Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 156

Выбрав последнюю в качестве оси (/ (а ось х — в направлении наружу от тени), имеем ппаеп=йЖ«~ 5(х)(1 — 5(х)) Нх, о ») Кулоновым взаимодействием дейтрона с ядром пренебрегаем. (ГЛ.ХУ1П НЕУНРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 746 причем интеграл Ф зе Х(х)=~~ ~ фти()7)ЕХЛ б2, )7=у'Хе.ГУ +гз, берегся по области Х„, Хр >О при заданном значении х = (Х„+ Хр)/2 или, что то же, по областй(Х( = ) Մ— Хр) (2х. Интеграл преобразуется Вере- кодом к переменным Х, й и полярному углу и плоскости г'а (причем 2()' Ы2и)7 Ы)7) и приводится к виду ОР 5(х) — 1 е ~хе+4хх ~ — йп. Интеграл (2) с втой функцией 3 (х) вычисляется путем повторных интегрирований по частям с использованием формулы (е — е 21) — = )п 2.

В результате получается ') л / 11 о асв= )7е ~1п2 ) ° Зх 'ь 4/' ") При этом же условии х)7е хь 1, сечение захвата 2 21йз азаке —— л)се + 4х (интеграл (1) по области р ) )7з вычислнется с помощью (3), и интеграл по области р ( )7е дает х)сб). Это сечение включает в себя как захват дейтрона в целом, так и захват лишь одного из нуклонов с освобождением другого (реакция срема). Сечение последней реакции вычисляется как (усредненная по фет) прицельная площадь, отвечающая яопадаии1о лишь одного из двух иуклонов в область тени, и равно озахв в = азахь р — — пЮ4х ()7, 5егбег, 1947). МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 5 а. Полиномы Эрмита Уравнение у" — 2ху' + 2пу = 0 (а,1) относится к типу уравнений, которые могут быть решены с по- мощью метода Лапласа '). Этот метод применим вообще к линейным уравнениям вида л ~~~~~(а +Ь х) — ~=0, Е,м м=о коэффициенты которого не выше первой степени по х, и заклю- чается в следующем.

Составляем полиномы л' л Р(1) = Е а 1™, ()(1) = Е Ь„( и с их помощью функцию 2(1) = — ехр ) — аС 1 Г Р =0,)0 определенную с точностью до постоянного множителя. Тогда ре- шение рассматриваемого уравнения может быть выражено в виде комплексного интеграла у = ) 2(1)е'"а), с где путь интегрирования С выбран так, чтобы интеграл имел значение конечное и отличное от нуля, причем функция у = ° дг должна возвращаться к своему начальному значению, после того как 1 опишет всю линию С (контур С может быть как замкнутым, так н незамкнутым).

В случае уравнения (а,1) имеем а — ЫР = (в+ 2п, (е = — 2С 2= — — „+ е ", )У= — „е ') См., например, Э. Гуров, Курс математического аиаанаа, т. Н, Гостетюдат, 1ЗЗЗ; В. Й. Смирнов, Курс высшей матемаивки, т. Н1; часть 2, «Наука», 1ру4, мдтемдтичискив дополнения так что его решение имеет вид и Р ьт — щ 4 Гн+! (а,2) Для физических применений достаточно ограничиться рассмотрением значений и ) — 1/2. Для таких и можно выбрать в качестве пути интегрирования контуры С, или Св (рис. 52), удовлетворяющие необходимым условиям, поскольку на их концах (т = +оо или 1= — о) функция У обращается в нуль ').

Рис. 52 Рис. 53 Выясним, при каких значениях параметра п уравнение (а,1) имеет решения, конечные при всех конечных значениях х и стремящиеся при х-ь ~оо к бесконечности не быстрее конечной степени х. Рассмотрим сначала нецелые значения и. Интегралы (а,2) по С, и С, дают здесь два независимых решения уравне. ния (а,1). Преобразуем интеграл по С„введя переменную и со. гласно 1= 2 (х — и). Находим, опуская постоянный множитель, (а,З) с; где интегрирование производится по контуру С, в плоскости комплексного переменного и, изображенному на рис.

53. При х- +оо весь путь интегрирования С, сдвигается на бесконечность, и интеграл в формуле (а,З) стремится к нулю, как е — "'. Но при х- — оо путь интегрирования простирается вдоль всей вещественной оси, и интеграл в (а,З) не стремится к нулю экспонеициальио, так что функция у (х) обращается в бесконечность в основном, как е". Аналогично легко убедиться в том, что интеграл (а,2) по контуру Са расходится экспоненциально при х -ь +оо. При целых же положительных значениях и (включая значение нуль) интегралы вдоль прямолинейных участков пути интегрирования взаимно уничтожаются, и оба интеграла (а,З) — по С1 и ') Эти пути непригодны при целых отрицательных л, поскольку прн таких н интеграл (а,2) вдоль них обратнлси бы тождественно в нуль.

з ь Функция эйги Сх — сводятся к интегралу по замкнутому пути вокруг точки и = х. Таким образом, мы получим решение ы у(х) =е"' (6 ' „+, йи, (и — х)"+' удовлетворяющее поставленным условиям. Согласно известной формуле Коши для производных от аналитической функции 1<"! (х) = —.

г, Ж г ) (() -2„,5 (( х)~+1 вто есть, с точностью до постоянного множителя, полииом Зрииша ех Н„(х) = ( — 1)" е*' — е-"'. Их" (а,4) В раскрытом виде полипом Н„, расположенный по убывающим степеням х, имеет вид Нх (х) = (2х)" — ", (2х)" — '+ а (а — !) (а — 2) (и — 3) (2хм-4 с 1 2 х) Он содержит степени х только той же четности, что и число а. Выпишем несколько первых полиномов Эрмнта Но = 1 Н1 = 2х~ Нв = 4х' — 2, На = 8хх — 12х, Н, = 16х' — 48х'+ 12.

(а,б) Для вычисления нормировочного интеграла заменяем е-"'Н„ выражением из (а,4) и, интегрируя и раз по частям, получим +ю +О> +О) ~ е "Н'„(х)йх = ~ ( — 1)" Н„(х) — е " дх=- ~ е " —" Их. Но — есть постоянная, равная 2"л1; в результате получим и нп их" +СО ) е " Н„(х) бх = 2"а) ~/ и. (а,7) ОЪ 5 Ь. Функция Эйри Уравнение у" — ху= О (Ь,1) к типу Лапласа. Следуя общему методу, состав- тоже относится ляем функции и и М вЂ”вЂ” Я= — е а, у=е Р =Р, 750 математические дополнения (Ь,З) «) Мы следуем определению, предложеинол«у В. А. Фоком (см. Г.

Д, Яковлева, Таблицы функций Эйри, «Наука», 1969; Ф (х) — одна из двух введенных Фоком функций, обозначаемая им как )«(к)). В литературе используется также определеняе функции Эйри, отличающееся от (Ь,З) постоянным множителем: « А! х =Ф (х)1Уй, так что ) А! х«)х= 1. «« так что решение может быть представлено в виде у(х) =сонэ! ~л ' «(1, (Ь,2) с причем путь интегрирования С должен быть выбран так, чтобы на обоих его концах функция Р обращалась в нуль. Для этого эти концы должны уходить иа беско- 1 --'- нечность в тех областях плоскости Ю комплексного переменного 1, в кото- рых Ке ((а) ) О (на рис. 54 эти обласл ти заштрихованы).

Решение, конечное при всех х, полу- и У чим, выбрав путь С так, как это изображено иа рисунке. Он может быть смещен произвольным образом, при условии только, чтобы его концы уходили на бесконечность в тех же двух зал«"'с, ау с штрихованных секторах (! и 111 на Рис. 54 рис. 54). Заметим, что, выбрав путь, проходящий, например, в секторах 111 н 11, мы получили бы решение, обращающееся при х-ь оо в бесконечность.

Смещая путь С так, чтобы он совпал с мнимой осью, получаем функцию (Ь,2) в виде (делаем подстановку 1= !и) « Ф (х) = — ) соз (их+ — ) з(и. о Постоянную сопз! в (Ь,2) мы положили равной — 1/2у/и и обозначили определенную таким образом функцию посредством Ф (х); ее называют д»ункцией Эйри '). Асимптотическое выражение для Ф (х) при больших значе.

ниях х можно получить, вычисляя интеграл (Ь,2) методом перевала. При х ) О показатель степени в подынтегральном выражении имеет экстремум при 1 = ~- укх, а направление его «наиболее крутого спада» параллельно мнимой оси. Соответственно этому, для получения асимптотического выражения для больших положительных значений х разлагаем показатель по степеням мдтвматичискнв дополнвния С помощью рекуррентных соотношений 2ч К, 1(х) — Кт, ~ (х) = — — К,(х), 2К„(х) = — Кт-1 (х) — Кт+~ (х) легко найти для производной функции Эйри выражение Ф' (х) = — = Кзуз ~ — хзгз) пРи х) О.

(Ь,У) х з ргЗк ' г г г л Рвс. ЗЗ При х= 0 На рис. 55 дан график функции Эйри. й с. Полиномы Лежандра' ) Полинодзы Лежандра Р, (соз О) определяются формулой Р, (соз О) = — (созе Π— 1)'. (с,1) 2'0 (4 с Е)' г) В математической литературе есть много хороших изложений теории шаровых функций. Здесь мы приводим для справок лишь некоторые основные соотношении, совершенко не занимаясь систематическим излонгением теории втих функций. чти> /д 4г -44 -(4 -г Ф(0) = " = 0,629, ЗзузГ ( — З') зыаг( —,') Ф' (О) = — — 0,459. 2 Р'н (Ь„О) тс полнномы лежлндол 752 Они удовлетворяют дифференциальному уравнению дВ (з(п 0 "~' ) + ! (! + 1) Р, — О (с,2) Присоединенные полиномы Лежандра определяются формулой Р7(созО) =з(п О ' „= —,з(п" О, „(соз 0 — 1) и !(~Р! (созВ) ! о И!+~о (с(сосВ)~о 2!1! В(соса)!+~о (с,З) ! ) (Р1(р)] (р — 21+1.

(с,б) -'! Аналогичным образом легко убедиться в том, что функции Р, (8) с различными ! взаимно ортогональны! ! ()с) Р (1 ) !(8 = о (с,у) Вычисление нормировочного интеграла для присоединенных полиномов легко 'произвести аналогичным образом, написав (Р, (р)]' в виде произведения выражений (с, 3) и (с, 4) и интегрируя ! — лс раз по частям, 'в результате получается ! 21+1 (! — о!)! . ! ! чь !' (с,8) или эквивалентной ей Р! (созО) = ( — !)'", згп 8, (соз 0 — 1)', (с„4) 8 — т) ! 2!1! (!( сос В) ! причем л! = О, 1, ..., !.