Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 149

Благодаря этой связи открытие нового канала приводит к цояв- 44 ! лению определенных особенностей в энергетических зависимостях сечений также и других процессов, в том числе упругого рассеяния (Е. 414(пег, 1948; А. И. Валь, 1957; 6. Вгей, 1957). Для выяснения происхождения и характера этого явления рассмотрим Ы простейший случай, когда ниже порога ре- Ф акции возможно лишь упругое рассеяние. ж Вблизи порога частицы А' и В' образуются в состоянии с орбитальным моментом ! = О (именно этому и соответствует закон (147,2)). Если участвующие в реакции частицы не Е имеют спина, то орбитальный момент сохра- 6 няется, и потому система частиц А -1- В Ж тоже находится в з-состоянии.

Согласно (142,7) парциальное сечение реакции для ! = О связано с элементом Я-матрицы, соответствующим упругому рассеянию, формулой Е оГ~ = —, (1 — ~ Зо 1~)> (147>3) Ю >>> где к — волновой вектор сталкивающихся частиц. Приравняв (147,2) и (147,3), найдем, что выше порога реакции, вблизи от него, модуль В, ! с точностью до величин порядка Š— Е, равен Е ~п )В,~ =1 — —" Ау'~ — Е, Е)Е, (147,4) Рис. г>0 где Ф = ~/2тЕ,(й (>и — приведенная масса частиц А и В).

В области ниже порога имеется лишь упругое рассеяние, так что !Во! = 1, Е(Е„ (147,5) Но амплитуда рассеяния, а с нею и З„должны быть аналитическими функциями во всей области изменения энергии. Такая умт 1 позедение сечении Вблизи ПОРОГА РБАкпии 7)3 функция, принимающая значения (147,4) и (147,5) выше и ниже порога, дается с той же точностью формулой ' Яе = е" ' 1 — —" А ь~ Š— Е„, (147,6) где б, — постоянная (при Е < Еп корень р~ Š— Е, становится мнимым и модуль стоящего в скобках выражения отличается от единицы лишь на величину более высокого порядка малости).

При всех же 1~ 0 неупругое рассеяние отсутствует, так что ме, (147,7) причем в области вблизи порога фазы б~ следует положить 'равными их значению при Е =- Е '). Подставив полученные значеяия Я~ в формулу (!42,2), найдем следующее выражение для амплитуды рассеяния вблизи порога 'реакции: Р(О, Е) =~ 19) — ц, А~/Š— Е ' ', (147,9) где 7 (9) — амплитуда рассеяния при Е = Е .

Отсюда дифференциальное сечение рассеяния — = !7п(О)!'+ЯА Р'Š— Е 1ш (1 (О)е " ') пРи Е) Е„ — = !1 (О)!з — — "А ~/Š— Е Йе (7 (О)е ' ') при Е =. Еп. Представив амплитуду 7" в виде ~ 7' '!е'" ~з>, запишем окончательно этот результат в форме 1 з)п (2бе — сс), Е ) Е, 4)о ~~ ( ) Еп ) ( ) ~ ) (СОЗ(26о — о), Ее..Ен. (147,9) В зависимости от того, находится ли угол 2Ь, — а в 1-м, 2-м, 3-м или 4-м квадранте, описываемая этой формулой энергетическая зависимость сечения имеет вид, изображенный на рис.

50, а, б, в или г. Во всех случаях мы имеем две ветви, лежащие по обе стороны от общей вертикальной касательной, При интегрировании выражений (147,9) по 4(о в интегралы от вторых членов отличный от нуля вклад дает только изотропная часть амплитуды 7" (О) — парциальная амплитуда упругого 4) поскольку функции ьт(е) вещественны кзк при е) е, тнк и прн Е ( Е, оии разлагаются по целым степеням ревности Š— Е„.

ииуппугыа столкновзния [гл. хчп! 7Г4 х-рассеяния: (нер໠— 1)/2хм . В результате получим для полного сечения упругого рассеяния вблизи порога следующее выражение! ~а[пабе цри Е) Е, о =о — 2А [Š— Е (147,10) '[з[пб,созб, при Е(Е,. Эта зависимость имеет вид а или б на рис. 50 соответственно при положительном или отрицательном знаке гйп 6, соз 6,.

Таким образом, существование порога реакции приводит к появлению характерной особенности в энергетической зависимости сечения упругого рассеяния. Наличие спина у частиц меняет, разумеется, количественные формулы, но общий характер явления остается тем же'). Если ниже порога возможны, наряду с упругим рассеянием, также и другяе реакции, то аналогичные особенности появляются и в их сечениях. Все они имеют при Е = Е, особенность, вблизи которой являются линейными фу р ууГе — е [ р * и ниже порога. В ядерных реакциях е вылетом положительно заряженной частицы имеем дело со случаем, когда между продуктами реакции (частицы А' и В') действуют силы кулонова отталкивания.

В этом случае сечение реакции при о'- 0 (т. е. Е- Е0 экспоиенциально стремится к нулю вместе со всеми своими производными по энергии и никакой особенности в сечениях других процессов не возникает. Наконец, рассмотрим реакции с образованием двух разно- именно заряженных медленных частиц, между которыми действуют силы кулоиова притяжения. Сечение такой реакции связано принципом детального равновесия с сечением (143,б) обратной реакции между двумя медленными притягивающимися частицами. Таким образом, находим, что при о' -у-0 сечение стремится к постояняому пределу ор = соп51 при о -ь Оу (147, 11) т. е. за порогом реакция возникает сразу с конечным сечением. Высним характер особенности, которой обладает вблизи порога такой реакции сечение упругого рассеяния (А. И.

База, 1959). Это, однако, не может быть сделано непосредственно.по известному надпороговому закону (147,11) тем простым способом, который мы использовали выше в случае незаряженных частиц. По сравнению с последним случаем ситуация осложняется теперь в связи с тем, что система частиц А' [- В' обладает в околопороговой области (при Е ( Ев) связанными состояниями, соответствую- х) При отличных от нуля спинах система частиц А'+ В' в з-состоииин Может иметь отличный от нуля полный момент, в связи с чем появляется воз. мовшость различных орбитальных состояний системы А+ В.

Э !«т! поввдннив свчннии ввлнзи поноса нвакции 74б шими дискретным уровням энергии в кулоновом поле притяжения. Зти состояния могут„с энергетической точки зрения, образоваться при столкновении частиц А и В, но ввиду возможности упругого рассеяния оии будут лишь квазистационарнымя. Однако ях существование должно привести к появлению резонансных эффектов в (подпороговом) упругом рассеянии, аналогичных брейт-вигнеровским резонансам. Для решения поставленной задачи рассмотрим структуру волновых функций, описывающих процесс столкновения.

В соответствии с наличием двух каналов уравнение Шредингера системы взаимодействующих частиц имеет два независимых решеяия, конечных во всем конфигурационном пространстве; обозначим два таких произвольно выбранных (и произвольно нормированных) решения посредством трт и гра. Из этих функций можно составить линейные комбинации, описывающие рассеяние в случае, когда тот или иной из каналов является входным, Обозначим каналы, соответствующие царам частиц А, В и Л', В' посредством а и Ь, и пусть сумма ф = агфт + азгра отвечает случаю входного канала а, она описывает упругое рассеяние частиц А и В н реакцию А + -)-  — Л' + В . Вблизи порога реакции коэффициенты сны аа существенно зависят от малого импульса йь, между тем как сами произвольно выбранные функции гр„гра никакой особенности при Ьь = О не имеют.

На больших расстояниях функпия гр должна представлять собой сумму двух членов, соответствующих движению пар частиц в каналах а и Ь. Каждый из них есть произведение «внутренних» функций частиц на волновую функцию их относительного движения '). В канале а последняя имеет вид гс, — о„гс;, а в канале Ь: — Я,ьгсь, где )с', Р— расходящаяся и сходящаяся волны в соответствующих каналах. На расстояниях г„больших по сравнению с радиусом короткодействующих сил и малых по сравнению с 1/йь, эти функции (и их производные) должны «сшиватьсяа со значениями, вычисляемыми по волновой функции грт в «зоне реакции». Зги условия выражаются равенствами вида а!о!+агат=(йа — Я«ай«))г,г а!Ь!+а»Ь»= — Баьйь )!г, +Ъ! + а1а1 +атаа = (В, Ваайа )'~ „з а1Ь!+ а»Ь» = Воьйь'~г ь где аь аг, Ь!, Ь(, ...

— величины, вычисляемые по функциям ф и фа; согласно сказанному выше вблизи порога их можно считать ') Закон (!47,!!) имеет место не тольно длн полного, но и дли парпиальных сечений с различными моментеми ! (ср. конец 4 !43). Понтону н рассматриваемая ниже особенность имеет место во всех парцнальных сечениях рассеяния. Ее карактер полностью выясняется уже в случае ! = О, который мы и рассматриваем ниже. Индекс О у соответствующих парциальных амплитуд опускаем для )упрощения обозначений.

(гл. хуп1 ниипругии столкноввния 716 1 (г)гь ) 2п + ')7ь Нет необходимости фактически проводить решение этих уравнений. Достаточно заметить, что интересующая вас величина 3„(определяющая амплитуду упругого рассеяния) оказывается при этом дробно-линейной функцией от )ь.