле «(о получается умножением квадрата ~ фг ~г на оггхг(о, а сечение соответствующей реакции— делением этого потока на плотность падающего потока, равную ор Р, «Ьп ~ 1п ( Ноп (144,4) где нмпульсы р, = тгпп рг — — гпД. В й 125 был введен оператор рассеяния 3, переводящий сходящуюся волну в расходящуюся. При наличии нескольких каналов этот оператор имеет матричные элементы для переходов между различными каналами.

«Диагональные» по каналам элементы соответствуют упругому рассеянию, а недиагональные — различным неупругим процессам; все эти элементы остаются еще операторами по другим переменным. Они определяются следующим образом. Подобно тому как это было сделано в э 125, введем оператоРы гп, ~п, свЯзанные с амплитУДами )и, 1м, опРеДелив иХ формулой: 5и = бл + 21 У'Щ ~п. (144,5) Легко видеть, что именно при таком определении мы получим Я-матрицу, которая должна будет удовлетворять условию уни. тарности. Действительно, напишем волновую функцию во входном канале в виде совокупности сходящейся и расходящейся волн, как она была представлена в $ 125: фг =Р ( — п') Р ' — (1+2й;~п) г (п') г рг».

гу "г =Р( п') '"Р( '«") 3гР(п') '«Р(гппг) (1445) (здесь введен, для удобства, лишний множитель и м по сравнению с выражением (125,3)). Тогда, при принятых нами обозначениях амплитуд, волновая функция в канале? напишется в виде 1 гггг, ехР(Цг) -, ехР (г»гг) фг = 21йг ~,г — г 1пГ (п') г = 5пр (п') . (144,?) ! гу' »Г Поток в сходящихся волнах должен быть равен сумме потоков в расходящихся волнах во всех каналах; это требование выражает собой очевидное условие, что сумма вероятностей всех возможных (упругого и неупругих) процессов, которые могут возникнуть при столкновении, должна быть равна единице.

Бла- э ьм! мхтяицх гхссвяння пэи наличии явхкцин вэт годара введенным в знаменатели сферических волн множителям у'э скорость выпадает из плотностей потоков в ннх. Поэтому поставленное условие означает просто требование совпадения нор ° мировок сходящейся и совокупности расходящихся волн. Оно выражается, следовательно, по-прежнему условием унитарности оператора рассеяния, понимаемого как матрица, в частности, и по номерам различных каналов. Для операторов /// это условие выражается равенством 1// — Ц, = 21 ~ л.1/„)'/., (144,8) ь аналогичным (125,7); индекс + означает здесь комплексное сопряжение и транспоиирование по всем остальным (помимо номера канала) матричным индексам. 5.матрица диагональна по отношению к состояниям с опре.

деленными значениями величины орбитального момента !; соответствующие матричные элементы будем отличать индексом (/). Воздействовав операторами )// и ~// на функцию (125,!7), получим амплитуды упругих и неупругих процессов в виде Я /// — — э/а ~~ (21+ 1) (5,/ — 1) Р/ (соз О), /=о ~~ (21+ 1) ф/Р/ (соз О). 2/ 'г' а/а/ // а Соответствующие интегральные сечения оп = — э У,(21+1) ~1 — Я//~), о// — — —, ~» (21+1)15/1~!' / //а ' //-а (! 44,10) Первая из этих формул совпадает с (142,3).

Полное же сечение реакций а„(из входного канала 1) есть сумма и„= ~~/ о// по всем / ~= /. В силу унитарности 5-матрицы имеем ~ ) 3//)"-= 1— / — ! 3// !', и мы возвращаемся к формуле (142,4) для и„. Симметрия процесса рассеяния по отношению к обращению времени (теорема взаимности) выражается равенством 3// = 5/./*. (144,11) илп, что то же: 1/; = )'/ /" (144,!2) НЕУПРУГИВ СТОЛКНОВЕНИЯ (гл. ху!и Здесь !'* и )е обозначают состояния, отличающиеся от состояний ! и ! изменением знаков импульсов и проекций спииов частиц '); о них говорят как об обраи4гныьтх по времени по отношению к состояниям ! и ~.

Соотношения (144,11), (144,12) обобщают формулы (125,!1), (125,12), относящиеся к упругому рассеянию '). Равенство (144,12) приводит к следующему соотношению для сечений реакции: дон(Р!) т(от —— т(О!.!. (Р! !(о! .. (144,13) Оно выражает собой принцип детального равновесия. Как было указано в р 126, в случае применимости теории возмущений в первом ее приближении, наряду с теоремой взаимности, имеет место также и дополнительное соотношение между амплитудами прямого и обратного (в буквальном смысле слова) процессов: 1-э 1' и 1-~-1.

Это свойство, выражающееся равенством !т! = Д1, имеет место (в том же приближении) и для неупругих процессов. Соответствующие сечения связаны равенством дат;/р) Й>! = т(оц)рт; Йо!. (144,!4) Разница между переходами 1-ь( и (е -ьге исчезает, если рассматривать интегральные сечения, проинтегрированные по всем направлениям рь просуммированные по направлениям спииов конечных частиц зтб зц и усредненные по направлениям импульса р; и спинов тиь з,! начальных частиц.

Обозначим такое сечение через дм. 1 4п (Ржи+ 1) (йзм+ 1) рп ) сумма берется по проекциям спинов всех частиц; множитель же перед знаком сумм и интегралов связан с тем, что по величинам, относящимся к начальным частицам, производится не суммирование, а усреднение. Написав (144,13) в виде р'; т(о!! !(о!. = р! 4(о!.!.

т(от и произведя указанные действия, получим искомое соотношение д!Рт!а ! = УтР!дц. (144, 15) Через д! и я! здесь обозначены величины д! = (2зм+!) (2з,1+ 1), д! —— (2ац+ 1) (2ззт+ 1), (144,!6) х) для сложных частиц (атом, атомное ядро) под еспнномз надо понимать здесь полный собственный момент, составленный как кз спннов, тан н нз орбятальных моментов внутренних движений оютаяных частей.

е) Мы отвлекаемся здесь от множителя — 1, который может вазннкнуть длн столкновенай частиц, облааающнх спнном (ср. (!40,! !)). Это обстоятельство не отражается, конечно, на соотношеннн (!44.!3) для сечений. Формулы ВрейтА и внгнеРА р ив) определяющие числа возможных ориентаций спиноз пары начальных и пары конечных частиц; эти числа называют статистическими весами состояний 1 и ).

Наконец, отметим следующее свойство амплитуд 1п. Мы ви. дели в предыдущем параграфе, что сечение реакции меняется нрн рг- О по закону о„- 1/рг (прн достаточно быстром убывании взаимодействия на больших расстояниях). Согласно фор. муле (!44,4) это означает, что )'гг - сопз( прн р, — О.

В силу симметрии (!44,12) отсюда следует, что угг стремится к постоянному пределу также и при рт-ь О. Мы еще вернемся к этому свойству в Э 147. й 145. Формулы Брейта и Вигиера В э 134 было введено понятие о квазистационарных состояниях, как о состояниях, обладающих конечной, но сравнительно большой продолжительностью жизни. С широкой категорией та. ких состояний мы имеем дело в области ядерных реакций при не слишком больших энергиях, идущих через стадию образования составного ядра '). Наглядная физическая картина происходящих при этом про.

цессов заключается в том, что падающая на ядро частица, взаимодействуя с нуклонами ядра, «сливаетсяв с ним, образуя составную систему, в которой привнесенная частицей энергия распределяется между многими нуклонами. Резонансные энергии соответствуют квазидискретным уровням этой составной системы. Большая (по сравнению с периодами движеиия нуклонов в ядре) продолжительность жизни квазистационарных состояний связана с тем, что в течение большей части времени энергия распределена между многими частицами, так что каждая из них обладает энергией, недостаточной для того, чтобы вылететь из ядра, преодо. лев притяжение остальных частиц. Лишь сравнительно редко на одной частице концентрируется достаточно большая для этого энергия. При этом распад составного ядра может произойтн различными способами, отвечающими различным возможным ка. налам реакции ').

Описанный характер таких столкновений позволяет утверждать, что возможность неупругих процессов в них не сказывается на потенциальной части амплитуды упругого рассеяния, не связанной со свойствами составного ядра (см. Э 134); они меняют лишь величину резонансной части амплитуды упругого рассея- ') Представление о составном ядре было выдвинуто О.