Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 155

(152, 1) Для рассеяния заряженных частиц на атомах это условие равносильно применимости борновского приближения (ср. 2 !48, !50): из о )) ьо автоматически следует ! (I ) а/Йо с(; 1; необходимости в развиваемой здесь теории в этом случае, следовательно, вообще не возникает. Иная ситуация, однако. имеет место для ядерных мишеней, в которых частицы евязаны не кулоновымн, а ядерными силами. Ниже мы будем, для определенности, говорить о рассеянии быстрой частицы на ядре 1).

Условие (152,1) позволяет рассматривать движение падающей частицы при'заданных положениях нуклонов в ядре '). Другими словами, волновая функция системы частица !- мишень может быть представлена в виде ф(г, Й„Й„. ) =ф(г; Й„Й„...)Ф,(Й„Й„...). (!52,2) Здесь Ф, (Й„Й„...) — волновая функция некоторого (1'-го) внутреннего состояния ядра (Й,, Й„... — радиусы-векторы нуклонов в нем). Множитель же ф (г; Й,, Й„...) — волновая функция рассеиваемой частицы (г — ее радиус-вектор) при заданных значениях Й„ Й„ ..., играющих роль параметров в уравнении Шредингера «з ч дзйз — — Й+ лг, ()а (г — Й,) ф = — ф, (152,3) а где (7 (г — Й,) — энергия взаимодействия частицы с а-м нуклоном, Йй — ее импульс на бесконечности ').

"! Для сколько-нибудь тяжелых ядер условие (152,1) приводит к релятивистским скоростям о. Излагая в этом параграфе формальный аппарат в рамках нерелитивистской теории, мы оставлием в стороне вопрос о его фактической применимости к тем или иным конкретным процессам рассеяния. ') Такое приближение аналогично тому, которое лежит в основе теория молекул, где электронное состояние рассматривается при заданном расположении ядер. ') В (152,3) предполагается, что взаимодействие частицы с ядром сводится к сумме ее парных взаимодействий с отдельными иуклонамн. НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ [гл,хтчп 742 Если мы найдем решение уравнения (152,3) с асимптотической формой мь <р =егх'+ и (п', п; 1«„йю ..

)— (и' = г/г, и = й/й), то волновая функция (152,2) мг ф = егьгФ! + РФ! — ' Г (152,4) (152,5) где суммирование производится по различным состоянигм ядра; /н (п', п) и даст тогда искомую амплитуду рассеяния с заданным переходом ядра г -ь/ как функцию от угла рассеяния (угол между и н и'). Сравнив (152,6) с (!52,5), найдем,, что /!г (п', п) = ) Ф! гсФг х(т, где с(т = с(айх с(агсх... — элемент конфигурационного пространства ядра.

Снова подчеркнем, что эта формула применима лишь при сравнительно малой разности энергий состояний х и /. Само решение (152,4) уравнения (152,3) находится описанным в 2 131 способом '). Аналогично формуле (!31,7) имеем г (~', п; в(н йх, ...) = — „,. ~15 (Р, йн йм ...) — 1) ~м~сРР, (152,8) ') В й 131 было отмечено, что исходное выражение волновой (Ьунхнии (131,4) применил~о лишь иа расстояниих х << йа'.

Это обстоятельство не было существенно для дальнейшего вывода в й 131. Но при рассеянии на системе частиц (ядре) оно приводит к дополнительному ограничительному условию. Необходимо, чтобы выражение (131,4) было применимым во всем объеме рассеивающей системы, т. е. должно бьнь Р» « йах, где гте — радиус яира (а ив радиус действия потенпиалов 17). будет описывать рассеяние на ядре, находящемся (до столкновения) в своем 1-м состоянии! падающая волна е!ьг входит в (152,5) в произведении с Ф,. Второй член в (152,5) представляет рассеянную волну.

Однако это выражение пригодно для определения амплитуды рассеяния лишь при условии достаточно малого изменения энергии падающей частицы, т е. л!алого изменения внутренней энергии ядра; рассматривая движение частицы в постоянном поле «неподвижно закрепленных» нуклонов (чему соответствует уравнение (152,3)), мы тем самым пренебрегаем возможным изменением энергии этого движения. Для выделения амплитуды рассеяния с определенным изменением внутреннего состояния ядра надо представить ф в виде мг гР = ег""Фг+ ~~~»/!г(п', п)Ф!— (152,6) где введены обозначения 8(р, й,, 11„...) =ехр (2!Ь(р, К„(!ч, ...)), Ь(р, Кь й, - ) = Е Ь.

(р — й. ). (152,9) Ь~ (р — К~~) = 2. ) У~ (г Й~) Не. ! 2ЕР Ф Напомним, что р — проекция радиуса-вектора г на плоскость ху, перпендикулярную к к (Й,~ — такая же проекция радиуса-вектора К,); йц = р' — р — изменение импульса рассеиваемой частицы, причем в (152,8) входят лишь поперечные его компоненты. Функции Ь, определяют амплитуды упругого рассеяния частицы на отдельных свободных нуклонах согласно = — ') (ехр [2(Ь, (р)] — 1) е-'ЯРА. (152,10) Прн ( = 7 находим нз (152,7), (152,8) амплитуду упругого рассеяния на ядре:. (п (и', и) = —.

~ (с! (р) — 1)е-'ЯРА, (152,11) где черта означает усреднение по внутреннему состоянию ядра: 8 (Р) = ) 8(Р, 11„йч, ...)!Ф,(йо 1(„...)~чу. (152,!2) Эта формула обобщает прежнюю формулу (131,7). Положив в (152,11) и' = и и воспользовавшись оптической теоремой (142,10), получим полное сечение рассеяния о1 =2) (1 — Ке8)Ур. (152,13) Интегральное сечение упругого рассеяния в, получается интегрированием ! !и !ч по направлениям и'.

Прн малых углах рассеяния 0 имеем д ж л0 н элемент телесных углов бо ж Уд/йч. Поэтому о. =1!Ьà —,„,'. Представив ГЦН с 7Н из (!52,!1) в внае двойного интеграла (по ~рр сРр'), интегрируем по <(чд с помощью формулы ) е-м (Р-Рч Дчд (2п)чб (р р') после чего Ь.функция устраняется интегрированием по бчр". В результате находим о, = ~(3 — 1!чбчр. (152, и) 4 нм! неупРуГОе Рьссвянна ПРи аольших энеРГиях 743 неипркгие столкновения !гл. хчш Наконец, полное сечение реакций о, = о, — а, = )1 (1 — ! 5 [г) с[яр, (152,15) Обратим внимание на соответствие выражений (152,13)— (152,15) с общими формулами (142,3) — (142,5).

Переходя в последних от суммирования (по большим 1) к интегрированию по гРр (с р = 1!л) и заменив 31 на функцию 5 (р), мы получим (152, 13) — (152, 15). Задачи 1. Выразить амплитуду упругого рассеяния быстрой частицы на дейтрове через амплитуды рассеяния на протоне и нейтрале (й. у. Иаибег, 1955). Р е ш е н и е. Согласно (152,11) амплитуда упругого рзссеиния на дейтроие г( ! (Ч) — ) ) фл(й) р1 ехр!12!би !Чр — — ) + и й г 2л! 3 и ~ 2 ) й +2»б (р+ — )~ — 1)е ~ча»ттй»(»р. (Ц Здесь фл(й) — нолновая функция относительного движения нейтрона (и) и протона (р) в дейтроне; й = й„— й, а йг — проекция й на плоскость, перпециикулярную к волновому вектору падающей частицы й.

Представим разность и фигурных скобках в (1) в виде ехр (2»бь + 2»61,) — 1 = (е "— 1) + (е и — 1) + (е "— 1) (е и — 1). После этого интегралы преобразуются с учетом определения амплитуд рассея ния на иейтроне (1(»»)) и протоне ()!р!) согласно (152,10) и обратных формул ехр [2»р„(р)! — 1 = — ( 1щ! (ч) егчр— В результате находим )ип (ч) = 1рп бй (ч) + 1пп (ч) р ( — )— — — 3 р (2Ч ) )гч ~ 2 + Ч ) 1 [, 2 — Ч у с( Ч » (2) где р (ч) ) [фи (й) [г -гчцггизй — формфактор дейтрона. 'Положив в (2) Ч = 0 (причем р(0) = 1) и воспользовавшись оптич ой теоремой (142,10), найдем полное сечение рассеиння на дейтроне: о',"'+ а,'и!+ — з йе ) и (2ч) 1пп (ч) 1'и' ( — Ч)»('Ч (3) 2.

Определить сечение распада быстрого дейтраиа на независимые иейтрои и протон при рассеииии на тяжелом поглощающем ядре; радиус ядра й, велик по сравнению с длиной волны дейтронз (Ме Ъ 1, лй — импульс дсйтроиа) и по сравнению с радиусом дейтроиа (Е. Л. Фейнберз, 1954; л.,l, о!аиде», 1955; А. Й, Ахисзер и А, Г, Сителко, 1955).

й »ЗХ! НПИПНИГОН РЛССПЯНИП ПРИ НОЛЬШИХ ЭНННГИЯХ 245 Р е ш е н и е. По отношению к падающей дейтронной плоской волне большое (й/!« ~ 1) поглощающее ядро играет роль непрозрачного экрана, на котором волна днфрагнрует. Волновая функция падающих дейтронов; е«агфа (/з), где фи(/!) — внутренняя волновая функция дейтрона ((С = Йа — Йр — радзусвектор между нейтроном и протоном в дейтроне, г = ((С» + ((р)/х — радиус- вектор их центра инерции). Наличие поглошающего ядра приводит к «выеданию» части этой функции, отвечающей поперечным координатам нейтрона и протона (р„и р ), попала!ощим в область «тени» ядра, т, е. внутрь круга радиуса /с .

Другимй словами, волновая функция становитси равной Ф=е'"'5(ри Рр) фа(/!) где 5 = 1 при р„, рр > /с«и 5 = О, если хотя бы одно из р„или рр меньше й»з»). Эта функция (без множителя фи) отвечает выражению падающей волны в виде (131,5) (в ней пренебрежено дифракционным искривлением лучей); поэтому и множитель 5 имеет тот же смысл, что и в й 131, 132. Аналогично (152,13), (152,14) полное сечение рассеяния дейтрона пг (включающее все иеупругие процессы) и сечение упругого рассеянии'и даются формулами пг = 2 ~ (1 — 5) п»р, и, = ( (5 — 1)» б»р, где р = (р„+ рр)/2 и учтена вещественность 5; усреднение 5 производится по основному состоянию дейтрона: 5 ( ) ~ 5 ! 2 бз/( В качестве фи достаточно взять функцию . ° у и е † 2 справедливую на расстояниях /с вне радиуса действия ядерных снл, действующих между нейтроном и протоном (ср. (133,14); н = 'г' п«( е (/Л, где (е ) — энергия связи дейтрона; т — масса нуклона).

По определению 5, разность 1 — 5 отлична от нуля, если один илн оба из двух нуклонов попадают внутрь круга радиуса /с« и поглощаются ядром; поэтому пзахв = ~ (1 — 5) «(»р = пт/2 (1) есть сечение захвата одного или обоих нуклонов. С другой стороны. пт = п»а + и«+ праеп где прасп интересующее нас сечение «дифракциов- ного» распада дейтрона. Отсюда ! праеп= пт оа = ) 5 (! 5) «РР. 2 (2) При /!»и Ъ 1 в интеграле (2) существенны малые ( 1/и) расстояния От края ядра; тогда интегрирование вдоль края дает множитель 2п/!», а интегрирование в перпендикулярном направлении можно производить так, как если бы область тени была ограничена прямой линней.