Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 154

Пусть (, — амплитуда рассеяния на и-м ядре; ~ у, ~а до — дифференциальное сечение упругого рассеяния нейтрона на свободном ядре (в системе их центра инерции). Постоянная амплитуда может быть формальным образом получена из теории возмущений, если описывать взаимодействие нейтрона с ядром «точечной» потенциальной энергией 2идз 0 (г) = — — „~6(г), где М вЂ” приведенная масса нейтрона и ядра. При подстановке этого выражения в формулу Бориа (126т4) 6-фуикция обращает интеграл в постоянную величину, не зависящую от ц. Определенное таким образом «поле» (/ (г) называют пбевдопотенциалом. Подчеркнем, что возможность его введения связана именно с постоянством (. В общем случае произвольной энергии нейтрона амплитуда рассеяния зависит от начального и конечного импульсов р и р' в отдельности„а не только от их разности ц; между тем ') Подразумевается также, что молекула не обладает магнитным моментом.

В противном случае имеется мце специфический эффект рассеяния, связанного со взаимодействием магнитных моментов молекулы и нейтрона. $ !3! ] РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ амплитуда, вычисленная в борновском приближении, может зависеть только от и '). Если рассеивающее ядро совершает заданное движение (например, колебания в молекуле), то при усреднении по этому движению взаимодействие (151,1) «размазывается» по области с размерами, вообще говоря, большими по сравнению с амплитудой рассеяния 1. Для такого «размазанного» взаимодействия выполняется условие (126,1) применимости борновского приближения.

Таким образом, будем описывать взаимодействие нейтрона с молекулой псевдопотенциалом 0 (г) = — 2пй» лу,' — ' 6 (г — й,), (151,2) я где суммирование производится по всем ядрам в молекуле; м,— их радиусы-векторы; г — радиус-вектор нейтрона. Подставив это выражение-в формулу теории возмущений (148,3) (с приведенной массой молекулы и нейтрона Мм в качестве л!), получим следующую формулу для сечения рассеяния нейтрона молекулой в системе их центра инерции: з,=м' — 1~ц( 1 "" !0)( й. (153з! Матричные элементы берутся здесь по волновым функциям стационарных состояний движения ядер с энергиями Е, и Е„, а импульсы р и р' связаны друг с другом законом сохранения энергии р' — р' = ń— Е,.

м Формула (151,3) описывает неупругое столкновение, сопровождающееся определенным изменением состояния движения ядер в молекуле (переход 0- п). Она решает поставленную задачу. по амплитудам рассеяния нейтронов на свободных ядрах (пред- полагающимся известными) ею определяется сечение рассеяния на молекуле с учетом собственного движения ядер и с учетом интерференционных эффектов от рассеяния на различных ядрах. Если ядра обладают отличным от нуля спином, то должно быть еще учтено, что амплитуды рассеяния (, зависят от суммарного спина рассеивающего ядра и нейтрона. Это может быть сделано следующим образом. т) Подчеркнем также, что хотя псевдопотенциал дает правильное значение амплятуды рассеяния при фориальном применении теории возмущений, зто отнюль не означает, что теория возмущений действительно применима н такому полю. Напротив, для потенциальной ямы с глубиной У„стремящейся к бесконечности по законУ (теаз = сонм (а — стРемЯщийсЯ к нУлю РадиУс Ямы), Условия (126,1), (12б,2) ааведомо не выполняются.

НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ (гл хчг!! 738 Суммарный спин ядра и нейтрона может принимать два значения: 1, = 1, ~ 112, где 1, — спин ядра; соответствующие значения амплитуды рассеяния обозначим через Д и 1,. Составим спиновый оператор, собственные значения которого прп определенных значениях 1, были бы равны соответственно 1", и 7",. Таковым является 1, = а,+ Ьаа1„ (151,4) где 1, и э — операторы спииов ядра и нейтрона, а козффипиенты а, и Ь, даются формулами , ((1.

+ 1)П+ (,И, Ь. = 2, (И вЂ” Г). (151,5) В этом легко убедиться, заметив, что при заданном значении 1 собственное значение оператора (з есть ° = 2 ~1(1+ ) - ('+ ') - 41. 1 Зт Операторы (!51,4) и должны быть подставлены в формулу (!51,3) вместо), со взятием от иих матричных злементон, отвечающих рассматриваемому переходу. Если падающие нейтроны и ядра мишени не поляризованы, то сечение рассеяния должно быть соответствующим образом усреднено. Зааачн 1. Пронзвестп усреднение формулы (131,3), предполагая направленне спннов нейтронов н ядер распрелеленнымн полностью беспорядочным образом. Вса ядра в молекуле — рззлнчные.

Р е ш е н н е. Усреднення по навравленням спннов нейтронов н ядер неэавнснмы, а каждый нз ннх прн усредненнн лает нуль;поэтому з)а = О. Если молекула не содержит одинаковых атомов, то обменное взаимодействие ядерныя спннов отсутствует, н в силу ничтожности нх непосредственного взаимодействия направлении спннов различных ядер в молекуле можно счятать незавнснмымн! поэтому обращаются в нуль прн усредненнн таклсе н пронзведення внла (а!Д (а)х) Для квадратов же (Ы)' имеем —.$1 а а(з+1) г(!+1) (В+1) 3 е В результате получаем следующее аыраженне для усредненного сечення." 2. Прнмеянть формулу (131,3) к рассеянню медленных нейтронов ьа паран ортоводороде ( а'.

Бгйэлпцгг, Е. Те((ег, 1937). Рассеяние нентионов С 1Ш) а = — (3(+ + ! ). 1 4 Р е ш е и и е. Ло вычисления матричных элементов спиноиых операторов выражение 1!31,3) для рассеяния на молекуле Нэ имеет внд Ла 1бр ~ р(и ~ — гчгщ ) Мггх(0) ) Ь ( ~ 1 и-гч /э ! ! етчг/э ~ 0) ~гд 9Р (1) В результате получим йт„= — ~(а~сок — )0)~ ((3)++1)э-)-7(!+1)(!".— ! )э)г(о. (2) п 9 ')( ~ 2 ~ )( Во в~ором случае (и !эгчгтэ(0) = — (и ~)э !чгтт)0) = ! (паз!и ~ ~0), 2 и спиновый оператор в (!) сводится к э (1, — 1„); он имеет лишь неднагональные по ! матричные элементы.

Квадрат модули этих элементов, просуммнрованный па всем возможным значениям проекции полного спина 1' в конечном состоянии, вычисляется как среднее значение (диагональный элемент) квадрата (э, 1х — !э)* (см. примечание на стр. 874) и равен ! 3 . 1 2 )з)з= — — (,— 1э)з = — (2)зг+ 212- 1з) = — (3 — ! (!+ 1)). 4 В результате получим Иав = (!) (3) — 1(п1з)п — 10) ~ ()е — ! )эао, 9п )() 2 ()) (3) где коэффициент (1) относится к орта — пара переходам, а коэффициент (3) — к па- ра в орта переходам. (+г/2 — радиусы-векторы двух ядер в молекуле относительно нх центра инерции). Вращательные н колебательные состояния молекулы определяются квантааыми числами К, Мк, а (совокупность яоторых и нада понимать под р в (1)).

В основном электронном состоянии молекулы Нэ четные значения К возможны лишь прн полном ядерном спине ! = О (параводорад), а иечетиые К вЂ” прн ! = 1 (ортовадород) (см. 4 88). Поэтому следует различать два случая: !) переходы между вращательными состоиннями со значениями К одинаковой четности, возможные лишь без изменения ! (переходы орта — орта и пара — пара), 2) переходы между состояниями са значениями К различной четности, возможные лишь с изыенением ! (переходы орта — пара и пара — арто). В первом случае имеем (р1)а 'чг!э!0) = (и! ! 7210) = /р! саэ Ш !0) 2 (следует помннть, что вращательная волновая функция умножается иа ( — 1) ' н при изменении знака г). Спиновый оператор в (!) превращаетсн тогда в 2а+ Ьз1, где 1 = 1, + 1„. Этот оператор диагонален ао ! в соагвагствин со сказанным выше.

Квадрат (2а+ Ьэ))а усредняется, как в задаче 1, и дает Ьэ 4аз + — ! (! + 1). 4 (ГЛ.ХУП1 негпругие столкновения 7!О Если нейтроны настолько медленны, что их длина волны велика также и по сравнению с размерами молекулы, та в матричных элементах в (2) и (3) можно положить соэ (чг/2) = 1, мп (чг/2) = О, в результате чего все оии обращаются в нуль, за нскл1очением диагонального элемента 00; естественно, что в зтих уславиих возможно лищь упругое рассеяние.

Сечение упругого рассеянии в атом случае Ь. = — 1(3/+ + /-)з + / (/ + Н (/+ — /- )«1 г( . 4 Ф 3. Определить сечение рассеииия нейтронов на связанном протоне, рассма- триваемом как иэотропиый пространственный осциллятор с частотой м (Е. Еегю/, 1936). Р е ш е н и е. Рассматривая протон как колеблющийся вокруг закрепленной в пространстве точки, иы должны положить в формуле (131,3), по смыслу ее выводя, Мм = М и М„= М/2 (М вЂ” масса протона).

Тогда па а ~~~~~а ч'фаза(г) 1рл л л (г) гФ~ Ио, где о, = 4л(/1' — сечение рассеянии иа свободном протоне, а фа „„— соб. ственные функции пространственного осциллятора, соответствующие уровням энергии Е„= аы (л+ 3/2); суммирование производится по всем эначенинм л„ лэ, ла с заданной суммой л,+ лз+ лэ = л. функции ф„„„представляют ~В~Э собой произведения волновых функций трех линейных осцилляторов (см, за. дачу 4 $33).

Поэтому нужный нам интеграл разбивается на произведение трен интегралов вида й)„х с«эх' азха ч ехр ( — — '" — — — — ) Н (ах) пх 2 2 / л, (а = г' мы/л), которые вычисляются путем подстановки н„(х) в виде (а,4) и л-кратного интегрирования по частям. В результате получим о 2лмзл лг! лз! лэ! ~ 2аз Суммирование производит«и по биномиальнай формуле, и окончательно находим В частности, сечение упругого рассеяния (л О, Е = Е') нов —— — екр ( — — г! Й>, о = о,— !Ь! — ехр( — — )1 ды / Если Е/Лы - О, то а, — 4оа. 2 152. Неупругое рассеяние при больших внергиях Эйкональное приближение, использованное в 2 131 для задачи о взаимном рассеянии двух частиц, может быть обобц(ено таким образом, чтобы охватить собой также и процессы (в том числе неупругие) при столкновениях быстрой частицы с системой частиц — «мишеньюэ (/с.,/.

О!аиЬег, 1958), й 1ЗЗ! НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ 741' В этом обобщении основные предположения остаются прежними. Энергия падающей частицы Е предполагается настолько большой, что Е )) ~ (7 ) и Йа )) 1, где !г' — энергия ее взаимодействия с частицами мишени, а а — радиус этого взаимодействия, Рассматривается рассеяние с относительно малой передачей импульса: изменение Йс! импульса падающей частицы мало по сравнению с ее первоначальным импульсом Й)г: д с1; Й.

Это условие подразумевает теперь, однако. не только малость угла рассеяния, но и относительную малость передаваемой энергии. Кроме того, будем считать, что скорость падающей частицы и велика по сравнению со скоростями са частиц внутри мишени. о Ъ оа.