Васильев А.М. Введение в статистическую физику (Васильев А.М. Введение в статистическую физику.djvu), страница 10

Его внутренняя энергия 0 определяется соотношением з м )~у- (16.1) 2 где М вЂ” масса газа, и — его молярная масса, Я вЂ” универсальная (молярная) газовая постоянная и Т вЂ” абсолютная температура. Обычно на опыте измеряется теплоемкость при постоянном объеме Сг, которая для одноатомного газа оказывается постоянной и равной и з Ск= — — Я. 2 Как известно из термодинамики (см.

гл. 5), теплоемкость связана с внутренней энергией соотношением г и=~С,бт, из которого в данном случае вытекает соотношение (16.1). Вутренняя энергия идеального одноатомного газа — это среднее значение кинетической энергии поступательного движения всех его молекул, так как для такого газа взаимодействием молекул между собой (т. е. их взаимной потенциальной энергией) можно пренебречь. Кинетическая энергия отдельной молекулы равна е = р9(2лее), (16.2) где те — масса молекулы.

Используя свойства средних значений, среднее значение энергии можно представить следующим образом: (е) = — = — ((Рп) + (Рп) + (Рг) ). 2лзо 2пюо Из свойства изотропности вытекает, что средние значения квадратов всех компонент одинаковы, так что з ~ е з 1 е з (е) = — — (Рп) = — — (Рп) = — — (Ре) ° 2 био 2 пво 2 ее Величина (р ) = ) р,, С е и' др„. Поскольку С определяется соотношением (15.3), а интеграл— формулой, выведенной в приложении 2, то для величины (р„е) получаем (р„) я ге(а -/Т Ук и 2 2Р 48 (16.3) й = 1/(2т,яТ), т. е. определяется абсолютной температурой.

$17. Плотность ввроятностм Максвелла для импульсов Из результатов, полученных в предыдущих параграфах, выте- кает, что плотности вероятности значений импульсов (плотности вероятности Максвелла) выражаются такими формулами; твр„.бр, =(1ДГ2птьяТ)е ' ' 'бр„; — рт Нам,ьт> ~р,-дв'Б рп 'Р"' '~р;, — тля ьт> зв, бр,= (11)'2птьяТ) е Р' ' бр;, (17.1) ~ ЙЯ=(1Л72 ~>Т)Р~- и ~')ЙЯ Рассмотрим более подробно одну из компонент импульса, например р„.

Сопоставляя плотность вероятности этой случайной ве. личины с (10.5), легко убедиться, что она подчиняется распределению Гаусса, или, как принято говорить иначе, нормальному распределению. Среднее значение компоненты равно нулю, а ее дисперсия совпадает со средним значением р„т: т>= (рк) =тьяТ ° (17.2) 49 Если заданы масса М газа и его малярная масса >т, то число молей равно М/>х и, следовательно, общее число молекул газа Р~Чь) А' А1 где Жл — постоянная Авогадро, т.

е. число молекул в одном моле. Среднее значение энергии газа есть сумма средних значений энергии всех его молекул, и поэтому внутренняя энергия идеального одноатомного газа равна з <р'„> з л~ 1 м з (.7=А7(ь) =А7 — = — — = Ать 2 ыо 2 тю 2Р и Сравнивая последнее соотношение с (16.1), находим 8 =А7л/(от,Т).

Отношение универсальной газовой постоянной к постоянной Авогадро есть постоянная Больцмана я, и поэтому параметр р, входящий в плотность вероятности значений импульсов (14.8) или (14.9), носящей название плотности вероятности Максвелла, равен На рис. 3.2 изображена зависимость плотности вероятности звр„от р„. Соответствующая кривая в силу четности тгг „симметрична относительно оси ординат. Максимальное значение достигается при р„=О и определяется темпсратурой газа игр„.

~р =с=1/)г 2лглсггТ. р„= )гт 'лТ, (17.3) При (17.4) т. е. при среднеквадратичном значении х-компоненты импульса. значение плотности вероятности уменьшается в ) е=1,55 раза по сравнению со значением в максимуме и прн больших значениях р, быстро стремится к нулю. Если нагреть газ до более высокой температуры, то плотность вероятности изменится, В соответствии с (17.3) максимальное значение окажется меньше, а по (17.4) сама кривая станет более широкой. Выберем на оси абсцисс отрезок с(р„, малый по сравнению с 1гпгслТ, тогда на пРотЯжении этого отРсзка плотность веРоатности тггр„почти не изменит своего значения. Вероятность того, что значение х-компоненты импульса лежит в интервале с!р„определяется выражением дтгг=тгг „др„ и, следовательно, изображается площадью, ограниченной осью абсцисс кривой распределения и ординатами, соответствующими началу и концу интервала др х (двойная штриховка на рис.

3.2) Подобная геометрическая интерпретация относится к произвольному, а не только к бесконечно малому интервалу др„. Так, Г гр„ гг г Гг -- ..,р.'1г.,~.л -Р. бг глг'; сгг Лз зи 1 гд — и~г~ю~п "г) (р„")= ~ р,"е " др,. К 2иигссп 50 например, вероятность того, что компонента р, больше — р,, но меньше +рз, изображается заштрихованной на рис. 3.2 площадью. Полная площадь под криРис. 3.2 вой распределения, естественно, равна единице, так как соответствует вероятности достоверного события ( † (ри( +со).

Имея в своем распоряжении плотность вероятности Максвелла, можно решать задачи двух типов. Во-первых, можно находить среди не з и а ч ения различных функций от импульса частицы. Так, например, для любой четной степени компоненты Соответствующий интеграл вычислен в приложении 2, и с его помохцью получаем (рх ) = — ( тоИ )" 1 3 5 ... (2и — 1), т. е. (рх) =лхоИТ; (р~) =3(тоФТ)о; (рк) =15(тойТ)о. (17 5) Для любой нечетной степени рт среднее значение равно нулю, так как эта функция одинаково часто принимает положительные и отрицательные значения.

Во-вторых, можно находить в с р о я т н о с т и тех или иных событий. В виде примера найдем вероятность того, что компоненте импульса частицы вдоль положительного направления оси х ока. жется больше, чем значение, соответствующее движению со скоростью 0,1 с (с — скорость света). Другими словами, нас интересует площадь под кривой распределенвя Максвелла от точки р,= = — 0,!оиос и до бесконечно удаленной точки, т. е. 1 — р дотцог) ;«о пО г' 2ятоог о,1т.о Если ввести переменную '1=р„(~ тойТ, то )Р ~ е о дб1 ~1 Ф( о )~ опта'тоог и при условии, что (17.6) Е,=ОПтосЯглойТ Э 2, можно воспользоваться формулой (13.4), т.

е. оом 1Р'= — — е 1'2я $о Легко убедиться, что почти во всех практических случаях неравенство (17.6) выполняется. Условия для его выполнения тем менее благоприятны, чем меньше масса частиц и чем выше температура, при которой они находятся. Для атомарного водорода (то= =1,67 10-'4 г) при температуре Т=3 000 К $о=б 1О' и, следова.тельно, %' — е †"', т. е, очень малая величина. Прп взрыве атомной бомбы температура продуктов реакции и, и частности, нейтронов может достигать 1О млн.

град. Поскольку масса нейтрона т„= 1,7.10 †'" кг, то параметр $о оказывается равным 10о, так что и в этом случае вероятность скоростей, близких к скорости света, весьма мала. В газовом разряде относительно просто создать условия, при которых электроны плазмы обладают очень высокой температурой, достигающей Т=20000 К. Поскольку масса электрона ш,=ОХ 61 Х10-з' кг, то для этого случая $ч=50 и опять-таки вероятность ЯТ очень мала. Приведенные оценки показывают, почему тот факт, что распределение Максвелла не включает эффектов теории относительности и теоретически допускает значения скоростей, больших скорости света, с практической точки зрения оказывается несущественным В заключение отметим (в некоторых случаях это может быть удобно), что задачу о нахождении вероятности некоторого события формально можно рассматривать как нахождение среднего значегия функции, которая в некоторой области равна единице, а во всем остальном пространстве — нулю.

Проиллюстрируем это положение примером, на котором попутно выясним связь между плотностями вероятности м и шр. Предположим, что нас интересует вероятность того, что частица движется вдоль оси х в положительном направлении, и не интересует, какое движение совершается при этом вдоль осей у и а. Искомая вероятность совпадает с вероятностью положительного значения х-компоненты импульса, и для ее вычисления можно найти среднее значение функции, которая равна единице при р,)0 и нулю при р (О: ( 1 при р.„)~0, ~(р.) =~ ~ 0 при р„(0. С помощью функции у(р„) для вероятности записываем Решение этого же вопроса легко получить и исходя из плотности вероятности вр.

Выпишем интеграл от юр в пространстве импульсов: + + + )ь ~,(р)та бо ( бр ( бп ( бр т(Р) (2ят,аТ)М' 2 Э 2 Хе ~ У вЂ” ( Р~.-~- Ра+ Р8 3 ) (Ъп о~ г ~ Интеграл разбивается на произведение трех интегралов: 2 + й7=~е — р нь,кт> ара ~ — р лгт,ап др, Х1е Х Р 2лмаАТ Р 2~тсАТ р'2пт~Ит Поскольку первые два интеграла по условию нормировки равны единице, то очевидно, что получается тот же результат, что и прн 52 использовании плотности вероятности твр„. Ясно, что так будет случаться всегда, когда отыскивается среднее значение функции, зависящей только от компоненты р„. Если же нужно найти среднее значение функции, зависящей от всех трех компонент р„ рг, р„ то необходимо пользоваться плотностью вероятности шр. $16. Распредекение по скоростям В практических приложениях часто требуется найти вероятность тех или иных значений скорости частиц или среднее значение какой- либо величины, зависящей от скорости.