Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 152

атомных электронах (без учета обмена). Напомним, что дифференциальное сечение упругого рассеяния (139,6) пропорционально 2', а не Л. Наконец, интегрируя по углам, мы получим полное сечение а, неупругого рассеяния под всеми углами и со всеми возбуждениями атома. В точности таким же образом, как и при вычислении о„(148,18), получим о, = 811 ~ — ') (г(„') 1п ((Ъ вЂ” "" ) (148,26) Таким образом, находим общую формулу г(о = ( — ) ~Л вЂ” Рь(ч) + (Е е~ч(г ь)Я вЂ” ь. (148 23) Эта формула сильно упрощается при малых д, когда можно произвести разложение по степеням д (п,/п (~ да (С 1, что соответствует углам (пь/о)' (( д (( в,/о).

Вместо того чтобы производить разложение в формуле (148,23), удобнее заново произвести суммирование по и, воспользовавшись для до„выражением (148,14). Суммируя о помощью соотношения (148,21) о / = г(„и помни, что (1(В> = О, получим !гл. хун! НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Задачах! 1. Определить распределение по углам (при 1 ~ О Ъ о ') неупругого рассеянна быстрых электронов атомом водорода (в нормальном состояния). Р е ш е н и е. Для атома водорода третий член в фигурных скобках в (!48,23) отсутствует, а атомный фактор г" (д) был вычислен в задаче к 4 139.

Подставляя его, получим й~, = — ~1 — (1+ — ) ~ с(п. 2. Определить дифференциальное сеченне столкновеннй электронов с атомом водорода в нормальном состояния,сопровождающихся возбуждением л-го уровня дяскретного спектра (л — главное квантовое число). Р еш е н и е, Вычнсленне матричных элементов удобно пронзводнть в параболических координатах. Выбираем ось г вдоль направления вектора П, тогда егчт = е!ч' = егч !! ч)тз. Волновая функцнв нормального состояния нмеег внд ф, = л Ыте (4+Ч)Г .

Матричные злемеиты отличны от нуля только для перехода а состояния с т = О. Волновымн функциями этнх состояний валяются функцян !+ч ,»,о — „.„— „, ( ! л ) л л = л, + л, + 1). Искомые матричные элементы даются ннтеграламн (лрзО! е с'!ООО) = Ц фоооф»» о " 2лЫья»т). а Интегрирование производится с помощью формул, приведенных в й ( математи- ческого дополнения. В результате вычисления получается л — )т лз» ) (л,лт91 епы ) ООО) 1~ 2зл~д~ ) ((лт — лз)з+ (бл)т]. ((л ф !)х ! (4»)т)»+з Все состояния с одинаковыми лт+ л, = л — ! обладают одннаковой энергвей. Суммнруя по всем возможным значенням л, — лз прн данном л н подставлав результат в (!48,9), получнм искомое сечение 2"л Гл' — 1,3 ((» — 1)з+(4»)з)» з 34 б໠— лт — + (йл)з 3 !(л + !) Ь (йл) ) + 4 ° 3.

Определить полное сечение возбуждения первого возбужденного состоя ния атома водорода. Р е ш е н и е. Надо проинтегрнровать 2л 3) о' д (аз + 9!4)ь т) Во всех задачах пользуемся атомными единицами. $148! СТОЛКНОВЕНИЯ бЫСТРЫХ ВЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 727 по всем 4 от рене = (Ез — Е,)/о = 3/8о до йммг = 2о, причем должны быть сохранены только члены наибольшей степени по о, Интегрирование произаодитси элементарно н дает 1) 2ыя / 25Ч 4и еэ а = — ~1п4о — — ) = — 0,555!п —.

34эоэ ( 24/ сд ' 0,50' 4. Определить сечение ионизации атома водорода (в нормальном состоннни) с вылетом вторичного электрона в определенном направлении; энергия вторичного электрона мала по сравнению с энергией первичного электрона, и потому обменные эффекты несущественны (Н, Мажу, С. Мойг, !933). р е ш е н и е. Волновая функция атома в начальном состоянии естыре = и '/зе '.

В конечном состоянии атом ионизирован, и вылетевший из него вторичный электрон имеет волновой вектор, который мы обозначим посредством и (н энергию из/2). Эго состояние опнсываетси функцией ф,' (136,9), в которой квыходящаиь часть состоит (на бесконечности) только из распространиющейси в направлении и плоской волны. Функции ф,' нормирована на 6-функцию в и/2ппростр анстзе; поэтому вычисленное с ее помощью сечение будет отнесено н 4ри/(2и)э нлн к и' ди 4(ои/(2п)4, где 4(ои — элемент телесного угла дли направлении вторичного электрона. Таким образом, 44'иа 4(о = — ( (и ( е !ч' ( О) (~ до дои ди (до — элемент телесного угла для рассеянного электрона), где — !Чг~ ) ( ! 1 !Ч Е / Г(1 — 1/И) и е о !/2 д Г / Х дУ) 7 ~ — — ~ ехР ( — 19г — 1иг — ЛГ) Г' !Х вЂ”, 1, 1(кг+мг)Г!— дЛ 7' 'Х и ' Интегрирование производим в параболическик координатах с осью г вдоль на* правления н и углом 4р, отсчитываемым от плоскости (ц, и): вь 2и — — — з! з! з! ЕХР! — — д (б — т))егжУ+!4У44)8!ПУСГИ44— о ое Л 4 4 — — а+ч) — — (б — 0)~е ( — „1, с) дф 5301 ) Х-1 ') Сечение может быть вычислено и для произвольного и.

Числовым рас. вэтом можно получить также и полное сечение неупругого рассеинии атома 4п ее водорода: ог = а 1и 0 !50 . В том числе на столкновении с возбуждением состоиний дискретного спектра и с ионизацией приходится соответственно 4и оэ 4и, о' оа„за — 0,715!и — о = — 0,285 1п— сд ' 045 аен — оз ' 0012 !ГЛ. Хи!11 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ '728 (у.— угол между х и Ч). Интегрирование по 4(494(Ч легко производится путем подстановки Ргч сов 8р = и, 1/ Ч з(п 8р = о, после чего получается 40 / ~ д [' ( — 8)зв!иву+аз+(х+8)сову)' [ г" (!/к, 1, !х$)8(2 1 2л ~ дд ~) [ 2 [8 (х+ осовт) — Х) ) [4 (к+8)сову) — )Г)~ А=! Стоящий здесь интеграл берется по формуле (1,3) с у = 1, и = О.

Дальнейшие вычисления длинны, но элементарны и дают в результате следующее выражение для сечения: 4(О 28й'к [49+ 28/ясов у-1- (к'+ 1) совву) и/242 [8)2+ 2ок сову+ 1 -1- кз]4[(д -1- к)'-1-1[ [(д — х)' -1- 1[(1 — е вл/к) 2 2к Х ехр( — — агс!8 1 (о 4(о (к. х 8/2 — ха+ 1г Интегрирование по всем углам испускания вторичного электрона произво. дится элементарно и дает распределение рассеяния по направлениям при данной энергии х'/2 испущенного электрона 2шй, [Ц + З (1+к )) ехр ( — — згс!я ! ) да = 4(о 4!к [(О+ 94)2 ! 1)2 [(8/ 98)2 ! 1)2 (1 з — 2л/л) При д ~ 1 это выражение имеет острый максимум при к зи д; вблизи максимума 28 8(х до 4(О =— Злх4 [1-(-(8/ — х)')2 ' Интегрируя подо = 2л8/8(О/ззж(2кх//82) 4! (д — к), получим выражение Зл 4(к/йвкв, совпадающее, как н следовало, с первым членом по формуле (148,17). 9 !49.

Эффективное торможение В применениях теории столкновений большое значение имеет вычисление средней потери энергии сталкивающейся частицей. Эту потерю удобно характеризовать величиной 4(к = ~ (ń— Е,')г(о„, (149,1) л которую мы будем называть эффективным торможением (дифференциальным); суммирование производится, разумеется, по состояниям как дискретного, так и непрерывного спектров, 4(к отнесено к рассеянию в данный элемент телесного угла !). Общая формула для эффективного торможения быстрых электронов имеет вид -8 ( — ) 2 82„— 2,8!/ ~ "' 0) —, 8!49,29 л а ') Если электрон проходит через газ, рассеяние на различных атомах происходит независимо и величина /У дх (8У вЂ” число атомов в единице объема газа) есть энергия, теряемая электроном на единице его пути при столкновениях, отклоняющих его в данный элемент телесного угла.

ЭФФЕКТИВНОЕ ТОРМОЖЕНИЕ э 100) 729 (до из (148,9)). Исключим, как и при выводе (148,23), из рассмотрения область совсем малых углов и снова будем считать, что 1 )) д )) (оо/и)0; тогда д не зависит от величины передаваемой энергии и сумма по п может быть вычислена в общем виде. Сумма вычисляется с помощью теоремы суммирования, которая выводится следующим образом. Матричные элементы от некоторой величины ) (фуикции координат) и ее производной по времени 1 связаны друг с другом формулой ()),„= — —,' (ń— Е,) 1,„. (149,3) Поэтому имеем Е (Е» ЕО)!/о ! = Е (Ев ЕО)~овею~) = Е (Ев ЕО)10 Ч+)вО = 18 Е (~)0. ()')ко = 18 (О") Волновые функции стационарных состояний атома можно выбрать вещественными.

Тогда матричные элементы функции коордиНат 1 СВЯЗаНЫ СОотНОЩЕИИЯМИ )о„= ) „а ДЛЯ МатРИЧНЫХ ЭЛЕМЕН- тов (149,3) имеем соответственно (г)0„= — (1)„. Поэтому рассмат. риваемую сумму можно написать также и в виде — 18 ХД),.(1)но= — (йЧ ~)ош и Подставив в (149,4), получим формулу (а,— 00)( (~ "(О)( =т, (149,5) которая и осуществляет нужное нам суммирование').

'1 При выводе этого соотношения мы нигде не испольэовали тот факт, что состояние, отсеченное индексом О, есть нормальное состояние атома. Поэтому оно имеет место для любого начального состояния. Взяв полусумму обоих выражений, получим искомую теорему ~~(Ев — Ео)1100! = 2 (11 — 1 1)оо (149,4) и Применим ее к величине 1 = ч~~ е '0" . Согласно (19,2) ее а производная по времени изобразится оператором Г' = — —,„~~У (а Пио(г)Ч,)+(йЧ0)Н ~Ч'01.

Прямое вычисление дает й' — И = — — '" 4'г. !гл. х чин наупеугив столкновения Таким образом, для дифференциального эффективного торможения находим формулу хе4 иЧ 22е4 ао Ни = 4п — — = — — ° ака д ти' 1И (149,6) Область ее применимости дается неравенством (о,/о)' (( б (( 1, т. е. о,/о (( а,д (( о/о,. Далее, определим полное эффективное торможение и (д,) для всех столкновений, сопровождающихся передачей импульса, не превышающей некоторого значения д, такого, что о,/о (( а,д, (( (( о/о,: ~ (ń— Е,)до„; (149,7) д „дается формулой (148,1!). Знак интеграла нельзя вынести из-под знака суммы, так как д „ зависит от п. Разобьем область интегрирования на две части — от д до д, и от д, до д„ где д, — такое значение д, что оч/о (( а,ач (( 1. Тогда во всей области интегрирования от д „до д, можно воспользоваться для аа„выражением (148,14)~ и (4о) = 8п ~ — „„) ~' ) (п1Н~ ~ О) ~'(Ев — Ед) ~ — з откуда н(40) = 8п ( з ) «~~~(и!Н„~О>! (Ев Ео)!и е е, (149,8) В области же от д, до д, можно произвести сначала суммирование по л, приводящее для ак к выражению (149,6), которое при интегрировании по ад дает и(дД вЂ” и(д,) = 4п — 1и — "1 (149,9) Чо /= —," = ~~„х„ /=— И а Для преобразования полученных выражений воспользуемся теоремой суммирования, получающейся из формулы (149,4), если положить в ней эоокктивиов топможвнин З !оо1 731 х(дг) = — !п — ' опЯе' дгао тоо ! (149, 12) В эту формулу входит всего одна характерная для данного атома постоянная').

Выражая г1, через угол рассеяния Ю„согласно д, = яоб /й получим эффективное торможение при рассеянии на все углы Ю «( бхг х(д,) =.4п-— э!п — ', део жообг (! 49,13) Если г),по )о 1 (т. е. д, ~) оогп), то можно выразить х в виде функции от наибольшей передаваемой падающим электронам атому энергии. В предыдущем параграфе было указано, что при дао )) ! происходит ионизация атома, причем практически весь импульс йс) и энергия передаются одному атомному электрону. ь) К этому соотношению относится то же залгечание„которое было сделано по поводу (149,5). о) Для водорода 1 = 0,55гпеоуао 14,9 зВ. Для тяжелых атомов можно ожидать хорошей точности, если вычислить постоянную ! с помощью метода Томаса — Ферми.