Васильев А.М. Введение в статистическую физику (Васильев А.М. Введение в статистическую физику.djvu), страница 7

Таким образом, (и) =М вЂ”, ы Столь же просто вычисляется дисперсия числа частиц в Лт. Сначала следует найти <плг>: (ил) =1г — -1-0' 1 — — =— г а'г, г а«з а'г ~) — ~ а затем дисперсию этой величины: г г В„„= (пл) — (иА) = — — ( — ) = — (1 — — ). ~1) т ~ ). Дисперсия общего числа частиц в Лт определится с помощью свой- ства г).

Она равна (8.9) Прямое вычисление этой величины оказывается значительно более громоздким. й Р. Распределение Пуассона В предыдущей главе говорилось о том, что использование биномиального распределения для вычисления вероятностей при больших значениях общего числа молекул /ч' неудобно, и была получена формула Стирлинга, облегчающая вычисление факториалов больших чисел. Используя формулу Стирлинга, можно упростить биномиальное распределение и свести его к другим, более удобным для вычислений. В настоящем параграфе рассматривается случай, когда при большом значении числа М основной интерес представляют малые значения числа молекул и в объеме Лт, т. е. предполагается, что большие значения и настолько маловероятны, что нми можно пренебречь. Пусть, например, в сосуде находится М молекул, где М порядка 10'з, и выделен объем Ьт, настолько малый по сравнению с общим объемом сосуда У, что в нем может встретиться п=0, 1, 2, 3 молекулы и очень маловероятно, что число молекул превысит, скажем, п=10.

Для этого объем должен быть таким, чтобы среднее число молекул в нем, равное по (8.3) <п>=Л/(Ьт/У), было много меньше выбранного нами предельного числа п=10, например <п>=3. Конечно, число 3 выбрано произвольно и с тем же успехом могло бы быть заменено любым другим достаточно малым по сравнению с общим числом молекул й/, однако при относительно больших <п> удобнее пользоваться другой аппроксимацией биномиального распределения, которая будет приведена в следующем параграфе и которая заведомо непригодна при малых значениях <и> (при <п><3). Точное значение вероятности по формуле бнномнального распределения (53) имеет знд Воспользовавшвсь тем, что )ч' н й' — в — очень большие числа, заменнм нх фанторналм по формуле Стнрлннга: Ф~е ~Ф'~зУ ал / ае ')л / де )м-з и!(Ф вЂ” пУ' "е ~+л(Ф вЂ” и)'ГзУ2п ~ У / ( " l Разделив н числитель, н знаменатель на У2лл(м "ДГ'Пе лг~ можно получвть И" (ищУ)з(1 — ат(Уу»-л %' (и)— (2.1) п) (1 п(у)н — л ел (1 л/дт)1/2 2 — 434 33 Стоящий в знаменателе множитель (! — и/дг) (! — и/йг) )г )а преобразуется следующиы образом.

Как известно из анализа, выражение (1 — л!й1)'" при !У-». со (т. е. практически при достаточно больших й!) равна е Выражение (1 — л/М)", поскольку л!Оà — очень малая величина, близко к 1. Дей- ствительно, если и <( У гг, например и= О,З)гог, то (! ) — (1 ) — ~(! — ) ~ — (е 0 )Оз — е 000 О 91 таким образом, (1 — п,лг)л " е Естественно, что при сделанных предположениях приближенно равен единице и другой множитель из знаменателя (9.1): (1 — п1)У)нз — 1, Для завершения вычислений остается рассмотреть выражение, встречающееся в числителе (9.1): Дг (Ьт)У) )ж да ')!и — л 1 —— ( ( !в йг д.

)у)л (9.2) Если лЛт«У, то по аналогии с предыдущим знаменатель в (9,2) равен единице. Величина 10(Ьт/У), равная среднему значению числа молекул в Лт, которое мы обозначим <л>, по предположению много меньше М и поэтому (1 — — ) =е "ьУ (и)— (ггг(двгУ)]ае '"' (л>" е '"' л! е а ее л1 (9.3) Формула (9 3) носит название р а с и р е д е л е н и я П у а с с о н а. Она определяет вероятность того, что в Лт окажется п молекул (при среднем значении числа молекул в Лт, равном <гг>), н справедлива, если общее число молекул в сосуде много больше, чем <а>' Поскольку распределение Пуассона есть предельный случай биномиального при <п>хаги', или, иначе, при <п>!(ч'=Ы)У О, то дисперсия случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона, получается из (8.9) таким же предельным переходом, т.

е. оказывается равной среднему значению числа и: х.)=- (и). (9 4) 34 Для интересующей нас вероятности оказывается, таким образом, справедливо следующее выражение: $ тО. Распределение Гаусса Другая полезная аппроксимация может быть использована, когда велико не только общее число молекул Лl, но и число молекул а в элементе объема Лт, а также число молекул И вЂ” а, оставшихся вне этого объема. Такой случай очень часто реализуется на практике, так как для того, чтобы он имел место, достаточно, если среднее число молекул в элементе Лт (10.1) (а) = МЛт/Ъ' велико, но не слишком близко к полному их числу М, т. е. объем Лт должен быть не слишком мал по сравнению с г', но и не слишком близок к полному объему.

Как будет видно из дальнейшего, распределение Гаусса оказь1вается уже достаточно точным, если <а> и М вЂ” <а> больше 3, и его точность тем выше, чем больше <а> и У вЂ” <а>. Вероятность того, что в элементе объема Лт окажется а частиц, при условии, что среднее число частиц <а> в Лт и среднее число частиц М вЂ” <а> вне этого объема достаточно велики, дается формулой, носящей название распределения Гаусса и имеющей следующий вид: )р (а) е-(и — (ипч(2О) 1 г' эл11 (10.2) тв (а) е — 1и — м)ил2Р1 1 'г' 2лВ Если необходимо определить вероятность )Р того, что а заключено в интервале от а, до аь и интервал не предполагается малым по 2' 35 Чаше всего распределение Гаусса (10.2) применяется, когда число молекул в Лт очень велико.

На практике почти никогда не требуется знать, какова вероятность наличия в Лт ровно а молекул, а обычно интересуются вероятностью бЯ7 того, что число молекул заключено в интервале значений от а до а+ба. Если величина ба достаточно мала (много меньше, чем Уй), то вероятность И7(а), подсчитанная по (10.2) для любого а из интервала ба, оказывается практически одной и той же. В связи с этим вероятность бЯ7 получается умножением вероятности 77(а), взятой для какого-то (все равно какого) значения а из рассматриваемого интервала, на величину интервала ба, т. е. ЬЖ'= е — 1" — <"»'Псо>ва.

1 (10.3) г'2лО Формула (!0.3) показывает, что при большом числе молекул переменная а может считаться непрерывной случайной величиной н вероятность того, что ее значения заключены между а и а+ба, определяется формулой (10.3), т. е. соответствующая плотность вероятности равна Пределы в последнем интеграле по смыслу переменной п не могут быть меньше 0 н больше >>>, однако поскольку с самого начала предполагалось, что большие отклонения и от среднего значения маловероятны и, как будет показано в 5 13 следующей главы, при больших (и) это действительно так, то без ущерба для точности вычислений можно заменить эти пределы соответственно на минус н плюс бесконечность, так что окончательно (У( )) = " у(~) ~-~"-ып'д'шд~.

г' 2тЫ (10.4) Следует отметить, что распределение Гаусса часто встречается на практике и описывает поведение очень многих непрерывных случайных величин, т. е. оно справедливо не только для рассмотренного выше случая, но и в целом ряде других. На это имеются свои причины. Дело в том, что при большом числе исцытаннй распределение Гаусса оказывается предельным для целого ряда распределений. Существует теорема, называемая в силу ее важности центральной предельной теоремой теории вероя т н о с т е й, которая устанавливает весьма общие условия, даст>. точные для того, чтобы предельное распределение было гауссов~>м, нли, как его называют иначе, н о р м а л ь н ы м. Широкое распросгранение нормального закона распределения вероятностей дало повод для шутливого замечания, что физики считают повсеместное распространение нормального закона математической теоремой, а математики †эксперименталь установленным фактом.

Необходимо, конечно, иметь в виду, что распределение Гаусса хотя и встречается часто, но не является единственно возможным. Если неарерывная случаиная величина подчиняется нормальному распределению, то вероятность д)(У того, что значения этой случайной величины е заключены в интервале от е до з+дг, определяется формулой дй'(е)= е-1' — >*»чРо> дв, 1 т'"2яО (10.5) сравнению с г'й, то необходимо учитывать изменение плотности вероятности в этом интервале и использовать правило, обычное для непрерывных случайных величин: л, ю В'=~ тв(а) дн= ~ е ы '"и*"'о>да.

1 1' 2лВ Л л, Точно так же при определении среднего значения функции )(а) от числа молекул а следует воспользоваться правилом вычисления средних значений, справедливым для непрерывных случайных величин: (у (а)) ~ у' (а) тв (а) да ~ у(а) е — ы — ынч(2о> дл г'2яО еде <г> — среднее значение, а Р— дисперсия случайной вели- нины г. В заключение проведем сравнение аппроксимирующей формулы Гаусса (10.2) с биномиальным распределением. На рис. 1.6 приведено биномиальное распределение для случая, когда 0=6, а Ьт/У=0,5.

Результаты расчета тех же величин по (10.2) показаны крестиками (<и) =Мат/У=З, Р=//бт/(У(1 — (Ьт/У))) =1,51). Видно, что даже в агом случае, когда <и) и М вЂ” <и> совсем не так уже велики, получаются близкие результаты. При больших значепнях <и) и К вЂ” <и> различие между расчетом по точной формуле биномиального распределения н формуле Гаусса оказывается совсем незначительным. $ т1. Вероятность как мера неожиданности Вероятность какого-либо события может служить мерой его н е о ж и д а н н о с т и, Качественно это довольно очевидяо. Если вероятность мала, то событие осуществляется редко и, следовательно, относится к категории неожиданных.

Наоборот, если вероятность близка к единице, то событие случается часто и с этой точки зрения относится к заурядным. В теории информации за меру неожиданности события условигись принимать натуральный логарифм его вероятности и', взятый с обратным знаком: — 1п гв. Выбранная таким образом мера неожиданности хорошо передает многие нз наших интуитивных представлений о свойствах, которыми она должна обладать. Действительно, вероятность в величниа, меньшая единицы, и, следовательно, ее логарифм, взятый со знаком минус, положителен, т. е. неожиданность в величина положительная, Если событие достоверно, то вероятность равна единице, а ее логарифм равен нулю, так что неожиданность осуществлеиия достоверного события равна нулю.