Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 158

млтвмлтическив дополнения Функция Р (а,(), у, г) может быть представлена при всех г, если Ке (у — а) ) О, в виде интеграла Р(а, (), у, г) = Г(! — а) Г (У) (Г() ( ()а 1(! — ()т а ! (1 — (г) а ((, (е 5) 2л! Г (у — а) с' взятого по контуру С', изображенному на рис. 57, В том, что этот интеграл действительно удовлетворяет уравнению (е,2), легко убедиться непосредственной подстановкой; постоянный множитель подобран так, чтобы при г = О получилась единица. Подстановка и = (1 — г)т- -зи, в уравнении (е,2) приводит к уравнению того же вида с пара- метрами у — а, у — и, у соответственно вместо а, и, у.

Отсюда следует равенство Р(а, (3, у, г) = (1 — г)т — '" в Р (у — а, у — р, у, г) (е,4) (обе стороны равенства удовлетворяют одному и тому же урав- нению и их значения при г = О совпадают). Подстановка ! -~- (/(1 — г + г!) в интеграле (е,З) приводит к следующему соотношению между гипергеометрическими функ- циями от переменных г и г/(г — 1): Р(а, 5, у, г) =(1 — г)-'"Р(а, у — р, у, ~ ). (е,5) Значение многозначного выражения (1 — г) —" в этой формуле (н аналогичных выражений во всех следующих ниже формулах) определяется условием, что возводимая в степень комплексная величина берется с нанменьшим по абсолютной величине значе- нием аргумента. Далее, приведем без вывода важную формулу, связывающую гиперргеометрические функции от переменных г и !/г: Р (а, 5, у, г) = г (у) г (р — ) (х Г (()) Г (у — а) ( — г)- Р~а, а+1 — у, а+1 — (3, — ~+ г/ Г(у) Г(а — р) Эта формула выражает Р (а, (), у, г) в виде ряда, сходящегося при ) г ( ) 1, т.

е. представляет собой аналитическое продолжение исходного ряда (е,1). Формула Р(а, (3, у,г)=Г( тг — Р(а' ()' а+пи+! у ! «)+ (! — г)т-к-аР( — а — (), у+ ! — а — (), ! — г) г (у) г (а + р - т) Г (а) Г (()) (е,7) Е Н ИНТЕГРАЛЫ С ВЫРОЖДЕННЫМИ ГИПЕРГЕОМЕТ. ФУНКЦИЯМИ ТВ! связывает гипергеометрнческие функции от г н 1 — г (мы также приводим ее без вывода).

Комбинируя (е,7) с (е,б), получим соотношения Р Г(т)Г(т — а — Р) Г (т — р) Г (Р— а) Х (1 — г)т-а — ага — «Р(! — р, у — р, у+1 — а — !1, — ). (е,9) Каждый из членов сумм в правых сторонах равенств (е,б) — (е,9) представляет сам по себе решение гипергеометрического уравнения. Если а (или р) есть целое отрицательное число (или нуль), а = — и, то гнпергеометрнческая функция сводится к полнному и-й степени н может быть представлена в виде г! — 7 (! А)7+л — Е лл Р ( — п, !3, у, г) — (за+ — ~(1 — г)а-т).

(е,10) Эти полиномы совпадают, с точностью до постоянного множителя с поаиномами Якоби, определяемыми как !)л Ел (1 е) — л (1 ! Е) — л [(! Е)л+л (1 + з)А+л] (е 1!) Елл! аг" При а = Ь О полиномы Якоби совпадают с полиномами Лежандра. При л = О Р'"м = 1. д !. Вычисление интегралов с вырожденными гипергеометрическнми функциями Рассмотрим интеграл вида .)ат = )' е 'г"Р(а, у, йг)дг. (1,1) о Предполагается, что он сходится. Для этого должно быть ме ч ) -. — 1 и Г(е ) ~ ! Ке й ); если а есть целое отрицательное число, 762 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ х (~) ( — ()а-1 (1 — ()у-'-1 (! — ~ () с Учитывая (е,З), находим окончательно .!ау-Г(у-! 1)7 ' Р(а> у+1~ у — ).

(1~2) В случаях, когда функция Р (а, т+ 1, у, 1г(7) сводится к полиномам, получаем соответственно и для интеграла l„выражения через злементарные функции: ,Р.'+"-' = ( — !)" Г(у) — „"„„[)." ( — й)-"), 7» ( !)л Г (» + 0 (л л)~~ д ! )„— » 1 (! л)» — у+11 (1 1) -лу 7(т.! 0 (у ! л !),~~л ()а — л х А"' '(! — а) (2 — а! ...

(т — ! — а) (л х. (т — 1)1 — ()„а-3 (Л вЂ” й) — а 3) + +л!(т — и — 1) ... (т — !)Ха —" — '(Х вЂ” я) '+"' " х Х Д „, (А -"-'(Х вЂ” я) -') (1,5) (т, п — целые числа, 0 ~ и ~~ т — 2). Далее, вычислим интеграл ) е — луе» вЂ” 1 (Р( л у ье)]уде о (1,6) (л — целое положительное, Ке ч ) О). Для вычисления исходим из более общего интеграла, содержащего в подынтегральном выражении е-"' вместо е-"'. Одну из функций Р ( — п, у, яг) пишем то вместо второго условия достаточно потребовать, чтобы было йе Х -» О. Воспользовавшись для Р (а, у, яг) интегральным пред- ставлением (6,9) и произведя интегрирование по пг под знаком контурного интегрирования, получим о 1, интегРАлы с ВыРожденными гипергеомет.

Фкнкпиями таз в виде интеграла (д,9), после чего интегрирование по 2(г с помощью формулы ((,3) дает о-хргч — '(г" ( — л, 7 йг))22(г= — —.( — !)" ! „ Г (! + л) Г !7) Г (ч) Ел! Го (7 + л) Х о Х ф(7,— л! — й)ч+л '( — () " '(! — 1)'+л-! Х с [() )2!) — ч (), А! Ь)ч-7) ~Ц Производную и-го порядка по )!, можно, очевидно, заменить, выразив через производную того же порядка по й сделав зто, полагаем !!. = й, возвращаясь, таким образом, к интегралу l„: ! Г !л + 1) Г (ч! Го (7) ч Рл! Г(( + )оч Х ( !)Ч-ч-! (! !)Т+л-! ((! — Ф)-ч ( — !)ч-Ч) ~и. р!л Л!л Г (ч) л! г 7(7+ В ...

(7+л — В « — ! ! + С~ л (л — 1) . (л — о) (7 — ч — и — 1! (7 — 'ч — о) (7 — 'ч + о) Во + 1! !)о 7 (7+ 1) ... (7+ о) 2 О ((,7) Легко видеть, что между интегралами )ч имеет место следующее соотношение (р — пелое число) (7 — Р— 1) (7 — Р) ". (7+ Р -1) Ччр г 2р+ ! ') — -Р. ((,8) Аналогичным образом вычисляется интеграл О у = ~ г — хргч — ! р (со, 7, йг) г (оо', 7, )2'г) 2(г. о 7$,9) Посредством л-кратного интегрирования по частям переносим ОПЕРаПНЮ (2(/(!)л На ВЫРажЕНИЕ ( — ()~ ' — ' (1 — ()Ч+" — ' И РаСКРЫ- ваем производную по формуле Лейбнипа. В результате получим сумму интегралов, каждый из которых сводится к известному интегралу Эйлера.

Окончательно получается следующее выражение для искомого интеграла: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛИИИИЯ Представляем функцию г (а', 7, л'г) в виде интеграла (с),0) и после интегрирования по с(г с помощью формулы (1,3) (с и = О) находим х (Х-й(-й) б1, Подстановкой 1-о-) 1/()с'(+ ) — й') этот интеграл приводится к виду (е,3), давая в результате Г (у) )со+а'-о ()с й) — л ()с — )с') х' Р (а а' у "" ) (1,!О) Если я (или а') есть целое отрицательное число а = — л, то с помощью соотношения (е,7) это выражение может быть переписано в виде Г (т) Г (т+ л — я') )„— л+а' — т()„...

ь)л()„й')-а' Х Г (т+ л) Г (т — я') х г" ( — л, а', — л+а'+1 — у,, ), (1,11) Наконец, рассмотрим интегралы вида в АЧ-О' I',~(я, а') = ) е ' гг '~'Р(а, у, йг)г" (а', у — р, й'г)с(г. (1,12) о Значения параметров предполагаются такими, что интеграл сходится абсолютно; з, р — целые положительные числа. Простейший иэ этих интегралов,/,","(а, а') равен, согласно (1,10), ,/ото(а, а) =2тс (у)(й+й)"+" о(й — й) "х х (й — й')-"' г (а, а', у, —, ), (1,13) а если а (или я') — целое отрицательное число, я = — л, то, согласно (1, ! !), можно также написать ,Р( — и, а)=2 оо с с т Г (т) (т — сс')(т — сс' + !) ... (т — сс' + л — !) х о т(т+ !) (т+ л — !) х ( — 1)" (й+/с') "+"' т(й — й')" "' х Х г ~ — л, а', а'+ 1 — и — у, ( —,) ].

(1,!4) Общая формула для l'л (а, а') может быть выведена, но она настолько сложна, что ею неудобно пользоваться. Удобнее пользо- $ е интеГРАлы с ЕыРОжденными ГипеРГеомет Функпиями тяз ваться рекуррентными формулами, позволяющими свести интегралы,/'Р (а, а') к интегралу с з = р = О ').

Формула ,)~Р(а, и) = т (Х;~1 (а, а ) —,ф ~~ (а — 1, а И (1,15) дает возможность свести )'Р (а, а') к интегралу с р = О. После этого формула 3,*,+ь (а, а ) =,, (~ — (Й вЂ” я ) — па+ И и — я з~,lт (а, а ) + + з(у — 1+8 — 2а ).)' ''(а, а )+2а 8,)т ''(а, а +!)) (1,16) позволяет произнести окончательное приведение к интегралу сз= р=О.

А) См. В'. 6<воя, Лпп, й, Рьум 3, 1031 (1929). ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ!) Адиабатичгсние возмущения 133, 210, 237 Адпабатический инвариант 210 — изменение 235 Аднзбатичесное включение возмущения 189 Амплитуда отражении 104, 234 рассеяния 586, Ь93, 624, 743 — Двумепнаа 589, 604, 624 Атом водорода в магнитном поле 537 Закон 1гс 693, 699 Ззридавая симметрия 550 Измерение 15, 3? н д., 194 Изотопический сики 552 Инверсии 126 Ион Не 357, 360, 371 Ионизация вблизи порога 718 — при и.

н В-распаде 186, 137 электрическим повем 350-354 Бинарные преобразовании 2Ы Барновсное гриближение 599, 622 — в двумерном случае 604 Боровский радмуо 1Ы Ван.дер-ваальсовы силы 366, 372, 403 Векторваи модель 130 Взаимодействие спин-орбита 319, 379, 562 спин †о 379 спин — спин 3!9. 322, 385 Виртуальный уровень 640, 652, 665 Водород орто- в цара- 394, 738 Возмущение внезапное 134 Волновой пакет 37, 63 зВстряхивание атома 185 Галилея преобразование волновой функции 74 Гелий орго- и нара- 308 основной уронеиь атом» 310 Гиромагнитиый множитель 540 Лишние полюсы 615 Вдовицы атомные 15! кулоиоаы !Ы 1) Этот указатель дополняет оглавление кякгк, не повторяя его.