Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 157

Присоединенные полиномы удовлетворяют уравнению ( ~ ! †' ) .!. (! О -!- 3! — †,, ] Р" = О. ! .5! ! Нормировочный интеграл полнномов Лежандра ) !Р, (р) Р !()с ()с = соз 8) вычисляется подстановкой в него выражений (с,1) и (-кратным интегрированием по частям, после чего он оказывается равным ( — !)' 2 (21) ! (' г" (1!)! (р'- 1)' — (р'- 1)!4 = ((1 — р!)! ( 2! 2~! (Ц)о — ! -! Подстановкой и = (1 — (с)/2 этот интеграл приводит к В-интегралу Эйлера и дает математичвскив дополнения Здесь п, и' — два единичных вектора, а г',„(п) означает сферическую функцию от полярного угла и азимута направления п относительно фиксированной системы координат.

Умно>хны равенство (с,10) на Р> (соз О) и проинтегрируем его по до = з>п 0 40 д~. Интегрирование по йр обращает в нуль все члены в правой стороне равенства, содержащие множители соз т (~р — ~р'); с учетом (с,б), (с,7) получим Р~ (соз у) Р> (соз 0) до = Ьи — и Р, (соз О'). 21 + 1 Этот результат можно записать в симметричном виде 4л Р> (п~п>) Р> (п>пз) г|о, = Ьи Р, (п>пз) (с,12) 2!+! где п,, п,, п, — три единичных вектора, а интегрирование производится по направлениям одного из нпх — и,. Наконец, приведем выражения нескольких первых нормированных сферических функций У> .' У„= "~/ — соя О, ,.з >' 3 )' м 1 ) зо = )'ы — — — (! — 3соз 0), ° / 5 К>, > = ~(Ъ з з|пО е~>ч, Легко также убедиться в том, что функции Р",' с различными 7 (и одинаковыми и) взаимно ортогональны: ! ~ Р" (р) Рг (р) (р = О, (с,9) 1 Вычисление интегралов от произведений трех полииомов Ле>кандра рассматривалось в $ 1О?.

Для полиномов Лежандра имеет место следующая теорема сложения. Пусть у — угол между двумя направлениями, определяемыми сферическими углами О, ~р и О', ~р' соь у = = соз О соз О' + з(п О з!п О' соз (ф — ч>'). Тогда Р, (сазу) = Р, (созО) Р>(созО')+ ! -1- ~' 2 ( м)' Р> (созО) Р> (созО)соз>п(ср — ~р) (с,10) л-! Эта теорема может быть также записана в терминах шаровых функций (определенных согласно (28,7)) в виде С Р> (пп') = — з У)~ (п') Уы,(п). 4п (с, 1 1) у е.

вырожденная гнпвргаомгтвнчаскля функция «ба в~з. ж! = ~ «1у — „созОз(пО еа«в, уп же = — ~ — щп'0 еяз(в, ч«' (3 / (б Ум! ~ 1 зу«(б сов О (асов 8 — 3), Уз, ю! = ~1 ~« — з(п О (5 созе Π— 1) еа«в, Г «! Уз. мз = — 1 1/ — сов йз(п'0 еат«в, Т згн У'з з = ~1 1/ — з(о!8.еаз«в. Г 64н 0 б. Выроащенная гинергеометричесиая функция Вырожденная ги пергеометри чески я функция о пределя ется рядом сходящимся при всех конечных г; параметр а произволен, а пара- метр у предполагается ие равным нулю илн целому отрицатель- ному числу. Если а есть целое отрицательное число (или нуль), то Р (а, у, г) сводится к полиному степени ~ а ~.

Функция Р (а, у, г) удовлетворяет уравнению ги' + (у — г) и' — аи = О, в чем легко ~!белиться непосредственной проверкой '). Подстановкой и = г ти„ зто уравнение преобразуется в уравнение того же вида ги! + (2 — у — г) и ! — (а — у + 1) и ! = О. (6„3) Отсюда видно, что при нецелом у уравнение (с(,2) имеет также частный интеграл г'-«Р (а — у + 1, 2 — у, г), линейно независимый от (0,1), так что общее решение уравнения (с(,2) имеет вид и = е,Р (а, у, г) + е,г' «Р (сс — у + 1, 2 — у, г). (4(,4) Второй член, в противоположность первому, имеет при г = О особую точку. Уравнение (с),2) относится к типу Лапласа, и его решения могут быть представлены в виде контурных интегралов.

Следуя общему методу, составляем функции Р (1) = у1 — а, 9 (1) = 1 (1 — 1), !) Уравнение (6, 2) с Новым отринательиым значением у ие иужхается в особом рассмотрении, так ааи может быль свелено (преобразованием н уран нению (б, 3)) н случаю иелых положительных у. математические дополнения так что и = ~ еща — ~ (1 1)т-я-~ ~(1 (6,5) Путь интегрирования должен быть выбран таким образом, чтобы госле его прохождения функция У (1) = е'Ч'" (1 — 1)т- возвращалась к исходному значению.

Применяя тот же метод к уравнению (6,3), можно получить для и контурный интеграл другого вида ~ ес( — т~((в 1 1 2л1 е Г (т) с Поскольку г' (а, у, О) = 1, то очевидно, что г (и у г) — (11 ) ем (1 г)-а (а-ггпу г (т) (6,8) с В (6,5) падынтегральнае выражение имеет особые точки 1 = 0 и 1= 1. Если Ке (у — и) ) О, а у — не целое положительное число, то в качестве пути интегрирования можно выбрать контур С', выходящий из точки 1 = 1, обходящий в положительном направлении точку 1= 0 и возвращающийся в 1 = 1 (рис, 5Ч); при Ке (у — а) ) 0 в результате обхода, вдоль такого контура (6,7) и = гь-т) е'Ч" — т(1 — 1)- 1(1.

В этом интеграле удобно сделать подстановку гг -~- 1, приводящую его к виду и(г) = ~е'(1 — г)- ! тг(1, (6,6) причем соответствующая функция У (1) = еЧ" — т+' (1 — г)'- . Подынтегральное выражение в (6,6) имеет, вообще говоря, две особые точки — при 1 = г и при 1= О. Выберем контур интегрирования С, приходящий из :::='9' бесконечности (Йе 1-~. — са), обхоге дящий обе особые точки в положи- с тельном направлении и уходящий 1 снова на бесконечность (рис.

56). Этот г=е с, контур удовлетворяет требуемым ус- ловиям, так как на его концах фунРис. 56 кция У (1) обращается в нуль. Инте- грал (г(,6), взятый па контуру С, не имеет особой точки при г = 0; поэтому ои должен совпадать, с точностью до постоянного множителя, с не имеющей особенностей функцией г" (а, у, г). При г = 0 обе особые точки подынтегрального выражения совпадают; согласно известной формуле теории Г-функций и б. ВЫРОЖДЕННАЯ ГЕПЕРГЕОМЕТРНЧЕСКАЯ ФУНКЦНЯ 7бт функция У (1) возвращается к исходному значению нуль ').

Определенный таким образом интеграл тоже не имеет особенности при г =* О и связан с г' (сг, у, г) посредством 1'(а, 7, г) = — —. $е'( — 1) -'(! — 1)» — " — 'Ш. (д,9) с По поводу интегралов (д,8), (8,9) надо сделать следующее замечание. При нецелых а иуподынтегральиые выражения в них являют- 10 ся неоднозначными функциями. Их г/ значения в каждой точке предпо- е' лагаются выбранными условием, что Рис. 57 возводимая в степень комплексная величина берегся с наименьшим по абсолютной величине значением аргумента.

Отметим полезное соотношение г" (сс,у,г)=е'р(7 — а, у, — г), (д,!О) которое получается непосредственно, если сделать, в интеграле (г(,8) подстановку 1 -ь 1 + г. Мы уже упоминали, что если а = — л, где л — целое положи. тельное число, то функция г" (а, у, г) сводится к полиному, Для этих полиномов можно получить короткую формулу. Делая в интеграле (г(,9) подстановку 1-и ! — (1)г) и применяя к получив, шемуся интегралу формулу Коши, найдем следующую формулу ) гл г( — л, у„г) = т (7 + !) . (7 + д !) а" г! — »ег (е — гг»+и — \) (с) ! !) Если к тому же у = т, где т — целое положительное число, то имеет место также и формула ! )т ! г)т+л 1 Р( — л, . г) — С„+)) ( +„,) е* +л, (е 'ги). (б )2) Эта формула получается применением формулы Коши к интегралу, получающемуся из (д,8) подстановкой 1-» г — 1.

Полиномы г" ( — л, т„г) (О б, т ( л) совпадают, с точностью да постоянного множителя, с обобщенными долнномамгг Лагерра) Ьи (г) = ( — !) !«))г т) (д — гд)! г" ( — (л — т), т+ 1, г) = д! г)и д) ги-т Ег е-г㫠— т ( !)т егг — т е-ггл (д гд)) 1 и (д гд)) бгл иг (д,!3) ') Если 7 — целое положительиае числа, то в кичестве С' можио выбрить л~обой каитур, обходящий обе тачки ) = О и г = !. математические дополнения Полиномы Е„при т = О обозначают, как 1.„(г), и называют просто полинамами Лпгерра; согласно (д,13) имеем ~а 1.„(г) = е' — „(е-'г"). Интегральное представление (0,8) удобно для получения асимп.

тотического разложения вырожденной гипергеометрической функции при больших г. Деформнруем контур так, что он превращается в два контура С, и С, (рис. 56), обходящих соответственно точки ! = О и ! = г; нижнюю ветвь пути С, и верхнюю ветвь С, надо представлять себе смыкающимися на бесконечности. Имея в виду получить разложение по обратным степеням г, выносим в подынтегральном выражении ( — г) —" за скобку. В интеграле по контуру С, делаем подстановку г- 1+ г; тем самым мы преобразуем контур С, в контур С,.

В результате представляем формулу (8,8) в виде г(Я, у, 2)=, ( — 2) ~б(и, Я вЂ” 7+1, — 2)+ Г (т! + Г а г (т! где б(а, (3, г) = ~(! + — ') Р— 'е'сЫ. (д,15) с, Прн возведении в степень в формуле (д, И) — г и г должны браться с наименьшим по абсолютной величине значением аргумента. Наконец, разлагая в подынтегральиом выражении (1 + !/2) '" по степеням !/г и применяя формулу (0,7), получим в результате для б (сс,-р, г) асимптотический ряд б(„й ) 1 ! ей 1 (~+ ~1Р(Р+ ) Формулами (8,14) и (д,!6) определяется асимптотическое разложение функции Р (х, у, г).

При целом положительном у второй член в обшем решении (8,4) уравнения (8,2) либо совпадает с первым (если у = 1), либо теряет вовсе смысл (если у ) 1). В качестве системы двух линейно независимых решений можно в этом случае выбрать два слагаемых в формуле (д,!4), т. е. интегралы (д,8), взятые по контурам С, л С, (эти контуры, как и контур С, удовлетворяют требуемым условиям, так что интегралы вдоль ннх — тоже решения уравнения (и',2)). Лсимптотический внд этжх решений определяется уже полученными формулами; остается найти нх разложение по восходящим степеням г. Для этого исходим из равенства (д,14) и аналогичного равенства для функции г' те (я — у + 1, 2 — у, г). й в ГИПИРГВОМНТРИЧВСКАЯ ФУНКЦИЯ убэ Из этих двух равенств выражаем О (и, а — у + 1, — г) через г" (а, у, г) и г" (а — у + 1, 2 — у, г), после чего полагаем у = = р + е (р — целое положительное число) и переходим к пределу е — О, раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя.

В результате довольно длинного вычисления получается следую!нее разложение: (7'(а, а — р+1, — г) =— Мпла Г (и — а) а пг (Р) га 1пг.г(а, р, г)+ ~" г(р)г( -~х)(ф(а+ ) — ф(р+з) — ф'*+'" г*+ ! (.) г (. -~ р) г ( + !) р — ! ~, л., «"" — ""' — ), я,~л г(а)г( — а) 7=1 где ф обозначает логарифмическую производную от Г-функции: ф (а) = Г' (и)!'Г (сс). й е. Гипергеометрическая функция Гилерееожеглричеекая (йулкс(ия определяется внутри круга (г) ч„1 Ридом р( р ) 1+ ар 7 + а(а+!)В(В+!) 7' + (е 1) у и у (у + !) 2! а при (г( ) 1 получается аналитическим продолжением этого ряда (см. (е,б)). Гипергеометрическая функция является одним из частных интегралов дифференциального уравнения г (1 — г) и'+ (у — (и+ 6+ 1) г)и' — с4и = О. (е,2) Параметры а и () произвольны, а у ~ О, — 1, — 2, ... Функция Р (и, (), у, г), очевидно, симметрична по параметрам сс и (3 '). Второе независимое решение уравнения (е,2) есть г' тг ( — у + 1, и — у + 1, 2 — у, г); оно имеет особую точку при г = О.

Мы приведем здесь для справочных целей ряд соотношений, которым удовлетворяет гипергеометрическая функция. х) Вырожденная гипергеометрическая функция получается из г' (а, В, т, 7) 7 предельным переходом г (а, у, 7) = Игп г ! а, В, у, — 7! при В -ь от. ' Ву В литеРатУРе использУетса также обозначение тгг (а, В, У, 7) ДлЯ гипеР- геометРической н гет (а, У, 7) длЯ выРожденной гипеРгеометРпческой фУнкций. Индексы слева и справа от буквы г" указывают число параметров, фигурирующих соответственно в числителях и знаменателях членов рида.