Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 153

Легко установить, как будут зависеть вычисленные таким образом значенив ! от с. В квазнклассическом случае разностям уровней энергии соответствуют собственные частоты системы частию Средняя собственная частота атома порядха величины оо!ао; поэтому мы можем заключить, что ! аоо!ао. Снорости атомных электронов в модели Томаса — Ферми зависят от Я, как а~~э, а размеры атома — как с 'гэ.

Таким образом, находим, что ! должно быть пропорционально с: ! ='сопэ1 д. Иэ экспериментальных данных можно заключить, что сопи 19зВ, Коммутнрование !' с ! дает (!' в данном случае совпадает с !) гй У' — !"!' = — ~ Л„так что ') ~ Мои ив з ~~ ело(ń— Ео)((п(г(и(0) )э= 2. (149,10) и и Величины йго„называют силами осцилляторов соответствующих переходов. Введем некоторую среднюю атомную энергию 1 согласно Е !ьг 1п(Š— Е) !и ! — ", — Е Л'о„!и (Еи Ео) (149,11) ~л дгои и Используя (!49,10), формулу (149,8) можно переписать в виде х(бо) = — ', !и .

Складывая с (149,9), окончательно по4пдг' доло лучаем !ГЛ. ХУН1 НвУПРУГИВ СТОЛКНОВВНИЯ 782 Поэтому й!) и в связаны друг с другом, как импульс и энергия электрона, т. е. е = йзфэ)2т. Подставляя в (149,12) х)э = 2тех)йз, получим эффективное торможение при столкновениях, сопровождающихся передачей энергии е ~( в: 2пхеа 2та,оэ к(в ) = — 1п — ' то' )з (149,14) В заключение сделаем следующее замечание. Уровни энергии. дискретного спектра атома связаны в основном с возбуждениями одного (внешнего) электрона; уже возбуждение двух электронов связано обычно с энергией, достаточной для ионизации атома.

Поэтому в сумме интенсивностей осцилляторов переходы в состояния дискретного спектра составляют лишь долю порядка единицы; переходы же с ионизацией — порядка Я. Отсюда следует, что основную роль в торможении (тяжелыми атомами) играют столкновения, сопровождающиеся ионизацией. Задача Определить полное эффективное торможение электрона атомом водорода (1 = 0,55 ат. единицы); при больших передачах энергии более быстрый нз обоим сталкиваюшихсн электронов принимается эа первичный. Р е ш е н и е. Когда первичный и вторичный электроны приобретают после столкновения сравнимые анергии, надо учитывать обменный эффект. Поэтому для торможения с передачей энергии от некоторого значения е, (1 < е, Ко ) до наибольшего еш,„= Е/2 = о /4 (принятое нами определение первичного электрона!) надо пользоваться сечением (148,17): е!э 1 к (евах) — к (ех) = — ) а ! — + Е ) ( е' (Š— е)" е (Š— е),1 — ххв а, Е ( 8ах )' Складывая со (!49,14), получим х) 4к )оз 'зх' е 1 4п оэ к = — !и !1 — гэг — 7! = — 1п— ох '121 х 2 / оз 0,94 (в атомных единицах).

9 150. Неупругие столкновения тяжелых частиц с атомами Условие применимости борновского приближения к столкновениям тяжелых частиц с атомами, выраженное через скорость частицы, остается тем же, что и для электронов о)) ое. Это ') Для столкновений позитрона с атомом водорода обменный аффект отсут. ствует, н полное торможение получается просто подстановкой в (!49,14) аммх =* 4к сэ Е оэ)2 вместо е: к = — 1п —, хл 0,55 ' $1501 ИВУпРУГНВ столкнозениЯ тяжелых чАстиц 733 непосредственно следует из общего условия (126,2) применимости теории возмущений, Уач/йп (( 1, если заметить, что масса частицы в него вообще не входит, а Уае/й есть величина порядка скорости атомных электронов. В системе координат, в которой покоится центр инерции атома и частицы, сечение определяется общей формулой (148,3) (в которой теперь под т надо понимать приведенную массу частицы и атома).

Удобнее, однако, рассматривать столкновение в системе координат, в которой покоится (до столкновения) рассеивающий атом. Для этого начинаем с формулы (148,1); в системе координат, в которой покоился атом до столкновения, аргумент у б-функции, выражающий закон сохранения энергии, имеет вид Р 12 (150,1) О где М вЂ” масса падающей частицы, М, — масса атома; третий член представляет собой кинетическую энергию отдачи атома (которой при столкновении а электроном можно было полностью пренебречь). При столкновении быстрой тяжелой частицы с атомом изменение импульса частицы почти всегда мало по сравнению с ее первоначальным импульсом. Если это условие выполняется, то в аргументе у 6-функции можно пренебречь энергией отдачи атома, после чего мы вернемся в точности к формуле (148,3), в которой только надо заменить гл на массу М падающей частицы (не на приведенную массу частицы и атома!).

Имея в виду, что передача импульса предполагается малой по сравнению с первоначальным импульсом, полагаем р ж р'1 таким образом, для сечения в системе координат, в которой атом до столкновения покоится, получим формулу дп„= —,„, ~ ') ) Уе 'ч'ф„'федт др ~ до. (150,2) Учитывая, что заряд частицы может отличаться от заряда электрона, будем писать ге' вместо е', где ге есть заряд падающей частицы. Общая формула для неупругого рассеяния, написанная В форме (148,9) И,„=8,( — "')'!( /~;«./О)/' — ", ДЮЗ) не содержит массу частицы, Отсюда следует, что и все получающиеся из нее формулы остаются применимыми и к столкновениям тяжелых частиц, если только эти формулы выражены через о и 9.

Легко сообразить, как должны быть видоизменены формулы, выраженные через угол рассеяния б (угол отклонения сталки- наупгкгив столкновения 1гл. хчш вающейся с атомом тяжелой частицы). Для этого предварительно замечаем, что при неупругом столкновении тяжелой частицы угол д всегда мал. Действительно, при большой (по сравнению с импульсами атомных электронов) передаче импульса можно рассматривать неупругое столкновение с атомом как упругое столкновение со свободными электронами; но при столкновении тяжелой частицы с легкой (электроном) тяжелая частица почти не отклоняется.

Другими словами, передача импульса от тяжелой частицы атому мала по сравнению с первоначальным импульсом частицы (исключение составляет упругое рассеяние на большие углы, которое, однако, крайне маловероятно). Таким образом, во всей области углов можно положить (150,4) (что фактически сводится к 4й ж Моб (! 50,5) везде, за исключением только самых малых углов).

С другой стороны, рассматривая столкновения электронов с атомом, мы писали (для малых углов) г( = +У/ ( Е" Е' ) + (тпб'1), Сравнение обоих выражений позволяет заключить, что формулы, полученные нами для столкновений электронов с атомами, вы- раженные через скорость и угол отклонения, переводятся в фор. Э~улы для столкновения тяжелых частиц заменой везде (в том числе в элементе телесного угла йо = 2п з)п д М ж 2пдйб)' М (150,8) при той же скорости о налетающей частицы. Качественно это означает, что вся картина рассеяния на малые углы оказывается (при заданной скорости) суженной в отношении т/М.

Полученные правила относятся также и к упругому рассеянию на малые углы. Произведя преобразование (150,6) в формуле (139,4) с д (( 1, получим сечение йт, = 8п ( —,) ) 2 — Р ( — ) ~ —., (150,7) Что касается упругого рассеяния тяжелых частиц на углы б — 1, то оно сводится к резерфордовскому рассеянию на ядре атома. Особого рассмотрения требует неупругое рассеяние с ионнзацией атома при большой передаче импульса. В отличие от того, что мы имели при нонизации электроном, здесь никаких обменных РЛССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ е !И! эффектов, разумеется, нет. Для тяжелых частиц характерно, что большая передача импульса (чае )) !) отнюдь не означает отклонения на большой угол; д всегда остается малым.

Сечение ионнзации с испусканием электрона с энергией между е и е + е(е получится непосредственно из формулы (148,25), которую мы пишем в виде е(ее„= 8п( — „„) Я вЂ” ~ и полагаем йхе)В/2тп = В (весь импульс йе( передается одному атомному электрону). Это даст 2пХхеее ее е(ое = ехее ех ' При столкновениях тяжелых частиц с атомами особый интерес представляют интегральные эффективные сечения и торможения. Полное сечение неупругого рассеяния определяется прежней формулой (148,26). Полное эффективное торможение получается подстановкой в (149,12) вместо д, максимальной возможной передачи импульса д . Последнюю легко выразить через скорость частицы следующим образом.

Поскольку йд все еще мало по сравнению с первоначальным импульсом Мп частицы, то изменение ее энергии связано с изменением импульса соотношением ЛЕ =ч йп С другой стороны при большой передаче импульса вся эта энергия передается в основном одному атомному электрону, так что мы можем написать аеч в = — = йтй (йоши. Отсюда имеем йд.( 2то, т.

е. йя = 2епо, В = 2тое. (150,9) Отметим, что наибольший угол отклонения частицы при неупругом рассеянии равен аеяеех 2м 6 шех Ме М ' Подставляя (150,9) в (149,12), получим полное эффективное торможение тяжелой частицы: 4~Ыгеее змее (150,10) й 151. Рассеяние нейтронов В ряде физических задач теории столкновений мы встречаемся с необходимостью выяснить влияние, которое оказывает на процесс рассеяния собственное движение рассеивающих центров. неупругие стОлкноэения ~гл хюи В определенных условиях оказывается возможным применить к решению таких задач своеобразную теорию возмущений, развьлую Ферми (!936), хотя к рассеянию на каждом центре самом по себе теория возмущений может и не быть применимой.

К такого рода вопросам относится, в частности, задача о рассеянии медленных нейтронов на системе атомов, скажем, на молекуле. Для определенности будем говорить ниже именно об этой задаче. Электроны практически не рассеивают нейтронов, так что все рассеяние фактически происходит на ядрах '). Будем считать, что амплитуда рассеяния отдельным ядром мала по сравнению с межатомными расстояниями.

Тогда амплитуда волны, рассеянной каждым из ядер в молекуле, становится малой уже в точках нахождения других ядер. В этих условиях амплитуда рассеяния молекулой сводится к сумме амплитуд рассеяния отдельными ядрами. К столкновению нейтрона с ядром теория возмущений, вообще говоря, неприменима; хотя радиус действия ядерных сил мал, но в пределах этого радиуса силы очень велики. Существенно, однако, что амплитуда рассеяния медленного нейтрона (длина волны нейтрона велика по сравнению с размерами ядра) есть постоянная величина, не зависящая от скорости.